第十三届全国周培源大学生力学竞赛(个人赛)试题点评

1、第十三届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛）试题点评2021年5月23日，第十三届全国周培源大学生 力学竞赛（个人赛）落下帷幕，这是由教育部高教司 委托中国力学学会和周培源基金会主办的全国大学 生力学赛事。对比1988年第一届赛事仅有62人参 加，今年参赛人数达到创纪录的30 369人，比2019 年的第十二届参赛人数增加了 14%。参加竞赛的学 生主要来自大学二、三年级的力学、土木水利、机 械、能源动力、航空航天等专业。通过参加竞赛，检 验了大学生对理论力学和材料力学等基础力学课程 知识的理解和掌握程度。个人赛的命题范围包含基础题和提高题两个部 分，对全国高校基础力学课程的教学具有指导意义 和

2、参考价值。本文点评了本届的力学竞赛题，评议题 目内容的难易程度，是否是现行教学大纲的内涵和 外延。1个人赛试题点评本届比赛的理论力学和材料力学题目共7道题, 基础题部分4道题和提高题部分3道题，各占总成 绩的50%。基础题的第1，2题为理论力学题目，第 3, 4题为材料力学题目。第57题是内容比较综合 的提高题。点评如下。第1题（18分）：是利用同一机构设计的静力 学、运动学和动力学的混合问题。题目：铅垂面内的机构如图1所示，由直角杆 ABC，BC1，CDE，CiDE1 铰接而成，销钉 A1 可 沿固定水平滑槽运动，AB = BC = AiB = BCi = CD = CiD = a，DE =

3、 DEi = 2a。1）已知图示瞬时AB与水平线AAi的夹角为 9, ABC的角速度为3，求CDE和CiDEi的角速 度 3CDE 和 3c1 DE1 ； （5 分）2）已知ABC上作用力偶M，E和Ei点通过刚 度为k、原长为2a的弹簧连接，均质杆DE和DEi 的质量均为m，忽略其他杆的质量和各处摩擦。为 使系统在9 = 45。的位置平衡，求销钉Ai上的水平 力F； （5分）3）若在上述平衡位置突然撤去力F，求该瞬时 ABC的角加速度 以ABC。 （8分）图1第1题图点评：第1）问是运动学问题，求角速度，有不 同方法求解。最简单的方法是列出相关角度的表达 式，进行求导。这一方法需要充分利用几何

4、关系，但 是大部分学生不容易想到。在理论力学教学中，一般 有两种方法求解运动学问题。一种方法是在一般位置列出坐标、角度的表达 式，然后进行求导。由于这种方法偏重数学计算，没 有体现力学的概念和技巧，所以在教学中基本上是 一带而过，学生可能不重视，但本题用这种方法最为 简洁。另一种方法是利用基点法或复合运动，通过动 点、动系、牵连运动、相对运动等明显具有力学含义 的运动量，分析出未知的运动。这是运动学教学中 的重点，学生接受了大量训练，所以容易从这方面思 考，但是这样做的工作量比较大。第2）问是静力学问题，求系统平衡时力的大小, 也有不同方法求解。静力学通常有几何静力学与分析静力学两种方 法：几

5、何静力学从受力的角度进行分析，如果系统 复杂，则适当拆开系统，把约束解除施加约束力，画 受力图，列出平衡方程。这种方法通常比较繁琐，拆 开系统后暴露出一些未知约束力，需要巧妙选择研 究对象并列写合适的平衡方程，有时还需要求解联 立方程，求解有一定的技巧也比较麻烦。分析静力学从虚功的角度找出系统平衡时主动 力或主动力偶矩之间的关系。分析静力学最大的特 点是把系统整体处理，不拆开，不暴露出多余的未知 约束力。因此对一个自由度系统的平衡问题，处理起 来最方便，本题就是这样。第3）问是动力学问题，突然撤出所施加的外力, 也有不同方法求解，包括动量原理（动量定理和动量 矩定理）、达朗贝尔原理（动静法）、

6、动力学普遍方程、 拉格朗日方程等，所有方法都比较繁琐，相对来说动 静法稍微简单一些。评论：本题把静力学、运动学、动力学融合在一 起，是比较综合的题目。从题目设计的角度看，第1） 问较好，存在不同的解题方法，工作量差异明显不 同，容易考察出学生的灵活性。第2）问也比较好, 存在不同的方法，且工作量差异比较大，容易考察学 生的解题能力。第3）问不是很好，各种方法都很繁 琐，而且基本上没有什么灵活性。作为竞赛题，一旦 可以用拉格朗日方程或达朗贝尔原理来处理，就只 有工作量了，不容易区分学生的潜力和水平。同时，第1）问也反映出一个问题：在计算机普及 之后，列方程求导也应该是运动学的重要方法，能够 快速

7、获得整个运动过程中全部运动参数的关系；而 基点法或复合运动强调力学概念，但只能对特定位 置进行分析。第2题（12分）是涉及碰撞的动力学问题，比 较综合。题目：图2（a）为可在火星上滚动的无轮缘车 轮，由n根直杆在中点固结而成。假设n = 3，各杆 质量均为2m、长度均为2R，相邻杆间的夹角均为 60。，如图2（b）所示。车轮在铅垂面内向右滚动，杆 件各端点依次与路面发生完全塑性碰撞，且不发生 相对滑动。端点A与路面碰撞前、后瞬时车轮的角 速度分别记为和，端点B与路面碰撞前、 后瞬时车轮的角速度分别记为即o和边1。已知重 力加速度为g。1）求3夕1与3bo 的比值；（3分）2）如图2（b）所示，

8、假设路面上与端点A，B，C 碰撞的三个点位于同一高度，求车轮能够由图中实 线位置滚动到虚线位置的3A1的最小值；（4分）(a)（b）图2第2题图3）车轮沿倾角为3 （3 0（1）由于求不出显示表达式，采用计算机算出，3 7.08。时满足要求（见图3）。也许有人会奇怪，为什 么解答是一个范围，而不是一个确定的角度。这是因 为题目假设了杆件各端点与路面发生完全塑性碰撞, 且不发生相对滑动（涉及摩擦），而摩擦问题的解通 常是一个区域。评论：本题设计比较巧妙，需要概念清楚，综合 考虑较多因素，作为竞赛题比较好。第3题（15分）是静不定平面杆系交汇的静力 学平衡问题，杆件的应力-应变关系为分段线弹性 和

9、小变形。题目：平面杆系结构由四根材料相同的圆截面 直杆组成，其中杆AC与杆BC长度相同、直径均 为d1 = 20 mm，杆CD与杆CE长度相同、直径均 为d2 = 40 mm，设计尺寸如图4（a）所示。各杆材 料的应力-应变曲线如图4（b）所示（分段线性），Oa 和ab段的弹性模量分别为Ea = 200 GPa，Eb = 50 GPa。装配时发现杆AC和杆BC均比设计尺寸 短了 0.3 mm。1）求装配完成后各杆的内力；（7分）2）装配完成后，在点C施加垂直向下的力F = 90 kN，如图4（c）所示，求各杆的内力。（8分）点评：轴向受力的四根桁架杆件交汇于铰节点 C，为2次静不定结构，材料为

10、双线性弹性和小变形。 利用左右结构、杆件内力和约束条件的对称性，C点 水平位移为零，仅余下1次静不定。基本概念是制 造误差不引起静定结构的内力变化，但是引起静不 定结构的内力重新分配。第1）问是杆件发生制造误差后完成装配引起的 内力。由于上部两杆产生制造误差，使得静不定杆件 体系的内力重新分配。通过C点处力和位移的竖向 投影，建立平衡方程和变形协调条件。利用对称性和 小变形，取对称轴一侧的隔离体建立平衡方程，在方 程中包含了材料的物性关系，即双线性的应力-应 变关系，为1次静不定问题。联立平衡方程和几何方 程（变形协调方程），求解两根杆件的内力。在材料 力学教材中有简单静不定桁架的例题和作业，

11、大部 分学生能够完成这个求解过程，属于基本训练内容。的基本题目。多数学生熟悉求解静不定体系的平衡 和变形协调方程，知道如何入手分析。但是第2）问 的计算比较繁杂，需要试算判断材料处于双线性应 力-应变的哪个区间。这里需要注意的是不要将a 点之后的应力-应变曲线误判为进入塑性，按照弹 塑性问题卸载。第4题（15分）是圆轴扭转和拉伸时表面应变 状态的计算题目：直径为D、长度为l的实心圆轴试件如 图5（a）所示。在圆周表面画一微线段AB，其初始 位置与水平线AC成月角。当圆轴两端受到外力偶 矩Me作用后，实验测得微线段AB顺时针偏转了 月1。已知圆轴的材料常数E和旧，变形均在线弹性 小变形范围内。1

