基于人工神经网络的可压缩湍流大涡模拟模型

1、基于人工神经网络的可压缩湍流大涡模拟模型摘要：在国家数值风洞(NNW)工程项目的指导下，空间人工神经网络(SANN)模型被用于强可压缩湍流大涡模拟 (LES)研究，其中流场的湍流马赫数分别为0. 6、0. 8%1.0&基于湍流的多尺度空间结构特性和人工神经网络方法发展的 高精度空间神经网络(SANN)模型适用于不可压缩湍流和弱可压缩湍流&对于强可压缩湍流，流场中会出现激波结构, 给大涡模拟带来了挑战&本文的研究结果表明:SANN模型适用于强可压缩湍流的大涡模拟&在先验分析中，SANN模 型预测的亚格子应力和亚格子热流的相关系数超过0.995,远远高于梯度模型和近似反卷积模型等传统模型传统模型

2、的相对误差大于30%，而SANN模型在这方面有很大的改进，相对误差低于11 &在后验分析中，与隐式大涡模拟 (ILES)、动态Smagorinsky模型(DSM)、动态混合模型(DMM)相比，SANN模型能更精确地预测能谱、各类湍流统计特 性以及瞬态流动结构&因此，基于湍流多尺度空间结构特性的人工神经网络模型加深了人们对强可压缩湍流亚格子建 模的认识，同时可以服务于NNW工程的流体力学模型构造&关键词：可压缩湍流；大涡模拟；人工神经网络；湍流模型；国家数值风洞(NNW)工程大涡模拟方法适用于研究复杂湍流问题，比 如航空航天、大气、海洋、能源、天体物理等领域中 遇到的湍流问题湍流大尺度结构主导着

3、动 量、能量和热量的传输&受限于目前计算机的计 算能力，无法使用直接数值模拟(DNS)方法获得 高雷诺数湍流在各个尺度上的所有流场信息&大 涡模拟方法主要通过使用较粗的网格求解湍流中 的大尺度结构，同时构造近似的亚格子(SGS)模 型表达小尺度结构对大尺度运动的影响8!10 &在 可压缩湍流中，热力学量和速度之间相互耦合，旋 涡、声波、膨胀波以及激波之间存在着非线性作 用8，11!19) &可压缩湍流的速度脉动和温度脉动 存在多尺度级串现象，相关研究有助于发展可压 缩湍流的亚格子模型16!17 &可压缩湍流的大涡模 拟需要封闭动量方程和能量方程中出现的亚格子 项，包括亚格子应力和亚格子热通量&

4、国家数值 风洞(NNW)工程自主研发了功能先进、种类齐全 的国家空气动力数值模拟平台&在国家数值风洞 工程框架下，发展适用于高雷诺数的高精度和高 稳定性的可压缩湍流亚格子模型对航空、航天、能 源等领域中的重大工程问题至关重要(18)&滤波宽度是建立亚格子模型的核心参数& 特征尺度接近滤波宽度的湍流结构对重构亚 格子不封闭项起着重要的作用，比如变分多尺 度Smagorinsky模型考虑到了这部分湍流结构 的影响顷。从湍流多尺度级串过程的空间局部性分析得知，特征尺度在323之间的湍流 结构对滤波宽度为3的亚格子动能流量起主要 作用20,这给发展高精度亚格子模型提供了理 论依据近年来，机器学习方法已

5、经广泛应用在湍流 建模问题中，包括雷诺平均方法(RANS)和大涡 模拟方法两大类21!52,比如：嵌入不变性特征的人 工神经网络RANS模型20、基于贝叶斯框架含物 理约束的RANS模型22、基于全连接人工神经网 络的亚格子模型28、基于数据驱动的反卷积亚格 子模型264042、基于循环神经网络和 Mori- Zwanzig公式的时空亚格子模型49、基于不同空 间位置上的流动结构的各类人工神经网络亚格子 模型264泠如$、以及基于局部坐标系的人工神经 网络雷诺平均模型L9等最近，针对不可压缩湍流和弱可压缩湍流的 大涡模拟，一类基于湍流的多尺度空间结构特性 的高精度空间人工神经网络模型(SANN

