二次函数与实际问题课件

1、22.3 实际问题与二次函数第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）教学课件 第1课时 几何图形的最大面积22.3 实际问题与二次函数第二十二章 二次函数导入新课学习目标1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）学习目标1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）导入新课复习引入 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.（1）y=x2-4x-5; (配方法) (2)y=-x2-3x+4.(公式法)解：（1）开口方向：向上；对称轴

2、：x=2；顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；（2）开口方向：向下；对称轴：x= ；顶点坐标：（ ， ）；最大值： .导入新课复习引入 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标引例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2 （0t6）小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？二次函数与几何图形面积的最值一讲授新课t/sh/mO1234562040h= 30t - 5t 2 可以出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点. 也就是说，当t取顶点的横坐

3、标时，这个函数有最大值.引例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 mt/sh/mO1234562040h= 30t - 5t 2 小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边

4、长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？问题1 矩形面积公式是什么？典例精析问题2 如何用l表示另一边？问题3 面积S的函数关系式是什么？例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？解:根据题意得S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0l30).因此，当 时， S有最大值 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.51015202530100200lsO例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成

5、一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3 面积S的函数关系式是什么？问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5 如何求最值？最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.问题1 变式1与例题有什么不同？设垂直于墙的边长为x米，Sx(602x)2x260 x.0602x32，即14x30.变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时

6、，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题1 变式2与变式1有什么异同？问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 如何求自变量的取值范围？0 x 18.问题6 如何求最值？由于30 18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378. 不正确.问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定

7、都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值. 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .当堂练习2.如图2，在ABC中， B=90 ,

8、AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.图1ABCPQ图231.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的3. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解： （1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6

9、-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0 x6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为91000=9000（元）3. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依 据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几见学练优本课时练习课后作业见学练优本课时练习课后作业22.3 实际问题与二次函数第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ

10、）教学课件第2课时 商品利润最大问题 22.3 实际问题与二次函数第二十二章 二次函数导入新课学习目标1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）学习目标1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润导入新课情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求. 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？导入新课情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知利润问题中的数量关系一讲授新课 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出

11、300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.探究交流180006000数量关系（1）销售额= 售价销售量;（2）利润= 销售额-总成本=单件利润销售量;（3）单件利润=售价-进价.利润问题中的数量关系一讲授新课 某商品现在的售价为每件 例 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020+x300-10

12、xy=(20+x)(300-10 x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10 x),即：y=-10 x2+100 x+6000.如何定价利润最大二6000 例 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10 x 0，且x 0,因此自变量的取值范围是0 x 30.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10 x2+100 x+6000，当 时,y=-1052+1005+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元. 自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，

13、销量下降降价销售每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售2030020-x300+18xy=(20-x)(300+18x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60 x+6000. 例 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？6000降价销售单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降综合可知，应定价65元时，才能使利润最大。 自变量x的取值范围

14、如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x 0，且x 0,因此自变量的取值范围是0 x 20.涨价多少元时，利润最大，是多少？当 时, 即定价57.5元时，最大利润是6050元.即：y=-18x2+60 x+6000，由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?综合可知，应定价65元时，才能使利润最大。 自变量x的取值知识要点求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可

15、以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.知识要点求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的当堂练习1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 x 30)出售，可卖出（30020 x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.252.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100)w=2000-5(x

16、-100)(x-80)当堂练习1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间3. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？xy516O7解：(1)由题中条件可求y=-x2+20 x-75-10,对称轴x=10,当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；(2)由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7 x 13时，利润不低于16元.3. 某种商品每天

17、的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满课堂小结最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价:要保证销售量0；降件：要保证单件利润0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.课堂小结最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润销售量或见学练优本课时练习课后作业见学练优本课时练习课后作业22.3 实际问题与二次函数第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）教学课件第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线22.3 实际问题与二次函数第二十二章 二次函数导入新课学习目标1.会用二次函数知识解决实物中的抛

18、物线形问题.（重点）2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题.(难点）学习目标1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.（重点导入新课情境引入 我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！导入新课情境引入 我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心二次函数与实际问题二次函数与实际问题如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.xyxyxy（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x-h)2+k（4）y=ax2+bx+cOOO如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标

19、系的位置，说利用二次函数解决实物抛物线型问题一讲授新课例1 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?xyO-3(-2,-2) (2,-2)4米利用二次函数解决实物抛物线型问题一讲授新课例1 如果要使运动当 时，所以，水面下降1m，水面的宽度为 m.所以水面的宽度增加了 m.解：建立如图所示坐标系,由抛物线经过点（2，-2），可得所以，这条抛物线的解析式为当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3xyO(-2,-2) (2,-2)设二次函数解析式为当 时，所以水面的宽度增加了 x

20、yxy 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?4 m4 m请同学们分别求出对应的函数解析式.OO解：设y=-ax2+2将（-2,0）代入得a= y= +2；设y=-a（x-2）2+2将（0,0）代入得a= y= +2；xyxy 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入知识要点解决抛物线型实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、

21、判断并进行有关的计算. 知识要点解决抛物线型实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当利用二次函数解决运动中抛物线型问题二利用二次函数解决运动中抛物线型问题二 例2 在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？3米4米4米xyO 例2 在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高3米4米4米xyABC解：如图建立直角坐标系.则点A的坐标是（0， ），B点坐标是（4，4），C点坐标是（8，3）.因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4 .把点A

22、(0, )代入得解得 所以抛物线的解析式是 .当x=8时，则所以此球不能投中.判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；O3米4米4米xyABC解：如图建立直角坐标系.则点A的坐标是若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?（1）跳得高一点儿；（2）向前平移一点儿.3米8米4米4米xyO若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?（1）跳yx（8，3）（4，4）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10642（1）跳得高一点儿；yx（8，3）（4，4）O 1 2 y（8，3）（4，4）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10642（，） （2）向前平移一点儿.xy（8，3）（4，4）O 1 2 当堂练习1.足球被