随机过程知识点

1、第一章：预备知识1.1概率空间随机试验，样本空间记为Q。1Qg则A=QAgf1Qg则A=QAgf；假设Angf，n=L2,，那么JAngf；n=1那么称F为o-代数(Borel域)。(Q,F)称为可测空间，F中的元素称为事件。由定义易知：(4)0gF；(5)若A,BgF,则ABgF；iiii=1i=1i=1(6)若AgF，i=1，2,则DAiiii=1i=1i=1定义1.2设(Q,f)是可测空间，P()是定义在F上的实值函数。如果(1)任意AgF,0P(A)1；(2)P(Q)=1；对两两互不相容事件A,A，&i牛/时，AcA=0)有12ij那么称P是G,Fh的概率，Q,F,P称为概率空间，P(

2、A)为事件A的概率。设Q,F,P是概率空间，GuF，如果对任意A,A，,AgG,n=1,2，12n有:Pf1nIa=Hp(a)有:ii=1I,1ii=1i=1那么称G为独立事件族。1.2随机变量及其分布随机变量X,分布函数F(x),n维随机变量或n维随机向量，联合分布函数，&,tgT是独立的。t设随机变量X的分布函数为F(x)，假设JsIxIdF(x)8，那么称一8E(X)=J8xdF(x)一8为X的数学期望或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes积分。方差，B=EL(X-EX)Y-EY)为X、y的协方差，而XYBP=XY:XYDDXdYY为X、Y的相关系数。假设P=0,

3、那么称X、Y不相关。XYSchwarz不等式假设EX28,EY28,那么(EXY)2EX2EY2.1.4特征函数、母函数和拉氏变换定义1.10设随机变量的分布函数为Fx，称g(t)E(e网)=J8ejtxdF(x),-8t1t,t12n12n其中：1n其中：g(。，。，,6)=E(expiX6x(t)t,t12nkk1nk=1定义2.3设X=X(t),tT的均值函数m/1)defEX(t),tgT。tX二阶矩过程，协方差函数：D(t)=B(t，t)defEX(t)m(t)2,tgtXXX相关函数：RXs,t)=EX(s)X(t)定义2.4设X(t),tT,Y(t),tT是两个二阶矩过程，互协方

4、差函数，互相关函数。2.3复随机过程设X,tgT，Y,tgT)是取实数值的两个随机过程，假设对任意tgTttZ=X+iY，ttt其中i=v1，那么称Z,tgT为复随机过程.t复随机过程X,tgT的协方差函数B(s,t)具有性质t1对称性：B(s,t)=B(t,s)；2非负定性几种重要的随机过程一、正交增量过程定义2.6设&C)tgt是零均值的二阶矩过程，假设对任意的ttttgT,有1234公式那么称xC)那么称xC)正交增量过程。2eIxC)-X(t)x)-X)=0BQ,t)二RQ,/)二。2(minQ,t)XXX二、独立增量过程定义2.7设teT是随机过程假设对任意的正整数几和1112teT

5、,随机变量X(t)-X(t),X(t)-X(),X()-X(t)是互相独立的，那么称kQtel)2132n-1是独立增量过程，需可加过程。定义2.8设),teT)是平稳独立增量过程，假设对任意st,随机变量X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s，那么称kQtel)是平稳独立增量过程。三、马尔可夫过程定义设&QteT)为随机过程，假设对任意正整数n及，且其条件分布tt，0，且其条件分布12P那么称)=P(x(t)12P那么称)=P(x(t)=xIX()=x)，(2.6)nnn-1n-1=xIX(t)=x，,X(t)=xn11n-1n-1teT)为马尔可夫过程。四、正态过程和维纳过程定义2.10设

6、&QteT)是随机过程，假设对任意正整数n和t，teT,(X(t)X(t,X(方是n维正态随机变量，那么称(X()teT)是正态12e12n过程或高斯过程。定义2.11设W(t),-8t0，那么称W(t),-8t8)为维纳过程，也称布朗运动过程。定理2.3设W(t),-8t8)是参数为o2的维纳过程，那么(1)任意te(-8,8),w(t)Nbo211r；(2)对任意一8as,t0为具有参数九0的泊松过程，假设它满足以下条件X(0)=0；X(t)是独立增量过程；(3)在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数九t0的泊松分布，即对任意s,t0,有(入t)nPX(s+1)X(s)=n=e-

7、)-,(n=0,1,2,)(3.1)。由于，入=n!。由于，入=注意，从条件知泊松过程是平稳增量过程且EX(t)=入t示单位时间内事件A发生的平均个数，故称九为此过程的速率或强度。称计数过程X(t),t0为具有参数九0的泊松过程，假设它满足以下条件X(0)=0；X(t)是独立、平稳增量过程；X(t)满足以下两式：(3.2)PX(t+h)-X(t)=1八h+o(h),(3.2)PX(t+h)-X(t)2=o(h)定义3.2与定义3.3是等价的。3.2泊松过程的根本性质一、数字特征设X(t),t0是泊松过程，m(t)=E(X(t)=XtXo2(t)=D(X(t)=XtXR(s,t)=E(X(s)X

8、(t)=Xs(kt+1)XB(s,t)=R(s,t)-m(s)m(t)=ksXXxX一般泊松过程的有BX(s,t)=kmin(s,t)。有特征函数定义，可得泊松过程的特征函数为g(u)=EeiuX(t)=expkt(em-1)X二、时间间隔与等待时间的分布叱为第n次事件A出现的时刻或第n次事件A的等待时间，)是第n个时间间隔，它们都是随机变量。设X(t),t0是具有参数k的泊松分布，T(n1)是对应的时间间隔序列，那么随n机变量T(n=1,2)是独立同分布的均值为1/k的指数分布。n设W,n1是与泊松过程X(t),t0对应的一个等待时间序列，那么W服从参n数为n与k的分布，其概率密度为(kt)

9、n-1ke-儿,t0f(t)=f(t)=Wn0,t0是泊松过程，在0,t内事件A发生n次，那么这n次到达时间WW-0为具有跳跃强度函数入(t)的非齐次泊松过程，假设它满足以下条件：X(0)=0；(2)X(t)是独立增量过程；PX(t+h)-X(t)=1=(t)h+o(h)(3)PX(t+h)-X(t)2=o(h)非齐次泊松过程的均值函数为：m(t)=Jt九(s)dsX0定理3.5设X(t),t0是具有均值函数m(t)=Jt九(s)ds的非齐次泊松过程，那X0么有PX(t+s)-X(t)=n=m(t+s尸mX(t)nexp-m(t+s)-m(t),(n0)n!XX或PXPX(t)=n=mX(t)

10、nn!exp-mX(t)上式说明PX(t+s)-X(t)=n不仅是t的函数，也是s的函数。3.4复合泊松过程设N(t),t0是强度为入的泊松过程，丫k=1,2,.是一列独立同分布随机变量，k,且与N(t),t0独立，令x(t)=Z%0,k=1那么称X(t),t0为复合泊松过程。N(t)设x(t)=EYkt0,是复合泊松过程，那么k=11。X(t),t0是独立增量过程；2X(t)的特征函数g(u)=exp入tg(u)-1，其中g(u)是随机变量Y的特TOC o 1-5 h zX(t)YY1征函数；入是事件的到达率。3假设E(Y2)0,n1) HYPERLINK l bookmark73 ijm+

11、nm为马尔可夫链X,neT的n步转移概率，n定理1设X,neT为马尔可夫链，那么对任意整数n0,011，绝对概率p(n)具nj有以下性质：p(n)=乙pp(n)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark105 jiij(2)p(n)=p(n-1)pjiijieI(3)Pt(n)=Pt(0)P(n)(4)Pt(n)=Pt(n-1)P定理3设X,neT为马尔可夫链，那么对任意i,i,ieI和n1，有n12nPX=i,X=i,，X=i=pppp1122nniiiiiii112n-1n4.2马尔可夫链的状态分类一、状态分类假设X,n0是齐次马尔可夫链，其状态空间I=0,1,2

12、,，n转移概率是p,i,jeI,初始分布为p,i,jeI。ijj定义46如集合n:n1,p(n)0非空，那么称该集合的最大公约数d=d(i)=GCDn:p(n)0为状态i的周期。如d1就称i为周期的，如d=1就称i为ii非周期的。假设对每一个不可被d整除的n，有p(n)=0，且d是具有此性质的最大正整数，那么称d为状态i的周期。“引理4.1如i的周期为d，那么存在正整数M，对一切nM，有p(nd)0。ii定义对i,jeS,记f(0)=0,f=PX=jIX=iij4.15ij4.15f(n)=PX=j,X丰j,k=1,2,，九一1IX=i,n2ijnk0f=f（n）ijijneT称f（n）是系统

13、在0时从i出发经过n步转移后首次到达状态j的概率，而f（8）那么是在0时ijij从i出发，系统在有限步转移内不可能到达状态j的概率。我们将f（n）和f统称为首达概率又称首中概率。引理1（2）又称首中概率。引理1（2）0f(n)fijij首达概率可以用一步转移概率来表示：f（n）=乙乙乙,pij防，LL，/J112n-Vi产j2巧仁产/定义4.7假设f=1，那么称状态i为常返的;假设f1iiii定义4.8如日i8，那么称常返态i为正常返的；如日二8那么称状态i为非常返的。那么称常返态i为零常返的，非周期的正常返态称为遍历状态。从状态是否常返，如常返的话是否正常返，如正常返的话是否非周期等三层次上

14、将状态区分为以下的类型：非常返态（f1）ii零常返态（日=8）常返态(f常返态(f=1)ii正常返态（四1）i|非周期（d=1）遍历态TOC o 1-5 h zf(n)与P(n)有如下关系：ijij定理4.4对任意状态i,j，及1n1,p（n）0=GC.Dn:n1,f（n）0.iiii、常返态的性质及其性质定理4.5状态i常返的充要条件为8pn=0二8ii4.188pn=0二8ii4.18如i非常返，那么piin=011Tfii定理4.7设i常返且有周期d，那么dlimp（nd）=.ii其中匕为i的平均返回时间。推论设i常返，那么从i=8时，=0.日i4.261i1i遍历今limp(n)=一0

15、。nJiiNi定理4.8可达关系与互通关系都具有传递性，即(1)i零常返olimP(n)=0；2iin-8如果i-j，j-k，那么ifk；如果ik,jk，那么ik。定理4.9如ij,那么i与j同为常返或非常返，假设为常返，那么它们同为正常返或零常返；i与j有一样的周期。4.3状态空间的分解状态空间I的子集C称为随机闭集，如对任意ieC及keC都有p=0。ik闭集C称为不可约的，如C的状态互通。马氏链X称为不可约的，如其状态n空间不可约。C是闭集的充要条件为对任意ieC及keC都有p(n)=0,nN1。ik称状态i为吸收的，如p=1。显然状态i吸收等价于单点集i为闭集。ii定理4.10任一马氏链

16、的状态空间1,可唯一地分解成有限个或可列个互不相交的子集D,C,C,之和，使得12每一C是常返态组成的不可约闭集。nC中的状态同类，或全是正常返，或全是零常返。它们有一样的周期且f；=1,i,keC。jkn口由全体非常返状态组成。自C中的状态不能到达D中的状态。a=1。ij称矩阵aJ为随机矩阵，如其元素非负且每i有a=1。ijj显然k步转移矩阵P(k)=p(k)为随机矩阵。即与C即与C相应的k设C为闭集，又G=p(k)，i,jC,是C上所得的ij步转移子矩阵，那么G仍是随机矩阵。定理周期为d的不可约马氏链，其状态空间C可唯一地分解为d个互不相交地子集之和，即d-lC=G,Grir=0*且使得自

17、G中任一状态出发，经一步转移必进入6中其中G=G。设X,nr=0*且使得自G中任一状态出发，经一步转移必进入6中其中G=G。设X,n0是周期为dn(1)如只在时刻0P(d)=(p(d),对此新链，(2)如原马氏链Xnjr+1d0的不可约马氏链，那么在定理的结论下有上考虑X,即得一新马氏链，其转移阵每一G是不可约闭集，且G中的状态是非周期的。常返，Xndp(n)的渐近性质与平稳分布j一、Pin)的渐近性质如j非常返或零常返那口么limp(n)=0,VieIn-gij4.33推论1有限状态的马氏链，不可能全是非常返状态，也不可能含有零常返状态，从而不可约的有限马氏链必为正常返的。推论2如马氏链有一