6、)被提 出5。通过使用直接数值模拟的湍流数据训练 之后，SANN模型能够精确地表达特征尺度在 3/223范围内的湍流结构和滤波宽度为3的 各个亚格子项之间的高维度、非线性的映射关系! 克服了传统建模方法在高维数据拟合方面的局限 性 SANN模型和文献中已有的其他亚格子模 型的一个重要区别是：该模型精确地表达了尺度 在3/23范围内的湍流结构的作用，而之前的 建模方法主要考虑尺度在3之上的流场结构 由于尺度在3/23范围内的湍流结构对滤波宽 度为3的亚格子动能流量起重要作用20,传统模 型无法精确地表示这一作用，因此在先验分析中 的相对误差会很大 SANN模型弥补了这一缺 点，从而能够在先验分析

7、的精度上远远超过传统 的大涡模拟模型%另一方面，传统大涡模拟 采用的网格尺度一般等于滤波尺度3，从而一直 存在数值误差和亚格子模型误差之间相互影响的 问题在先验分析中具有很高精度的亚格子模型 (例如：梯度模型)，由于数值误差的干扰，会有不 稳定的现象，在实际大涡模拟中的计算结果误差 比较大，比不上强耗散亚格子模型(例如:Smago- rmsky模型)大涡模拟采用尺度为3/2的密网 格，从而能够有效地抑制数值误差的影响，并体现 出亚格子模型的高精度特性。传统的强耗散亚格 子模型由于在滤波尺度附近的耗散过大，超过了 物理上的亚格子耗散，从而导致流场在小尺度上 的动能偏小，而在较大尺度上的动能偏大，

8、在流动 结构上表现为旋涡结构偏大，在统计特征上表现 为能谱会有一定的倾斜% SANN模型克服了这 个问题，所预测的流场结构在各个尺度上都和滤 波后的直接数值模拟结果很接近，所得能谱在各 个波数上都几乎和滤波后的直接数值模拟结果重 人、41-43%在本文中，SANN模型被用来开展强可压缩 湍流的大涡模拟研究%训练SANN模型使用的 直接数值模拟数据是网格分辨率为1 0244的可压 缩均匀各向同性湍流16-17 % SANN模型2个重 要控制参数和湍流马赫数对模型预测精度的影响 被系统地评估通过先验和后验分析得到， SANN模型比动态Smagorinsky模型(DSM)、动 态混合模型(DMM)等

9、传统模型更精确，能更好地 预测强可压缩湍流的统计性质和流场结构1控制方程和数值方法理想气体可压缩湍流的无量纲守恒方程可以 通过一组物理量归一化得到：特征长度V，密度 R，速度Ur，温度8，压力Gr，单位体积的动量 P&2，动力学黏性系数*r和热扩散系数.r %本 文3个无量纲控制参数分别定义为：雷诺数Re = PUrLr/*r，马赫数 O = Ur Or，普朗特数-C % *Op/Kr % 0. 9，其中声速定义为Cr % 1RTr ,比 热比= Cp / Cl % 1. 4 , R % Cp C。为气体常数, Cp为定压比热! Cl为定容比热，无量纲参数 a %PrRe (11)Ma2 %

10、无量纲化后的 Naviei! Stokes 方程为11-1253!p * !(J5) 0!(件)| !(puj + p)_ 1 .| RtRe4!E + !# (7 + !E + !# (7 + p)j $ _ 1 t!xja( 1 )( 2 )(3)Re 式中：P( 1 )( 2 )(3)+ P Jjj)为单位体积的总能量，p为压 12力；K为热扩散系数8为温度；/ = 2 6 4*6-5为黏性应力张量分量，*为动力学黏性系数，6j = 1 (J + J5)为应变率张量分量， -为克罗内克尔符号;F,为单位体积的大尺度外 力! 7为单位体积的大尺度冷却函数11-12可压缩湍流的泰勒雷诺数Re

