人教版高中数学微练（四十） 简单几何体的表面积与体积

1、微练（四十） 简单几何体的表面积与体积基础过关组一、单项选择题1. 已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是( D )A. 6:B. 5:C. 4:D. 3:解析设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ,高为2R ，设圆柱的表面积和球的表面积分别为S1 ,S2 ,则S1=2R2. 过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为( A )A. 932B. 916C. 38D. 316解析由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r ，则22=12+r2 3. 若棱长为23 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C

2、A. 12B. 24C. 36D. 144解析设外接球的半径为R ，易知2R=323=64. 2021浙江高考某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm3 正视图侧视图俯视图A. 32B. 3 C. 32D. 32解析解法一：由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰梯形的直四棱柱，其中底面等腰梯形的底边长分别为2 ，22 ，高为22 ，该四棱柱的高为1，所以该几何体的体积V解法二：由三视图可知，该几何体是由底面为等腰直角三角形（腰长为2）的直三棱柱截去一个底面为等腰直角三角形（腰长为1）的直三棱柱后得到的，所以该几何体的体积V=15. 2021新高考全国卷北斗三号全球

3、卫星导航系统是我国航天事业的重要成果。在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）。将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数。地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2A. 26%B. 34%C. 42%D. 50%解析根据题意作图，则OB=36000+6400=42400k6. 2021新高考全国卷正四棱台的上、下底面的边长为2，4 ，侧棱长为2，则其体积为( D )A. 20+B. 2

4、82C. 563D. 282解析如图，分别取上、下底面的中心O1 ,O ,过B1 作B1MOB 于点M ，则OB=22 ,O7. 在长方体ABCDA1B1C1D1 中，ABA. 33B. 63C. 1 D. 2 解析如图，连接BD1 ，易知D1D 就是三棱锥D1ABC 的高，AD1=CD1=5 ，取AC 的中点O ，连接D1O ，则D1OAC ，所以D18. 2022江苏七市调研“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”。如图是一种幄帐的示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面。若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为12 ，底面矩形的长与宽之比为5:3 A. 35

5、B. 89C. 910D. 1 解析设正脊长为a ，斜脊长为b ，底面矩形的长与宽分别为5t 和3tt0 ，如图，过S 作SO 平面ABCD ，垂足为O ，过O 作OEAD 于E ，OFAB 于F ，连接SE ，SF ，由题意得tanSEO=tanSFO=12 ，即SO二、多项选择题9. 2022江苏海州高级中学模拟已知正方体ABCDA. 该正方体外接球的直径为23B. 该正方体内切球的表面积为4C. 若球O 与正方体的各棱相切，则该球的半径为2 D. 该正方体外接球的体积为43解析若正方体的棱长为2，则：若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，即2R1=22+22+22=23

6、，故A正确；外接球体积为410. 2022辽宁沈阳市郊联体模拟攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑。下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥。已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为 ，这个角接近30 ，若取=30 ，侧棱长为21A. 正四棱锥的底面边长为6米B. 正四棱锥的底面边长为3米C. 正四棱锥的侧面积为243 D. 正四棱锥的侧面积为123 解析如图，在正四棱锥SABCD 中，O 为正方形ABCD 的中心，SHAB ，设底面边长为2aa

7、0 米，因为SHO=30 三、填空题11. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的。已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半径为0.5cm 解析正六棱柱的体积为63422212. 已知圆锥的侧面积（单位：cm2 ）为2 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm解析解法一：设该圆锥的母线长为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2 ，所以12l2=2 ，解得l=2 ，所以该半圆的弧长为2解法二：设该圆锥的底面半径为R ，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2R 。因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r ，则r=2R ，即r=13

8、. 在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S解析将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形。由题意得该斜截圆柱的侧面面积S=114. 2022石家庄市质量检测如图所示，一个圆锥的侧面展开图为以A 为圆心，2为半径的半圆，点D ，M 在BC 上，且BD 的长度为3 ，BM 的长度为 ，则在该圆锥中，点M 解析将侧面展开图还原成圆锥，如图所示，设底面圆的圆心为O ，半径为r ，由题意可知底面圆的周长为2 ，所以2r=2 ，得r=1 。因为BD 的长度为3 ，所以BOD=BDr=3 ，即BOD 为正三角

9、形，则BD=1 ，又BDDM ，BM=2r=2 ，所以DM=3素养提升组15. 柏拉图多面体，是指严格对称、结构等价的正多面体，由于太完美，因此数量很少，只有正四、六、八、十二、二十面体五种，如果用边数不同的正多边形来构造接近球、比较完美的多面体，那么数量会多一些，用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体，但有些类似，这样的多面体叫做半正多面体。古希腊数学家、物理学家阿基米德对这些多面体进行研究，发现了13种半正多面体（后人称为“阿基米德多面体”）。现将正四面体上的四个角各截去一角，形成最简单的阿基米德多面体中的一个，又名截角四面体，设原正四面体的棱长为6，则所得的截角四面体的表面积为( C )A. 203B. 243C. 283D. 323解析根据题意还原正四面体如图，可知截角四面体的所有棱长都相等，设为a ，则a=61316. 2022河北衡水