18、个零常返状态，那么必有无限多个零常返状态。定理4如j正常返，周期为d，那么对任意i及0丫d-1有limp(nd+r)二f(r)推论设不可约、正常返、周期d的马氏链，其状态空间为C，那么对一切limp(nd)=0ij,如当洞属于子集Glimp(nd)=0ij,如当洞属于子集Go.ijjeI(4.42)值得注意的是，对平稳分布冗j,jeI,有(4.42)兀=y兀p(n)jiijieI不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布，且此平1稳分布就是极限分布上,jeI。uj推论1有限状态的不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布。推论2假设不可约马尔可夫链的所有状态是非常返或零常返的，那么不存在

19、平稳分布.推论3假设冗.,jeI是马尔可夫链的平稳分布，那么j，、1p(n)=冗juj第五章连续时间的马尔可夫链设随机过程X(t),tF,状态空间I=i,n0,假设对于任意0tt0)。ij以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔柯夫链都具有齐次转移概率。为方便起见，简称为齐次马尔可夫过程。ijijjeIp(t)p(s)ikkjPJ(t+ijijjeIp(t)p(s)ikkjPJ(t+s)=EkeI其中3式为马尔可夫过程的Chapman-Kolmogorov简称C-K方程。1，2由概率定义及p(t)的定义易知，下面只证明3。ij定义5对于任一tN0,记jjP(t)=PX(t)=j,P=P(0)=

20、PX(0)=j,jeIjj分别称P(t),jeI和p,jeI为齐次马尔可夫过程的绝对概率分布和初始概率分布。性质齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限维概率分布具有以下性质：(1)P(t)0；(2)Ep(t)=1;jjeIjTOC o 1-5 h z(3)P(t)=EPP(t)；(4)P(t+T)=EP(t)P(T);jiijjiijieIieIPX(t)=i,X(t)=i,Xit)=i1122PP(t)PPP(t)P(tt)pt)i%1吗21Mnn-1柯尔莫哥洛夫微分方程设齐次马尔可夫过程满足正那么性条件，那么对于任意固定的i,jeI,pj(t)是t的一致连续函数。lJ设p(t)是齐次马尔可夫过程

21、的转移概率，那么以下极限存在ij(1)(2)1p(At)limii=v=q8A-0Atiiip(At)limj=q8,i中jAt0Atijij推论对有限齐次马尔可夫过程，有q=乙qij推论对有限齐次马尔可夫过程，有q=乙q0,有ikiiEk中iqp(t)qp(t)ijikkjiiijk丰i定理5.2.3柯尔莫哥洛夫向前方程在适当的正那么条件下k手j定理5.2.4齐次马尔可夫链过程在t时刻处于状态jl的绝对概率p(t)满足jIIIIIIIII如下方程：如下方程：jJJk巧kkjpp（t）=p（t）q+Zp（tjJJk巧kkj定理5设马尔可夫过程是不可约的，那么有以下性质：(1)假设它是正常返的，

22、那么极限limp(t)存在且等于冗0,jG/,这里冗是t19ijjj方程组Kq=EkqLjjjk期|Xk=ijgI的唯一非负解，此时称冗.,jGI是该过程的平稳分布，并且有jlimp(t)=K(2)假设它是零常返的或非常返的，那么limpj(t)=limpj(t)=0,i,jgIt19t195.3生灭过程定义设齐次马尔可夫过程X(t),t0的状态空间为I=0,12，转移概率为pj(t)，如果p(h)=Xh+o(h)(k0)TOC o 1-5 h zp(h)1=旦h+0(h)0,旦=0)川Vi,i-1ii0p(h)=1-(k+旦)h+o(h)iiiip(h)=o(h)(Ii-jl2)iij那么称

23、X(t),t0为生灭过程。其中，k称为出生率，N称为死亡率。ii(1)假设k=ik,从=i.(k,.为正常数)，那么称X(t),t0为线性生灭过程；ii(2)假设N三0，那么称X(t),t0为纯生过程；i假设k三0，那么称X(t),t0为纯灭过程。i第六章平稳随机过程平稳过程的概念与例子一、平稳过程的定义定义6.2联合平稳过程及相关函数的性质一、联合平稳过程定义设X(t),tgT和Y(t),tgT是两个平稳过程，假设它们的互相关函数EX(t)Y(t-t)及EY(t)X(t-T)仅与t有关，而与t无关，那么称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。定理设X(t),tgT为平稳过程，那么其相关函数具