11、,和湍流马赫数Mat分别定义为%11-12&Re, % Re -)-，M；t = Ma 13*(4)(6)(7)Re(8)0 Re *(9)!(KJ4)+AF(4)(6)(7)Re(8)0 Re *(9)!(KJ4)+AF5U, % R, d!j1.(y1.(y1)yMa2+1$1| u4!(p5 K4j)e +Re! / !T _ -前(K!5JA % T(10)(10)(11)4*6 5为滤波后黏性应力张量分量；C5 % (餐+餐)为滤波后应变率张2 j!4 /量分量；E = y g 1 + 2p (uJj )为滤波后总能 量 + 为滤波后单位体积大尺度外力；A为滤波 后单位体积大尺度冷却

12、函数0亚格子不封闭项 包括：+5 = ujj uJj ,Qj = ujT UjT(12)9?# = p6kk AS ，= /ijS4j Kj人 1 ! ( Jo /)2 + (/!/ 人 1 ! ( Jo /)2 + (/!/ )2 + (/)2 柯尔莫哥洛夫尺度2和积分尺度Vq分别定义 为 ET2&(2 % 3/e1/4r 3oE()职Lq % 2J7J0 其中.e=/6v/(Rep)为单位质量的耗散率;E) 为单位质量的能谱，满足JhE)=(j*)2/2。大涡模拟方程可以通过对Navier-Stokes方程做滤波后得到。滤波运算可以表示为52) =jB(P)G(x,P ；3)dP，其中2和

13、P为坐标矢 量；B为滤波后的物理量!G为滤波算子；H为滤 波区域3为滤波宽度。在可压缩湍流中，Favre 滤波定义为= B/p 5,其中B表示速度或温 度，则滤波后物理量为滤波后密度p，滤波后速 度分量,滤波后压力A。滤波后的无量纲可压 缩湍流控制方程为%6,55&!) + !(Jj) o!(网)+ ! (JJj + A )1t!xjReA =_。+54!E + !% (C + AJj & _ 1其中：+为亚格子应力；Qj为亚格子热通量；9?# 为亚格子压力!速度散度项；为亚格子黏性耗散 项。+和Q,为主导不封闭项，其他不封闭项在当前 Mat和Re,范围内的影响可以忽略55-58。假设运动 学

14、黏性系数在不同长度尺度保持一致，则Pj =2pv (Sj 4sj ) = 2(Stj 4Uw ) 5-53&，其中 (为运动学黏性系数。在本文中，亚格子应力i 和亚格子热通量Qj被SANN模型重构。直接数值模拟采用紧致差分格式和加权基本 无振荡(WEN0)格式相结合的混合方法，在计算 域为(2o)3的均匀网格上计算可压缩均匀各向同 性湍流%59&。该混合方法在光滑区采用八阶中心 紧致差分格式%60&，在激波区采用七阶WEN0格 式%61&。本文定义激波区域为VR*，其中 为速度散度，速度散度均方根定义为皿%2可压缩湍流的直接数值模拟数据可压缩湍流直接数值模拟的控制参数和统计 量如表1所示，湍流

15、马赫数Ma、在0. 61. 0的范 围内，泰勒雷诺数Re,约为250%16&涡量的均方 根定义为:&rms = 1 & + & + &3。网格分辨率满 足条件：0.99 7 2/*! 7 1.03，其中*!为直接数 值模拟的网格宽度，同时3. 1 7 kmax2 7 3.3。这5 %4O29里,最大有效波数等于单个方向上的网格数的 一半，即= 512。网格分辨率3.1,保 证了湍流小尺度物理量的统计收敛性5 %4O29本文采用盒式滤波器对物理量进行滤波，从 而获得滤波后的物理量和亚格子应力与和亚格 子热通量Q,。一维的盒式滤波器定义为16564*9.121）/ 4-9/2 + 2 & B +B

