勾股定理及逆应用-最短路径问题-黎雪萍-学生版

1、勾股定理及逆应用 - 最短路径问题- 黎雪萍 - 学生版精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： NJ07年级：初二课时数：3课时学员姓名：王昕怡辅导科目：数学学科教师：胡飞飞授课T 勾股定理和逆定理C 勾股定理求最短路径T 勾股定理应用类型授课日2015-2-11期时段教学内容一、同步知识梳理1、勾股数：满足 a2b2c2 的 3 个正整数 a、b、c称为勾股数21）由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：满足 a2b2c2都是正整数两者缺一不可2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足 a2b2c2 (但不一定是勾股数 )，例如： 3、4、5 是一组勾股数，但是以 0.3 cm、

2、 0.4 cm、0.5 cm 为边长的三个数就不是勾股数。二、同步题型分析1、等腰三角形的周长是 20 cm，底边上的高是 6 cm，求它的面积 .2、（1）在 ABC中， C90， AB6，BC8， DE 垂直平分 AB，求 BE 的长 .（2）在 ABC中， C90， AB6，BC8， AE 平分 CAE ，EDAB,求 BE 的长 .3）如图，折叠长方形纸片 ABCD ，是点 D 落在边 BC 上的点 F 处，折痕为 AE，AB=CD=6 ，AD=BC=10 ，试C求 EC 的长度 .EE3ADBADB一、专题精讲知识总结：长方体：1）长方体的长、宽、高分别为 a、b、 c；（2）求如图

3、所示的两个对顶点的最短距离 d。BBAA（2）长方体盒子表面小虫爬行的最短路线d 是（a b） c、 （a c） b、 （b c） a2中最小者的值。22222圆柱体：41）圆柱体的高是 h、半径是 r ；（2）要求圆柱体的对顶点的最短距离。圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线d ；两条路线比较：其一、AC+BC即高 +直径；其二、圆柱表面展开后线段AB= h2 r 2的长 .题型二、长方体例题 1、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为.D1C1A1DB11CA24B5例题 2、如图，长方体的长为15，宽

4、为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是。例题 1、如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1 的端点 A 到达 A1，若圆柱底面半径为6 ，高为 5，则蚂蚁爬行的最短距离为题型四、台阶问题例题：如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20cm、3cm、2cmA 和 B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处6去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为cm题型五、非对顶点问题例题 1：如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm，高为 5cm若一只蚂蚁从

5、P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm1、如图 1，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm.如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面7缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要cm；如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm.B6cA 3c 1c图 1一、能力培养例 1：（1）一轮船以 16 n mi1eh 的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以 12 n mi1eh 的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口 A2h 后，两船相距2）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只

6、能靠近建筑物底端 5 m，8消防车的云梯最大升长为 13 m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是3）一棵树在离地面 9m 处断裂，树的顶部落在离底部 12 m 处，树折断之前有 _m例 2：如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 7m，梯子的顶端 B 到地面的距离为 24 m，现将梯子的底端 A 向外移动到A ，使梯子的底端 A 到墙根 O 的距离等于 15 m同时梯子的顶端B 下降至 B，那 BB等于()A3mB4 mC5 mD6 m例 3：（1）在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面米，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2m，求这里的

7、水深是多少米？2）学校旗杆顶端垂下一绳子，小明把它拉直到旗杆底端，发现绳子还多 2 米，9他把绳子全部拉直且使绳的下端接触地面， 绳下端离开旗杆底部 6 米，则旗杆的高度是多少米？例 4：中华人民共和国道路交通管理条例规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70 千米时一辆“小汽车” 在一条城市街道上直道行驶，如图某一时刻刚好行驶到路对面 “车速检测仪 A”正前方 50 米 C 处，过了 6 秒后，测得“小汽车”位置 B 与“车速检测仪 A”之间的距离为 130 米，这辆“小汽车” 超速了吗？请说明理由例 6、如图， AOB=90， OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点 B 处看见一

8、个小球从点 A 出发沿着10AO 方向匀速滚向点O，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点 C 处截住了小球如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程 BC 是多少 ?例 7、如图，在一棵树的 10 m 高的 D 处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树 20 m 处的池塘 A 处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘 A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？例 8、如图，点 P 是等边 ABC 内的一点，分别连接 PA、PB、PC，以 BP 为边作 PBQ=60，且11BQ=BP，连接 OQ (1)观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并说

9、明你的结论；(2)已知 PA：PB：PC=3：4：5，连接 PQ，试判断 PQC 的形状，请说明理由例 9、恩施州自然风光无限， 特别是以“雄、 奇、秀、幽、险”著称于世 .著名的恩施大峡谷（ A）和世界级自然保护区星斗山（ B）位于笔直的沪渝高速公路 X同侧，AB50km，A、B 到直线 X 的距离分别为 10km 和 40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P，向A、B 两景区运送游客 .小民设计了两种方案，图 1 是方案一的示意图（ AP 与直线 X 垂直，垂足为 P），P到 A、B 的距离之和 S1PA+PB，图 2 是方案二的示意图（点 A 关于直线 X 的对称点是 A，连接 BA

10、交直线 X 于点 P），P 到 A、B 的距离之和 S2PA+PB.1）求 S1、S2，并比较它们的大小；122）请你说明 S2PA+PB 的值为最小；3）拟建的恩施到张家界高速公路 Y 与沪渝高速公路垂直， 建立如图 3 所示的直角坐标系， B 到直线 Y 的距离为 30km，请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P、Q，使 P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值 .BAC图1PX拓展提高：1、 在 RtABC 中， AC6，BC8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为()A 24B24C 25D25222、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书周髀

11、算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图(a)13是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的， 可以用其面积关系验证勾股定理图(b)是由图 (a)放人长方形内得到的， BAC 90，AB3，AC4，点 D，E，F，G，H ，I 都在长方形 KLMJ 的边上，则长方形 KLMJ 的面积为()A90B100C110D1213、如图，P 是正 ABC 内一点，且 PA6，PB8，PC10，若将 PAC 绕点 A 逆时针旋转后，得到 PAB，则点 P 与 P之间的距离为 PP_，APB_度4、如图，正方形 ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为 25、9、16，AEH 、BDC 、GFI 的面积分别为 S1、S2、S3，则 S1S2S3_144、材料探究题：方法 1：如图 (a)，对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转 90所得，所以 BAE90，且四边形 ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形 ABFE 面积相等，而四边形 ABFE 面积等于 Rt BAE和 RtBFE 的面积之和，根据图示写出证明勾股定理的过程；方法 2：如图 (b