24、以下性质：(1)RJ0)0;(2)L=R(-T);(3)R(T)0Xijiji,j=1(5)假设X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)=X(t+T)，那么R(T)=R(t+t)；XX(6)假设X(t)是不含周期分量的非周期过程，当tT9时，X(t)与X(t+t)相互独立，那么limR(T)=mmTJXXXR(T)2R(0)R(0),R(T)20,假设有limPlX(e)-X(e)l=0,nnT8那么称二阶矩随机序列X(e)依概率收敛于二阶矩随机变量X(e),记作nXrX。n4、均方收敛设有二阶矩随机序列X和二阶矩随机变量X,假设有nlimE|X-X|2=0(6.3)nnT8成立，那么称X均方

25、收敛，记作XrX。nn注：(6.3)式一般记为l.i.mX=X或l.imX=X。nnxT85、依分布收敛设有二阶矩随机序列X和二阶矩随机变量X，假设X相应的分布函数列nnF(%),在X的分布函数F(x)的每一个连续点处，有nlimF(x)=F(x)nn-8那么称二阶矩随机序列X依分布收敛于二阶矩随机变量，记作XXnn对于以上四种收敛定义进展比拟，有以下关系：(1)假设XX，那么XXnn(2)假设Xae-X，那么X-Xnn(3)假设XX，那么XXnn定理2二阶矩随机序列X收敛于二阶矩随机变量X的充要条件为nlimEIXX|2=0nmn-8定理3设X,Y,Znmn-8定理3设X,Y,Z都是二阶矩随

26、机序列，nnna,b,c为常数。令l.i.mX=X,1nl.i.mc=limc=c；nnn-8l.i.mY=Y,nU为二阶矩随机变量，c为常数序列，nl.i.mZ=Z,l.i.mc=c。那么nn2345l.i.mU;U；l.i.m(cU)=cU；nl.i.m(aX+bY)=aX+bY；nnlimEX=EX=El.i.mX；6n-8limEXY=EXY=E(l.i.mXnmn,m-8n)(l.i.mYm)；特别有limEIX2=E|X|2=E|l.i.mXI2。nn-8定理4设X为二阶矩随机序列，那么X均方收敛的充要条件为以下极限存在nlimEXX。nmn,m-8二、均方连续定义设有二阶矩过程X

27、(，假设对eT,有limEIX(t+h)-X(t)|2=0,h-000那么称X(t)在t点均方连续，记作l.imX(t+h)=X(t)。假设对T中一切点都均方连续，0h-000那么称X(t)在T上均方连续。定理均方连续准那么二阶矩过程X(t),teT在t点均方连续的充要条件为相关函数R(t,t)在点。,t)处连续。X12推论假设相关函数R(t,t)在(t,t),teT上连续，那么它在TXT上连续X12三、均方导数定义7设X(t),teT是二阶矩过程，假设存在一个随机过静(t),满足limEIX(t+h)-X(t)-xf(t)|2=0h-0h则称X(t)在t点均方可微，记作y，(八_dX(t)/

28、.X(t+h)-X(t)X(t)=l.1mdth-0h并称X(t)为X(t)在看点的均方导数。d2X类似的有X(t)或1称TOC o 1-5 h zR(t+h,t+h)-R(t+h,t)R(t,t+h)-R(t,t)一limX_11_22X_11_2X_1_22X-1-2h-0hhhhh；J1212为R(t,t)在(t,t)的广义二阶导数，记为X1212d2R(t,t)X_1-2dtdt12定理6均方可微准那么二阶矩过程X(t),teT在七点均方可微的充要条件为相关函数R(t,t)在点。,t)的广义二阶导数存在。X12推论1二阶矩过程X(t),teT在T上均方可微的充要条件为相关函数R(t,t

29、)在X12(t,t),teT上每一点广义二阶可微。dm(t)那么卡在T上以推论2假设RX(t1,t2)在(dm(t)那么卡在T上以,、d八，、d八，、(t,t),R(t,t)，:R(t,t)x12etx12etetx121212在Txt上存在，且有丝色二空Xt)=Ex，(t)；dtdt(2)(3)(4)er(2)(3)(4)er(ta)e:X：1,2)=EX(t)X(t)=EX(t)X(t);etet121211er(ta)e:X11,2)=EX(t)X(t)=EX(t)X(t);etet121222e2R(t,t)X_1-2etet12e2R(t,t)X_1-2etet21=EX(tlx(t