16、+/2（14）5 = 49/2+1Ma tRe 8W*!Lq/28/2rms&rmsrms / &rms0. 612590.9923231.52.725.90.110. 792611.0322930.9Ma tRe 8W*!Lq/28/2rms&rmsrms / &rms0. 612590.9923231.52.725.90.110. 792611.0322930.94.822481.0122628.88.524.00.36表1网格规模为1 0248的可压缩各向同性湍流直接数 值模拟的参数和统计量Table 1 Numerical simulation parameters and stati

17、stical quantities for DNS of compressible isotropic tuL bulence at 1 0248 grid resolutions图1可压缩湍流直接数值模拟数据的动能能谱(菱形表 示滤波宽度为/*! = 32 )Fig. 1 Kinetic energy spectrum from direct numerical simulations of compressible turbulence (diamond represents filter width /*!= 32)3空间人工神经网络模型（SANN）本文基于高湍流马赫数情况下的可压缩湍流

18、 直接数值模拟数据，采用4层全连接人工神经网 络训练SANN模型，包括输入层）2个隐藏层、输 出层，具体的人工神经网络结构如图2所 示#25,35,41!45$。SANN模型构建了滤波后的物理量 和目标函数（亚格子应力和亚格子热通量）之间的 非线性关系。人工神经网络的第/层的每个神经 元接受第z1层神经元的输入信号X4-1 ,然后通 过激活函数得到第/层的输出xz。人工神经网络输入层X；的神经元取为滤波 后的速度和温度梯度,SANN模型通过优化人工 神经网络不同层的权重因子和偏置因子得到输出 层XV，从而逼近真实的亚格子应力和亚格子热 通量。亚格子应力和亚格子热通量的各个分量通 过不同的人工神

19、经网络分别训练。人工神经网络 不同层神经元数量分别为M： 1 024 ： 512 ： 1 ,其 中0为输入层神经元个数，输出层为亚格子不封 闭项的单个分量。隐藏层的激活函数取为Leak-y-ReLU 函数:ta/;)= *0.2;(15)输出层的激活函数为线性函数/（a）= a。人工神经网络的损失函数定义为（X。一ta/;)= *0.2;(15)输出层的激活函数为线性函数/（a）= a。人工神经网络的损失函数定义为（X。一+y）2基于湍流能量传输的多尺度空间特性，特征 尺度接近滤波宽度的湍流结构对构造亚格子 模型起着重要的作用19-2041-4562-66SANN模型构建了滤波后的速度和温度梯

20、度与亚格子不封闭 项之间的非线性关系#41-45$。SANN模型有2个 重要的控制参数：输入量的空间模板宽度和滤 波宽度之比:Rs =/ ;滤波宽度和空间模 板的网格尺度d之比：Rg = SANN模型 的输入参数为图2人工神经网络结构示意图Fig. 2 Schemat i c d i agram of artificial neural networkstructureJU)9 !ul+g1)9J1,)*%，9J4)9+K4!xP!xP)+戏 9 aT*，)，*K4!xp !xp(16)(17)K1，K2，K3 : $1，2,，RsRg） 式中：上标1（）9表示间距为的离散空间位 置；下标P

21、= 1，2,3表征笛卡儿坐标；下标/ % 1， 2,3表示滤波后的速度分量* SANN （Rs,RQ模 型的输入层神经元总数为0 = 12（6RsRg + 1） * 输入层神经元个数与Rs和Re的关系如表2所 示，随着Rs和Re增加!xP)+戏 9 aT*，)，*K4!xp !xp(16)(17)缩湍流的大涡模拟中的结果可参考文献41-45-* 强可压缩湍流场中出现更多的激波结构，给大涡 模拟计算带来了挑战*本文开展SANN模型在 强可压缩湍流（01 = 0. 6，0. 8，1. 0）中的先验分 析和后验分析*在先验分析中，通过直接数值模 拟数据计算的亚格子应力和亚格子热通量的相关 系数和相对

22、误差的变化反映了各类参数Rs、Re和 0at对SANN模型预测精度的影响*在后验测 试中，通过和传统的隐式大涡模拟（ILES）、动态 Smagorinsky模型（DSM）、动态混合模型（DMM） 进行比较，SANN模型能够高精度地预测强可压 缩湍流的能谱、速度结构函数、速度散度概率密度 分布函数和瞬态流场结构*4. 1先验测试Yq % Xq/X严，Yo = Xo/XNT(18)( 20 )( 20 )( 21 )( 23)特别地，X0:B由亚格子不封闭项的梯度模型得 至到21-22,26,28,41-45-本文的训练数据集是从直接数值模拟的可压 缩湍流数据中提取的包含15X644个点的空间子

23、集，训练数据集分为2部分：70%数据为训练集， 30%数据为测试集* SANN （R，Re）模型的人工 神经网络通过Adam算法迭代优化1 000次6-， 同时训练样本集大小（Batch size）为1 000* SANN （Rs，RQ模型的交叉验证可以参考文献 41-45-*在本研究中，神经网络训练采用GPU 核心，4个并行GPU核心（NVIDIA Tesla K80 GPU）同时训练SANN （Rs，Re）网络*网络训练 1 000次需要的GPU时间与Rs和Re的关系如表 2所示，随着Rs和Re增加，输入层神经元数0增 加，GPU计算时间相应地增加*表2 SANN模型在不同的Rs和免情况下

24、输入层参数个 数M和训练1 000次需要的GPU时间Table 2 Number of input variables & and GPU time for1 000 epoches of training with different JR and R0 for SANN model(Rs，Rg)(0,1)( 2 1 )( 2 2 )( 2 4 )( 2 8 )( 1 4 )( 3 4 )( 4 4 )0121563005881 1643008761 164GPU/h91214. 5203914.52039L SANN模型的先验和后验分析SANN模型应用在不可压缩湍流和弱可压SANN（Rs，

25、Rg ）模型预测的亚格子不封闭项 Hm$如与真实亚格子不封闭项H的相关系数 C（H）和相对误差Er（H）分别为C（H） =!（H H）（Hmodel Hmodel）（!（H H）2! （Hmodel Hmodel）2）1/2(19)尸()=(H Hmodel)21/2 7r(H) =H21/23种传统的亚格子模型分别为68-71-11=i232!jz!jj，Qj = 123!Uj( 22)= JJ UJj，Qj = $484 U5 8 式中：J和8*为j和8的反卷积近似值；8 和CQ为模型系数*基于泰勒展开得到的模型1 （式（21）称为梯度模型，简记为VG1；模型2（式 （22）是包含变系数C

26、8和CQ的梯度模型，简记为 VG1 m，其中，系数C8和CQ从直接数值模拟的 数据通过最小二乘法得到；模型3（式（23）是近 似反卷积模型：B* = Q? *G* f , Q? ;G-1，其 中“* ”表示卷积号，G为滤波算子，本文采用 Ql = &4 0（3 G）9 （其中3是单位算子），简记 为AD4 70-71- *动态Smagornsky模型和动态混 合模型的具体表达式见本文后验测试部分的内 容41-45- *SANN(2,1)模型在训练集和测试集上预测 的+11,+22, +33, +12, +13, +24Q1.2.4的相关系数C和相对误差E)如表3表4所示$训练集和测表3 SAN

27、N( 2,1)模型在训练集和测试集上预测m ,，血，, %!，色3,0 , # , 3的相关系数Table 3 表3 SANN( 2,1)模型在训练集和测试集上预测m ,，血，, %!，色3,0 , # , 3的相关系数Table 3 Correlation coefficient of,%33 %i#,%23, Qi , Q#, 3 for training and testing sets with SGS modelSANN(2 1 )0.60.9970.9970.9970.9970.9960.9960.9960.9960.996测试集0.80.9980.9980.9970.9970.9

28、970.9970.9960.9960.9961.00.9980.9970.9980.9970.9970.9970.9970.9970.9970.60.9950.9950.9950.9940.9930.9940.9920.9920.992训练集0.80.9960.9950.9950.9950.9940.9940.9930.9930.9931.00.9960.9950.9950.9950.9950.9940.9950.9950.995C数据集+11+22+33+12+13+23Q1.2.3表9 SANN(2,1)模型在训练集和测试集上预测11,%22,%33,%12,%13,%23 , 1 , 2

