（福建专用）2013年高考数学总复习 第八章第2课时 空间几何体的表面积和体积课时闯关（含解析）

1、PAGE PAGE 6（福建专用）2013年高考数学总复习 第八章第2课时 空间几何体的表面积和体积课时闯关（含解析）一、选择题1(2012泉州质检)过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的()A.eq f(1,16)B.eq f(3,16)C.eq f(1,12) D.eq f(1,8)解析：选B.由题意可得截面圆半径为eq f(r(3),2)R(R为球的半径)，所以截面面积为(eq f(r(3),2)R)2eq f(3,4)R2，又球的表面积为4R2，则eq f(f(3,4)R2,4R2)eq f(3,16)，故选B.2(2010高考陕西卷)若某空间几何体的

2、三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.eq f(1,3) B.eq f(2,3)C1 D2解析：选C.由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和eq r(2)，三棱柱的高为eq r(2)，所以该几何体的体积Veq f(1,2)1eq r(2)eq r(2)1.3(2012襄樊调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()A.eq f(28,3) B.eq f(16,3)C.eq f(4,3)8 D12解析：选A.由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则该几何体的体积为222eq f(4

3、,3)eq f(28,3).4将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BDa，则三棱锥DABC的体积为()A.eq f(a3,6) B.eq f(a3,12)C.eq f(r(3),12)a3 D.eq f(r(2),12)a3解析：选D.设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，沿AC折起后，依题意得：当BDa时，BEDE，DE面ABC，三棱锥DABC的高为DEeq f(r(2),2)a，VDABCeq f(1,3)eq f(1,2)a2eq f(r(2),2)aeq f(r(2),12)a3.5圆锥轴截面的顶角满足eq f(,3)eq f(,2)，则侧面展开图中中心角满足()A.

4、eq f(,4)eq f(,3)B.eq f(,3)eq f(,2)C.eq f(,2) Deq r(2)解析：选D.设圆锥母线长为R，底面圆的半径为r，则rRsineq f(,2).又底面周长l2rR，即2Rsineq f(,2)R，2sineq f(,2).eq f(,3)eq f(,2)，eq f(1,2)sineq f(,2)eq f(r(2),2)，eq r(2)，故选D.二、填空题6.(2012漳州调研)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1BCO解析：Veq f(1,3)SBOCB1Beq f(1,3)eq f(1,2)BO

5、BCsin45B1Beq f(1,6)eq r(2)2eq f(r(2),2)2eq f(2,3).答案：eq f(2,3)7以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为_解析：设圆锥底面半径为r，则母线长为2r，高为eq r(3)r，圆柱的底面半径为r，高为eq r(3)r，eq f(S圆柱侧,S圆锥侧)eq f(2rr(3)r,r2r)eq r(3).答案：eq r(3)18已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是_解析：由三视图知该几何体是三棱锥，底

6、面ABC中，ABAC，ADBC，AD2，BC2.面SBC面ABC，SD面ABC，SD2，所以该三棱锥的体积等于eq f(1,3)eq f(1,2)222eq f(4,3)(cm3)答案：eq f(4,3) cm3三、解答题9已知圆台的母线长为4 cm，母线与轴的夹角为30，上底面半径是下底面半径的eq f(1,2)，求这个圆台的侧面积解：如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知AC4 cm，ASO30，O1Ceq f(1,2)OA，设O1Cr，则OA2r又eq f(O1C,SC)eq f(OA,SA)sin30，SC2r，SA4r，ACSASC2r4 cm，r2 cm.所以圆台的侧面积为S(

7、r2r)424 cm2.10已知三棱锥的顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，三棱锥的侧棱长为10 cm，侧面积为144 cm2，求棱锥的底面边长和高解：如图所示，三棱锥SABC中，SA10.设高SOh，底面边长为ABa.连接AO，延长交BC于点D，连接SD，S侧eq f(1,2)3aSD144，即eq f(1,2)3a eq r(102f(a,2)2)144.底面边长a12 cm.SD8.又在RtSOD中，h2SD2OD282(eq f(r(3),6)a)264eq f(1,12)12252.高SOh2eq 一、选择题1(2012三明调研)若正方体的棱长为eq r(2)，则以该正方体各个面

8、的中心为顶点的凸多面体的体积为()A.eq f(r(2),6) B.eq f(r(2),3)C.eq f(r(3),3) D.eq f(2,3)解析：选B.所求八面体体积是两个底面边长为1，高为eq f(r(2),2)的正四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V1eq f(1,3)1eq f(r(2),2)eq f(r(2),6)，故八面体体积V2V1eq f(r(2),3).故选B.2某几何体的一条棱长为eq r(7)，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为eq r(6)的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则ab的最大值为()A2eq r(2) B2eq r(

9、3)C4 D2eq r(5)解析：选C.结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算如图设长方体的高宽高分别为m，n，k，由题意得eq r(m2n2k2)eq r(7)，eq r(m2k2)eq r(6)n1.eq r(1k2)a，eq r(1m2)b，所以(a21)(b21)6a2b28，(ab)2a22abb282ab8a2b216ab4，当且仅当ab2时取等号二、填空题3一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为_解析：棱锥的直观图如图，则有PO4，OD3，在RtPOD和RtABC中，由勾股定理，得PD5，AB6eq r(2)，全面积为：eq f(1,2)662eq f(1,

10、2)65eq f(1,2)6eq r(2)44812eq r(2).答案：4812eq 4如图，已知球O面上有四点A、B、C、D，满足DA平面ABC，ABBC，DAABBCeq r(3)，则球O的体积等于_解析：由题意，三角形DAC，三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜边所以DC边的中点就是球心(到D、A、C、B四点距离相等)，所以球的半径就是线段DC长度的一半，Veq f(4,3)R3eq f(9,2).答案：eq f(9,2)三、解答题5.如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB3，AA14，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为eq r(

11、29)，设这条最短路线与CC1的交点为N.求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC和NC的长解：(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形所以对角线长为eq r(4292)97；(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB1展开，如图，设PC的长为x，则MP2MA2(ACx)2，因为MPeq r(29)，MA2，AC3，所以x2，即PC的长为2，又因为NCAM，所以eq f(PC,PA)eq f(NC,AM)即eq f(2,5)eq f(NC,2)，所以NCeq f(4,5).6有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解：如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC