曲线的凹凸性与拐点

1、00曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、曲线的凹凸性从图()，()可以观察到定义1如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间从图还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率f(x)随着x的增大而增大，即f(x)单调增加;对于凸的曲线弧，其切线的斜率f(x)随着X的增大而减少，即f(x)单调减少而函数f(x)的单调性又可用它的导数，

2、即f(x)的二阶导数f(x)的符号来判定，故曲线y二f(x)的凹凸性与f(x)的符号有关定理设函数f(x)在区间(a,b)上具有二阶导数()如果在区间(a,b)上,有f(x)0那么曲线在(a,b)上是凹的；()如果在区间(a,b)上,有f(x)0那么曲线在(a,b)上是凸的例判判定曲线y二Inx的凹凸性11解函数的定义域为(0,+只)，而y,y=因此曲线ylnx在(0,+x)内是凸的xx2例讨论曲线yx3的凹凸区间解函数的定义域为(,+S)，y3x2,y6x显然，当x0时，y0；当x12时，y0所以曲线在(-8,1)内是凸的，在(1,+8)内是凹的；(1,-)为拐点注意：使f(x)不存在而f(

3、x)连续的点，也可能成为曲线的拐点5例求曲线y，x3的拐点52101解定义域为(-8,+)，y=x3，y，-9x-3,(x丰0)因为令y,0时,方程因为令y,0时,方程101x3，90无解.而当x0时，y0；当x0时,y0，00即曲线在区间(-8,0)内是凸的，在区间(0,+8)内是凹的，又曲线在点x，0处是连续的，所以点(，)是曲线的拐点.三、函数绘图1、渐近线定义3如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.xyxyx2y2例如直线一一，0,0为双曲线一=1的渐近线ababa2b2但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种

4、情况的渐近线予以讨论.水平渐近线如果当自变量xT8时，函数/(x)以常量为极限，即limf(x)，C，则称直线y，CxT8为曲线y，f(x)的水平渐近线则称直线x=x0则称直线x=x0为曲线y,f(x)的铅直渐如果当自变量xx时，函数f(x)为无穷大量，即limf(x),80 xtx近线说明：对xg时，有时也可能仅当x+8或xg；对xx，有时也可能仅当xX+或XX-000例5求下列曲线的水平或垂直渐近线.-x2-2解()因为lim8,x3x2+2x3所以直线x3,x1是两条铅直渐近线1x2（）因为lim=e20，所以直线y0为其水平渐近线x8722、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤

5、为1）确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性；2）确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点（3）考察渐近线；（4）作一些辅助点；（5）由上面的讨论，画出函数的图形例作函数f（x）x33x2+1的图形解（）函数定义域为（8,8）；（）f（x）3x26x，令f（x）0得x0,x2；12f(x)6x6令f(x)0得x13列表：x(8,0)(0,1)(1,2)(2,8)f(x)f(x)f(x)广极大值、拐点(1)极小值说明：”表示上升且为凸的表示下降且为凸的，”表示下降且为凹的，/y”表示上升且为凹的3）无渐近线；4）取辅助点（1,3）、（3，1）；6）画图（如图3-1）3x1例作函数y1的图

6、形（x2）23131y3x44x3；41yxex3131y3x44x3；41yxex解定义域为(。2),(2,+)y(x2)22(x1)(x2)(x2)4(x2)33131y3x44x3；41yxex3131y3x44x3；41yxex3131y3x44x3；41yxex3131y3x44x3；41yxex令y0,得x0；y(x2)33x令y0,得x0；y(x2)6(x2)4令y0,得x1；列表：x(0111(1,0)(0,2)(2,+8)f(x)八x)f(x)11拐点(1,)5极小直-4x1渐近线：因为hm1=，所以x2是铅直渐近线；又因为xt2+(x2)2x1lim11，所以y=1是水平渐近线x*(x2)2555作辅助点：(1,1)、(,0)、(0,)24作图：(如图3-1)4习题3131y3x44x3；41yxex3131y3x44x3；41yxex3131y3x44x3；41yxex3131y3x44x3；41yxex、判定下列曲线的凹凸性：(1yax2+bx+c(a丰0)；、求下列曲线的拐点及凹凸区间：11yx35x2+3x5；、