30、2)四、均方积分定义8如果A定义8如果AT0时n在a,b上均方可积，并记为S均方收敛于S，即limEISnAnT0-S|2-0，那么称f(t)X(t)S=f(t)XS=f(t)X(t)dt=l.imf(t)X(t)(t-tiiiA方0i=1i-1)称此为f(t)X(t)在区间a，b上的均方积分。定理7均方可积准那么f(t)X(t)在区间a，b上均方可积的充要条件为JbJbf(t)ftF)R(t,t)dtdtaa12X1212存在。特别的，二阶矩过程X(t)在a,b上均方可积的充要条件为R(t,t)在a,bxa,bX12上可积。定理8(1)特别有设f(t)X(t)在区间a,b上均方可积，那么有E

31、Jbf(t)X(t)dt=Jbf(t)EX(t)dtaaEJbX(t)dt=JbEX(t)dt(2)EJ(2)EJbf(t)X(t)dtfbf(t)X(t)dt二11122aa特别的有EIJbX(t)dt|2=JbJbaaaJbJbf(t)可3R(t,t)dtdt12X1212aaR(t,t)dtdt。X1212定理9设二阶矩过程X(t),teT在a,b上均方连续，那么Y(t)=JtX(t)dt,(atb)a在均方意义下存在，且随机过程X(t),teT在a,b上均方可微，且有Y(t)=X(t)。推论设X(t)均方可微，且X(t)均方连续，那么特别有X(t)-X(a)=JtX(t)dta特别有X

32、(t)-X(a)=JtX(t)dta4平稳过程的各态历经性定义9设X(t),-8t8为均方连续的平稳过程，那么分别称=l.i.mXJTX(t)dt,=l.i.mXJTX(t)X(t-t)dtT.82T-TT.82T-T为该过程的时间均值和时间相关函数。定义10设X(t),-8t8是均方连续的平稳过程，假设里E(X(t)，即l.i.mJTX(t)dt=mt.82T-TX以概率1成立，那么称该平稳过程的均值具有各态历经性。假设里E(X(t)X(t-T)，即l.i.mJTX(t)X(t-t)dt=R(t)T.82T-TX以概率1成立，那么称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。定义11如果均方连续的平

33、稳过程X(t),teT的均值和相关函数都具有各态历经性，那么称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。定理10设X(t),-8t8是均方连续的平稳过程，那么它的均值具有各态历经limJlimJ2TT.82T-2TRX(T)-mX2dT=0(6.9)设X(t),-8t8为均方连续的平稳过程，那么其相关函数具有各态历经性的充要条件为limXJT.8limXJT.82T-2TB(T)-R(T)2dT=0(6.15)其中B(T)B(T)=EX(t)X(t-T)X(t-T)X(t-T-T)对于均方连续平稳过程X(t),0t8，l.i.mJTX(t)dt=mT.8T0X1等式(6.16)以概率1成立的充要条件

34、为i忙lim-J11-L!B(t)dr=0i2T-tIT)x假设X(t)为实平稳过程，那么上式变为1JtTOC o 1-5 h zlim-JT1-B(t)dt=0TTxT-gT0VT7X对于均方连续平稳过程x(t),0tg，等式1-_l.i.mJTX(t)X(t-t)dt=R(t)TfgT0X以概率1成立的充要条件为limlJT11-ITB(t)-R(t)21d-=0T-gT-tVT尸1X1其中B(-1)与6.16式一样。假设X(t)为实平稳过程，那么上式变为limT卜1-3B(-1)-Rx(t)2d-二0TfgT0VT六第七章平稳过程的谱分析7.1平稳过程的谱密度是均方连续随机过程，作截尾随机过程XX(t),1tlTX因为xt(t)均方可积，故存在傅式变换gT.(7.4)F(3,T)=JX(t)e-，3tdt=JX(t)e-而tdt.(7.4)x-gT-TT利用帕塞伐公式及傅式反变换，可得F(3,T)2F(3,T)2d3XJX2(t)dt-Jx2(t)dt=J-gT-T2兀-g设(X(