12、）求外力偶矩Me； （5分）2）在外力偶矩Me作用下再施加轴向拉力F， 如图5（b）所示。实验测得微线段AB偏转角又增大 了 伽，求拉力F ； （5分）3）为提高实验测试灵敏度，越大越好。当外 力偶矩Me和轴向拉力F同时作用且F = 8Me/D， 问月为何值时最大？ （5分）图4第3题图图5第4题图第2）问是C点作用垂直向下的集中载荷。因 为是双线性弹性材料，根据受力后的杆件应力-应 变关系，判断杆件材料处于哪个弹性阶段，采用哪个 弹性模量。需要通过应力试算的方法求解，如果变形 超过弹性阶段1，就要重新建立变形协调条件，考虑 叠加上弹性阶段2的变形。如果考虑压杆稳定性校 核，就要采用细长杆屈曲

13、的欧拉公式。评论：这道题难易程度适中，是力学分析计算点评：第1）问是给定圆轴表面一条微线段（前 视图），在产生圆轴扭转变形的外力偶矩作用下产生 微小转角，求所施加的外力偶矩的值（图5（a）。首先 要清楚圆轴受纯扭转时，圆轴表面A点为纯剪切应 力状态，画出A点处矩形单元的变形几何关系（要 用到小变形的近似简化），并要注意微线段的微小转 角不是该点的剪应变（在材料力学中，剪应变是过某 点两根变形前相互垂直的微线段在变形后直角的改 变量，且与微线段的方位有关），接着将剪切应力用 剪切应变乘以剪切模量表示，利用剪切应力与扭矩 的关系，获得所施加的力偶矩的值。第1）问考验学 生对扭矩、扭转剪切应力-应变

14、关系的理解。第2）问是保持第1）问的微线段微小转角和外 力偶矩，增加拉伸载荷，此时圆轴产生拉扭组合受力 和变形，通过实验测得的微线段微小转角增量，求所 施加的拉伸载荷。第2）问考验学生对扭转和拉伸组 合受力和变形的理解，比第1）问提高了难度。这两 个问题都是已知变形求外力。出题很好，属于基本 题目。第3）问求变形的极值问题。已知内力求应力的 极值问题没有难度，引入强度理论评估失效状态。但 是，已知内力求变形的极值问题是有难度的，计算也 比较复杂。引入极值条件，令转角增量对转角的一阶 导数等于零，得到驻值；判断二阶导数的正负号，给 出极小或极大值。评论：这个题目出得很好，前两个问题融合了 圆轴扭

15、转中剪应变、剪应力与扭矩的关系。属于基本 题目，不超纲，考验学生对材料中一点的应变状态和 角位移实验测量以及剪应变正确概念的理解能力和 精确计算能力。第3）问是超出了大多数学生的知识范围。目前 教材普遍讲授一点应力状态，比如弯曲、扭转和拉伸 作用下的应力状态，通过理论公式和应力莫尔圆计 算主应力和最大剪应力，给出一点应力状态下的最 大主应力。学生普遍掌握剪切变形的计算问题。对于 一点应变状态的分析内容，在美国铁摩辛柯编著的 材料力学教材和我国20世纪80-90年代的教材中 包含这部分内容，但是目前大多数教材中没有这部 分内容，由于学时所限，课程内也不讲这部分内容, 所以学生普遍不会做。第5题（

16、15分）是理论力学（已知运动求主动 力的动力学题）与材料力学的综合问题。题目：图6所示圆盘-连杆-活塞机构在铅垂 平面内运动，圆盘O上OA的长度为1000 mm，连 杆AB的长度为2000 mm、质量为200 kg，活塞B 的质量为200 kg，所有构件均可视为均质体。在驱动 力F作用下，圆盘O以匀角速度/ = 100 rad/s逆 时针转动。考虑重力，不计摩擦。1）将圆盘O、连杆AB和活塞B均视为刚体。当6为何值时，活塞B上驱动力F的大小有多解? 当6 = 90。时，求活塞B上的驱动力F； （5分）图6第5题图2）将连杆AB视为变形体（不考虑连杆AB的 压杆稳定性问题）。已知连杆AB的横截面