29、 , 3的相对误差Table 9 Relative error of,%22,%33 ,%i2 ,%i3,%23, 1, 2 , 3fortraining and testingsets with SGS modelSANN (2,1)E)数据集Ma t+11+22+33+12+13+0.60.0520.0490.0550.0820.0860.0930.0970.0930.094训练集0.80.0470.0490.0490.0850.0810.0890.0880.0880.0891.00.0470.0490.0490.0780.0810.0810.0750.0740.0890.

30、60.0690.0660.0720.1120.1160.1200.1310.1270.127测试集0.80.0630.0660.0660.1100.1080.1150.1180.1200.1191.00.0640.0670.0660.1050.1070.1110.1010.1010.113表5不同亚格子模型预测11的相关系数和相对误差！&at = 1.0,8s = 2 ,免=1)Table 5Correlation coefficient and relative error of for different SGS models (Mat = 1. 0 , 8=2 , 8g = 1)亚格子费

31、格丁 DSM模型SANN-SANN- SANNDMM VG1 VGlm AD4SANN SANNS SANND SANNLSANNR,LRLRSPRhoTC0.5650.669 0.890 0.8900.9260.9960.9750.9970.9960.9960.9960.9900.996E)0. 6160.554 0.532 0.3670.3260.0640.1870.0520.0650.0650.0720.0980.063表6 不同亚格子模型预测12的相关系数和相对误差(&at = 1.0 , 8s = 2 ,免=1)Table 6Correlation coefficient and r

32、elative error of %12 for different SGS models (Mat = 1. 0 , 8=2 , 8g = 1)亚格子亚格子 模型SANNSANN SANNDMM VG1 VGlm AD4 SANN SANNS SANND SANNLSANNR,LRLRSPRhoTC0.3180.652 0.905 0.905 0.944 0.9950.9750.9960.9960.9910.9940.9820.995E)0.9500.801 0.471 0.434 0.339 0.1050.2450.0860.0950.1450.1310.2100.102表7 不同亚格子模

33、型预测1的相关系数和相对误差(Mq)= 1.0, 8s=2 ,免=1)Table 7 Correlation coefficient and relative error of 1 for different models (Mat = 1.0, 8s=2 , 8g = 1)亚格子SANNSANNDSM DMM VG1 VG1m AD4 SANN SANNS SANND SANNLSANNR模型!SANNRhoTC0.490 0.697 0.896 0.896 0.889 0.9950.9750.9970.9960.9920.9960.9910.995E)0.881 0.727 0.499 0

34、.444 0.498 0.1010.3000.0780.0920. 1320.0950.1360.102模型的预测结果!其中SANN-S模型表示网络 同时输出 +11 +/，+33 +12，+13，+24， Qi 0.2 Qs 这 9 个目标参数模型的预测结果!其中SANN-S模型表示网络 同时输出 +11 +/，+33 +12，+13，+24， Qi 0.2 Qs 这 9 个目标参数，SANN-D和SANN-L模型分别表示 网络结构为 0： 1 536 ： 768 ： 1 和 0： 1 024 ： 512 :1的人工神经网络，SANN-R和SANN-SP分别 表示激活函数为 Rectifie

35、d Linear Unit （ReLU）1.1函数/（；）=和 softplus 函数 /(a)ln（1 + ea）的人工神经网络，SANN-LR-LR模型表征隐藏层和输出层的激活函数都是Leak, ReLU函数，SANN-RhoT模型的输入层含物理 量p和亍。表5表7的亚格子模型对比结果表 明：在不同湍流马赫数情况下，所有的人工神经网0.6络模型预测的相关系数和相对误差结果基本上是一致的，SANN模型的预测结果基本上不随神经元个数和隐藏层深度的增加而显著变化，0 :1 024 ： 512 ： 1网络结构预测的结果是合理的，同时SANN模型预测结果基本上不受激活函数类 型的影响。相比DSM模型

