导数与微分高等数学

1、关于导数与微分高等数学第1页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三1、导数的定义导函数 注意：记为第2页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三例题1.设存在，且则等于 A. 1, B. 0, C. 2, D. 0.5 分析：第3页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三导数定义的本质：练习：P43 第3题第4页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三2、单侧导数左导数与右导数:在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。例. 见教材 P42 页例6第5页，共42页，20

2、22年，5月20日，22点36分，星期三例题2. 讨论在处的连续性与可导性. 分析： 所以在处连续 第6页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三所以因此在处可导。题目的函数为：第7页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三当时，所以因此从而在处可导。判断可导性的另一种方法：第8页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三3、导数的几何意义： 函数在点处的导数表示曲线在点处切线的斜率。 曲线在点处的切线方程为 法线方程为： 第9页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三例 求曲线在点（2，8）处得切线方程和法线方程。解 在点（2，8

3、）处的切线斜率为所以，所求切线方程为所求法线斜率为于是所求法线方程为第10页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三4、导数与连续的关系 ： 定理(函数可导的必要条件) ： 在点处可导在点处连续。可导连续，反之不一定 即函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件。 例子 见教材 P42 例题7，8第11页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三例 函数在x=0连续但不可导，于是有可导一定连续，但是连续不一定可导。连续一定有极限，但是有极限不一定连续。因为第12页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三例解练习：P43页第7题第13页，共42页，

4、2022年，5月20日，22点36分，星期三5、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）第14页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三6、求导法则(1) 函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则第15页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三或注意： 与的区别表示复合函数对自变量 求导 （3）.复合函数的导数： 复合函数求导关键在于正确地分解复合函数，正确地运用复合函数求导法则。表示复合函数对中间变量 求导第16页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三例求下列函数的导数 第17页，共42页，2022年，5月20日，22点36

5、分，星期三例 设，求解 例设，求解 首页上页下页第18页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三第19页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三(4) 隐函数求导法则隐函数求导法:方程两端同时对x求导,注意在求导过程中要y=f(x)视为x的函数,即把y视为中间变量。见 P53 页例3第20页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三例 求由方程所确定的隐函数的导数解 方程两端对x求导数，得例 求椭圆在点处的切线方程.解 所求切线斜率为方程两边对x求导,得首页上页下页第21页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三例 求由方程所确定的

6、隐函数的二阶导数第22页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三(5) 参变量函数的求导法则第23页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三 解：曲线上对应t =1的点（x, y)为（0,0）,曲线t =1在处的切线斜率为于是所求的切线方程为 y =x求曲线在t =1处的切线方程例第24页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三例题：设，求第25页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三(6) 对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:对数求导法适用于幂指函数 以及多因子乘积（或商）函数的导数 例.

7、 见 P53 页例4，5，6第26页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三首页上页下页两边对x求导数，得解： 两边取对数，得 例 求函数的导数.第27页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三（7）抽象函数的求导法则第28页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三7、高阶导数记作二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)第29页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三求函数的高阶导数要根据求导的阶数的不同而选择不同的方法。当只须求函数的2、3、4、5阶导数时，通常选择先求出函数的一阶导数，再求出函数的二阶

8、导数，这样一阶接一阶求下去，直至求出所求阶导数的方法。当所求的阶数比较高（超过五、六阶）时，通常先求出函数的一至四或五阶导函数从中寻找出高阶导函数表达式规律，再应用数学归纳法求出函数的高阶导。或者利用常见函数的高阶导公式及高阶导运算法则求出高阶导数。第30页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三例求的n阶导数.解 一般地，可得例解 求的阶导数.一般地，可得首页上页下页第31页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三例求的阶导数.解 一般地，可得上页下页练习：P51 2(1) (4) (5)第32页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三8、微分

9、(微分的实质)（1）微分的定义第33页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三（2）、导数与微分的关系定理（3）、 微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.第34页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三（4）基本初等函数的微分公式第35页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三 函数和、差、积、商的微分法则（5）、 微分的基本法则 微分形式的不变性第36页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三例.求函数的微分第37页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三第38页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三(2)第39页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三第40页，共42页，2022年，5月20日，22点36分，星期三例. 设求分析 ：是R上的可导函数，