17、面积A = 12.8x 103 mm2，抗弯截面系数 W = 1.0 x 106 mm3，材 料的许用应力a = 180 MPa。当机构运动到6 = 90。 时，校核连杆AB的强度，并画出连杆AB弯矩图 的大致形状。（1分）点评：第1）问是机械运动的常识，知道机构在 运动时存在奇异位置或称为“死点”（也称运动死点、 机械死点）就很简单，不知道则无从下手。所谓“机 械死点”，是指在平面连杆机构中，若以摇杆或滑块 为主动件，当运动构件处于同一直线位置时，不论驱 动力多大，都不能使机构起动。火车是用活塞（滑块）运动推导车轮转动的，万 一停车时处于“机械死点”位置，火车就开动不了。 为了避免这一现象，

18、两侧车轮与活塞的连接位置错 开90。即可。第2）问是常规的动力学问题，可以运用质系普 遍定理求解。这一题最简便的方法是采用donf动力 学普遍方程求解：设AB杆与垂线角度为9,半径为 尸，杆长为L，列出一般位置B点和AB杆中点C 的坐标，求导得到加速度，然后加上惯性力和惯性力偶，给出虚位移（见图7），不用拆开系统，直接求出F。mABgA图7系统加上惯性力、虚位移JCBaABmABgA图7系统加上惯性力、虚位移JCBaABmiBg6ryB = r cos 0 + L cos 9yC = r cos 0 + ； L cos 9(2)对式（2）求导有(2)yB = r sin 00 L sin 99

19、r cos 002 - L cos 992yC = r sin 00 ：L sin 9912r cos 002 2 L cos 992利用 r sin 0 = L sin 饥以及 0 = n/2，寸=n/6，0 =100 rad/s? 0 = 0，代入式(3)有(4)系统加上惯性力及惯性力偶，注意圆盘匀速转 动时惯性力偶为0, AB杆惯性力偶为JcaAB。加上 虚位移，利用AB杆瞬时平动（虚转角为零，各处虚 位移相同），有(F + mB g + Sb )阮 + (mAB g + sab )阮 +Jc aAB 算=0 其中 Sb = mBy/B，Sab = mJc aAB 算=0F = mB （

20、yB + g） mAB （yc + g） = 1 736 kN （6）点评：本题第1）问较好，考察学生是否灵活掌 握了机械运动中的知识点。第2）问是常规的动力学 问题，没有太多难点，计算步骤较多。采用动力学普 遍方程，不拆开系统，且充分利用AB杆瞬时平动、 圆轮匀速转动的条件，很多问题整体计算很简单，如 果拆开处理，就很繁琐。第6题（25分）是质点系动力学的综合问题。题目：图8示圆筒直立放置在光滑水平面上, 小球A可沿圆筒内壁上的螺旋线沟槽无摩擦下滑。 已知小球A的质量为m，均质圆筒的质量为2m、半 径为R、高为h，螺旋线的升角0 =冗/6。初始时圆 筒静止，将小球从螺旋线沟槽的顶部静止释放。

21、假设 小球下降过程中圆筒不会翻倒，水平面对圆筒的支 承力的合力记为Fn。求：1）圆筒的质心相对地面的运动轨迹；（3分）2）小球运动到圆筒底部时，在地面上观察到的 小球运动轨迹的总长度s； （6分）3）小球下降过程中Fn的大小；（6分）4）小球下降过程中Fn的作用线与圆筒轴线 间的距离d（表示为小球下降的垂直距离za的函 数）。（10分）点评：第1）问涉及动量定理中的质心运动守 恒。若动量定理概念清楚，本题就比较简单，应该是 送分题。第2）问中质点相对圆筒的运动轨迹是螺旋线, 把圆筒展开，相对运动是沿直角三角形斜边的运动 （图 9（a）。0.5h1.50-0.5-1.000.51.01.52.0

22、2.53.0Za/R图10作用点位置的变化图9小球相对于圆筒的轨迹展开速度分析质点运动时，轨道光滑，牵连运动在水平面内, 对垂直面内的运动没有影响，因此vaz = vr sin 0。 再利用水平面内动量守恒以及对质心的动量矩定理, 用小球相对圆柱的速度来表示其他运动量，由于切 向速度与垂直方向速度之比为常数，明确绝对运动 轨迹是（新的）螺旋线。然后根据速度方向沿轨迹的 切向，定出绝对运动螺旋线的升角50.5h1.50-0.5-1.000.51.01.52.02.53.0Za/R图10作用点位置的变化图9小球相对于圆筒的轨迹展开速度分析第3）问中，利用动能定理，找出相对速度与下 降高度的关系，求

23、导获得垂直方向的角速度，然后利 用系统的质心运动定理，得到作用力。第4）问中，根据前面的结果，利用动静法，加 上惯性力和惯性力矩后，由力矩平衡方程得到支撑 力的位置。注意支撑力作用在整个圆筒底部，是分布 的平行力系，其最终的简化结果是一个合力Fn,作 用点位置在动坐标系中为x, y。如果画出y的变化曲线（图10）,可以看出 不超出圆筒边界，但是y可能会超出圆筒边界（圆筒 高度约大于2.8倍半径时，圆筒会倾倒）。这意味着 题目中的圆筒不会翻倒，实际上是有条件限制的。如果要看作用点相对地面的轨迹，需要进行转 换（图11,定坐标系原点为系统质心）。图11不同坐标系间的运动学关系由运动学关系有 TOC

24、 o 1-5 h z R = Ro + r（8）动系相对定系的坐标转换矩阵为, cos 2 cos Y/ 、AXx =.（9）sin y sin y根据前面已经得到的结果，在动系中Ro = -R/3x+y(10)（沿y负方向），则式（8）在定坐标系中投影后有x+y(10)XYcos y cos y sin y sin y根据前面已经求出的关系式1zA = 2 aazV3A0R9,aaz则坐标系的转角为根据前面已经求出的关系式1zA = 2 aazV3A0R9,aaz则坐标系的转角为(11)从而得到作用点在定坐标系中的运动轨迹（图12中 大圆是圆筒边界的包络线：以质心为圆心，半径为 4R/3的圆

25、）。X/R图12作用点在定坐标系中的运动轨迹图13第7题图第7题（20分）是充满液体的直立圆锥形薄壁 金属容器的静力平衡问题。题目:“小口尖底彩陶瓶”是距今约6000年新 石器时代（仰韶文化）的汲水器或酒礼器，如图13（a） 所示。现将其简化为如图13（b）所示的充满液体的圆 锥形薄壁容器，处于铅垂直立位置，上沿周边支承, 圆锥角为2a,其体积按薄壁结构计算。容器的密度 为pc，容器各处壁厚均为6，液体的密度为pw，液 面高度为ho1）求容器内沿母线方向的正应力； （6分）2）求容器内与母线垂直且与表面相切方向的正 应力at; （6分）3）设 pc = 3pw,6 = h/90，a = 30。

26、，根据第三 强度理论求容器内的最大相当应力。（8分）点评：第1）问和第2）问是求无矩内力状态下 的圆锥壳的正应力和面内切应力，将某一点的应力 分量投影到母线方向，计算正应力和与母线垂直且 与表面相切方向的切应力。注意容器内的液面是上 下变化的。考验学生对壳体力系的简化、内力平衡和 强度计算分析等综合能力。第3问是利用强度理论求最大相当应力。由于 是薄壁圆锥壳体，忽略壳体径向应力作用（答案中给 出了考虑径向应力的计算结果，其数值很小，可以忽 略），仅计算沿母线方向的正应力和与母线垂直且与 表面相切方向的切应力，即平面应力状态。计算一点 的最大和最小主应力，得到最大切应力。然后代入第 3强度理论求

27、相当应力。评论：作为综合性提高题，这道题非常有创意, 题目描述简单清晰，出题人下了功夫和动了脑筋。它 展示了我国古代的汲水器或酒礼器，将其简化为充 满液体的圆锥形薄壁容器。但是，在材料力学教材 中仅讲授了圆筒形薄壁容器，求解了在均匀内压作 用下沿母线和环线方向的正应力，不计筒壁的自重。 内压作用下的直立圆锥形薄壁容器，考虑容器内变 化液面的流体质量和外锥壳自重，几何投影和受力 平衡关系复杂，超出了材料力学教学大纲内容，考验 学生对材料力学知识的扩展能力，需要力学概念清 楚，如何截取单元体更是本题的关键，并需要分析沿 母线方向和环向的载荷和单元体的平衡，熟悉运用 单元体上应力求其主应力和第三强度理论的计算公 式。这道综合性题目超出了本科力学课程大纲内容, 即便是学过板壳理论无矩内力解答的研究生，也是 比较难的题目，况且很多学校即便是研究生也不再 开设板壳理论的课程