36、预测的亚格子不封闭-够e-VG1-SANN (0,1)SANN (2,1)SANN (2,2)-SANN (2,4)SANN (2, 8)i1.01.00.60.8Ma-VG1-SANN (0,1)-o+SANN (2,1)SANN (2,2)SANN (2,4)-.SANN (2, 8) ?111.00.6关系数比VG1和VG1m模型高，SANN （R，,Rg） 模型的预测精度是最高的，相关系数可以达到 0. 995,相对误差小于11%，远低于VG1模型的 40%和AD4模型的30%。上述结果说明:SANN （Rs，RE）模型在 Ma、= 0. 6,0. 8，1.。情况 下的强可压缩湍流中，

37、能够精确地预测亚格子不 封闭项，比传统模型（DSM，DMM，VG1，VG1 m， AD，）预测的相关系数更高同时相对误差更小。图3展示了在测试集上不同参数Rg和Mat 对SANN （Rs Re）模型预测亚格子应力分量+11 的影响，其中Rs = 2。VG1梯度模型预测的相关 系数达到0. 92,当Rg 132911191u1 和 +11 1223292J192J1， 其中1 = 1. 13 2 = 1. 19。此外，由于各向同 性的特性，+11与93汀1的关系类似于+11与92汀1的 关系。因此SANN（2，1）模型可以重构出输入物 理量与输出目标函数之间的高维非线性关系，并 且诊断出主导输入

38、量。上述先验结果表明：在湍流马赫数为0a = 0. 6,0.8,1.0情况下的高可压缩湍流中，相比传 统的亚格子模型（DSM，DMM，VG1 , VG1m， AD4）,SANN （Rs Re）模型预测的亚格子应力和 亚格子热通量更接近滤波后的直接数值模拟结 果：相关系数更高，相对误差更小。图 4或图 4或!/ 对 m 的贡献(Ms =1.0)Fig. 4 Contributions of !J0_i /! or !Ji!/ to +ii (Mat = 1- 0)一般情况下，大涡模拟的滤波宽度与网格 尺度aGesAGes 7d)成正比关系：滤波宽度和网 格尺度之比FGR = A/AGes通常设为

39、1或 241*容可。本文采用FGR=2使得数值误差的 影响比较弱，从而LES的误差主要来自SGS模 型的误差。在后验测试中，LES的网格分辨率为 643 (AGes = 3/2)，其中滤波宽度为3 % 32!。 本节分析了 SANN(2,1)模型和 No-model(GES 不加模型)、DSM、DMM模型预测的能谱、各类湍 流统计特性以及瞬态流动结构。动态Smagorinsky模型使用了涡黏假设，能 够对湍流的动能产生耗散作用，在统计平均意义 上和湍流能量从大尺度转移到小尺度的物理级串 过程类似1856720对于可压缩湍流的大涡模拟! 基于涡黏假设，亚格子应力和亚格子热通量分别近似为41-48

40、 TOC o 1-5 h z +5 *以=2CS32 S (StJ -当& )(24)喝=2C32 S | 2(.=-Ci仲乎( Ct式中：CS，Cq，Ct/CT为模型参数; 6% (2成 成I)12。Germano假设亚格子物理量 在滤波宽度和测试滤波宽度情况下保持尺度不变 性73，即c2,ci,Ct/Pct在滤波宽度和测试滤波 宽度情况下保持常数，则：2 = (L5M 5厂 =L(%$)Cs = MuMu Ci = ! (%-$)2Ct _K85PrTTjTj其中:L5 % (J4 pjj/) J4 pUj / ) ；M5 = %5 )八2 |Cl / Q 一 5U 一 一 9 A 2一

