浙江版高考数学总复习专题12.3离散型随机变量及其分布列、均值与方差（试题练）教学讲练

1、数学高考总复习PAGE PAGE 16学好数理化，走遍天下都不怕12.3离散型随机变量及其分布列、均值与方差探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点离散型随机变量及其分布列1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解两点分布和超几何分布的意义,并能进行简单的应用.2018浙江,7,4分离散型随机变量的分布列函数的单调性离散型随机变量的均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.2019浙江,7,4分离散型随机变量的均值、方差随机变量的

2、分布列2017浙江,8,4分离散型随机变量的均值、方差随机变量的分布列分析解读1.随机变量及其分布列、均值与方差是概率统计部分的重要内容,是高中数学的主干知识,也是高考的热点.2.主要考查随机变量分布列的性质及运算求解能力.3.一般以解答题形式出现,以随机变量分布列为载体,综合计数原理、古典概型、等可能事件等考查学生分析问题、解决问题的能力.4.预计2021年高考试题中,对随机变量及其分布列、均值与方差的考查必不可少.破考点 练考向【考点集训】考点一离散型随机变量及其分布列1.(2019浙江“超级全能生”联考,15)随机变量X的分布列为X-3-113Pabcd其中a,b,c,d成等差数列(aE

3、(Y),D(X)D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)D(Y)C.E(X)E(Y),D(X)=D(Y)D.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)答案C2.(2020届浙江师大附中11月模拟,6)设0a12,且B.P(X=1)12,且C.P(X=1)=12,且D.P(X=1)=12,且答案D4.(2020届浙江绍兴一中期中,6)随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=13,则D(3X-2)=(X-101P1abA.59B.53C.5答案C【五年高考】A组自主命题浙江卷题组考点一离散型随机变量及其分布列(2018浙江,7,4分)设0p1,随机变量的分布列是012P11p则当p在(0,1)内增大时

4、,() A.D()减小 B.D()增大C.D()先减小后增大D.D()先增大后减小答案D考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2019浙江,7,4分)设0a1.随机变量X的分布列是X0a1P111则当a在(0,1)内增大时,() A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大答案D2.(2017浙江,8,4分)已知随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0p1p212,则(A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)答案AB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一

5、离散型随机变量及其分布列1.(2019天津理,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,重点考查数学建模、数学运算的核心素养.(1)因为甲同

6、学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故XB3,23,所以,随机变量X的分布列为X0123P1248随机变量X的数学期望E(X)=323(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则YB3,23,且由题意知事件X=3,Y=1与X=2,Y=0互斥,且事件X=3与Y=1,事件X=2与Y=0均相互独立,从而由(1)知P(M)=P(X=3,Y=1X=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=82729+491思路分析(1)观察关键词“均”“互不影响”“相互独立”,判断XB(n,p),从

7、而利用二项分布求出分布列与期望.(2)先将“天数恰好多2”用数学语言表示,即X=3,Y=1解后反思本题关键是将实际问题转化为数学问题.2.(2017课标全国理,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)

8、15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解析本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)=2+1690=0.2,P(X=300)=3690=0.4,P(X=500)=因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,

9、这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200n500.当300n500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.当200n300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=

10、160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.3.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C21C(2)X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=0)=C83C103=7P(X=2)=C22C综上知,X的分布列为X012P771故E(X)=0715+1715+21154.

11、(2015四川,17,12分)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.解析(1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99(2)根据题意,X的

12、可能取值为1,2,3.P(X=1)=C31CP(X=2)=C32CP(X=3)=C33C所以X的分布列为X123P131因此,X的数学期望为E(X)=1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=115+235+3评析本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2018课标全国理,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)P(X=6

13、),则p=() A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案B2.(2017课标全国理,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=.答案1.963.(2016四川,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.答案34.(2018课标全国理,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有

14、产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0;当p(0.1,1)时, f (p)400,故应该对余下的产品作检验.5.(2018天津理,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解析本

15、题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=C4所以随机变量X的分布列为X0123P112184随机变量X的数学期望E(X)=0135+11235+21835+34(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不

16、足的员工有1人”,则A=BC,且B与C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=67所以事件A发生的概率为676.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,nN*,n2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,m+n).123m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)n

17、(解析本题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其性质,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P=Cm+n(2)随机变量X的概率分布为X11111PCCCCC随机变量X的期望为E(X)=k=nm+n1所以E(X)1=1=1(n-1)Cm+n=1(n-1)Cm+nn(=1(n-1)Cm+n=1(n-1)=Cm+n即E(X)70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09.故P(A)=1-P(A)=0.91.3.(2015福建,16,13

18、分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=564534(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.P(X=1)=16,P(X=2)=5615=16,P(X=3)=56所以X的分布列为X123

19、P112所以E(X)=116+216+323考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2016山东,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.解析(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲

20、第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“星队至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD,由事件的独立性与互斥性,得P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)=342334=23所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X=0)=1413141P

21、(X=1)=23413P(X=2)=34133413+34131423+1423341P(X=3)=34231413+141334P(X=4)=23423P(X=6)=34233423=可得随机变量X的分布列为X012346P1525151所以数学期望EX=01144+1572+225144+3112+45122.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到

22、检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).解析(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)=A21A(2)X的可能取值为200,300,400.P(X=200)=A22AP(X=300)=A33+P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-110-310=故X的分布列为X200300400P136EX=200110+300310+4003.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的

23、乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)记事件A1=从甲箱中摸出的1个球是红球,A2=从乙箱中摸出的1个球是红球,B1=顾客抽奖1次获一等奖,B2=顾客抽奖1次获二等奖,C=顾客抽奖1次能获奖.由题意,A1与A2相互独立,A1A2与A1A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1A2+A1A2,C=B因为P(A1)=410=25,P(A2)=510所以P(B1)=P(A1

24、A2)=P(A1)P(A2)=2512=P(B2)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P(A=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A=P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2)=251-12+1-故所求概率P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=15+12=(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为15,所以XB3于是P(X=0)=C301P(X=1)=C311P(X=2)=C321P(X=3)=C331故X的分布列为X0123P6448121X的数学期望为E(X)=064125+148125+212125+314.(2015

25、湖北,20,12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品,生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 00

26、0元的概率.解析(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x吨,y吨,相应的获利为z元,则有2x+1目标函数为z=1 000 x+1 200y.当W=12时,表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).当z=1 000 x+1 200y变形为y=-56x+z当x=2.4,y=4.8时,直线l:y=-56x+z1 200最大获利Z=zmax=2.41 000+4.81 200=8 160.当W=15时,表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).将z=1 000 x+1 200y变形为y=-56x+z当x=3,y=6

27、时,直线l:y=-56x+z1 200最大获利Z=zmax=31 000+61 200=10 200.当W=18时,表示的平面区域如图3,四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将z=1 000 x+1 200y变形为y=-56x+z当x=6,y=4时,直线l:y=-56x+z1 200最大获利Z=zmax=61 000+41 200=10 800.故最大获利Z的分布列为Z8 16010 20010 800P0.30.50.2因此,E(Z)=8 1600.3+10 2000.5+10 8000.2=9 708.(2)由(1)知,一天最大获利超过10 000元的概率p1=P(Z10 000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.评析本题考查了线性规划,离散型随机变量的分布列与均值及概率的计算等基础知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共36分) 1.(2019浙江高考信息优化卷(一),5)已知随机变量YB(n,p),且E(Y)=2.4,D(Y)=1.68,则此二项分布是()A