41、23 p 6 | ( 6 5* 6康)，5 一 2 3 *(25)(26)(25)(26)(27)(28)31 & 65 - %& );$ = 230C I 2, %= 232 -1p 6 I 2 + 8 % 32p6+ 32 ps !8 +K = (fUj pT/p) Ji p8 /p3 ; 表示滤波宽 度为3 + 表示滤波宽度为23。DMM由尺度相似项和涡黏耗散项组 成3868-6也。对于可压缩湍流的大涡模拟，DMM 的基本形式为41-45L5 % T5 p+5(29)式中:T 5 = p ( UJ U- J ) ; L5 = p ( ju 5 UU)。均方误差定义为Emod = (L5

42、L：od)2，其 中 L:od = T:od +mod，+：od 表示 DMM 预测结果 假设模型系数保持尺度不变同时最小化Emod ,则: TOC o 1-5 h z +糜=C1 A1,5 + C Az, 5(30)8od = C：1,5 +C：2,5(31) 式中：A1,5 % 232 S (s 5 3S ) ; A2,5Xx4 c /X- I I /A JU5 UJ5 ; ：1 ,5 %23p I 5 I(S5 寸 S CM?仃=0 C L? 5一 0? C L05Mu C N9 CM5N52 其中：M 5 % H1,5 A1 ,5 %N5 % H2,5 pA25同理，亚格子热通量Q5可

43、以表述为(32)(33)Q(32)(33)Qmod = Ck%” +CkA2(34):mod = Ck%” *c2H25 式中:A5 %32 I u I T%ak2” = J5T u 5T %(35)(36)(37)=32 I |s|g模型系数0和 为4 L8LCV7/ T/ 282 L CT4 LTCV/C T/一 CT,2/其中：L, = I(u,T tt,T) %T, =一 A如5=Hk2j A%” &SANN(2,1)模型和传统模型预测的动能能 谱和温度谱ET(k)如图5图6所示&亚格子模 型预测的能谱误差随着波数增加而变大&对于不 加任何亚格子模型的情况,即No-model模型或 隐

44、式大涡模拟(ILES),由于耗散不足,所预测的 能谱高于滤波后的直接数值模拟结果(fDNS)； DSM和DMM模型在低波数7 10的情况下出 现能量聚集,同时在高波数耗散过大& SANN(2 , 1)模型预测的能谱更接近滤波后的直接数值模拟 结果(fDNS),几乎与fDNS的结果重合&不同亚格子(SGS)模型预测速度结构函数的 能力反映了它们预测湍流统计性质的表现75-78=1 (?芸序)&纵向速度结构函数定义为：S9(r) pJ:= u(x + r) 1u(x)()r ,r =r/|r|，其中 r 表示两点之间的距离&图7对比了不同亚格子模 型预测的各阶归一化速度结构函数，其中广为沿 z方向

45、的距离&当距离广比较大时，所有亚格子 模型均能精确地预测各阶速度结构函数同时很好 地预测流场的大尺度结构&=1 (?芸序)&纵向速度结构函数定义为：S9(r) pJ:10lk(a) Ma 0.6101 10lk(a) Ma 0.6101 (b) Afct = 0.8101(c) M% = 1.0Fig. 5 Kinetic energy spectrum predicted by differentmodels (Re ；250)值模拟结果(fDNS),特别是在距离广比较小的情况 下&这些结果与能谱的预测结果是一致的&不同亚格子模型预测的归一化速度散度 /rmNS的概率密度函数(pdf)如图8

46、所示&速度 散度K表示流体的压缩膨胀效应,随着湍流马赫 数的增加，速度散度的概率密度函数向负方向偏 斜并且尾巴变长,这是因为流场出现了更多的激 波结构，同时更多的能量从动能转化成内能&10-4 DNSfDNSNo-modelDSMDMMSANN (2, 1)(a)A/q = 0.610-4 DNSfDNSNo-modelDSMDMMSANN (2, 1)(a)A/q = 0.6DNSIDNSO No-model+ DSMV DMM SANN (2, 1)(bt = 0.8DNS IDNSO No-model+ DSMDMMSANN (2, 1)(c) Ma、= 1.0图7 Mat = 1.0和

47、Rc；250情况下的速度结构函数Fig. 7 Structure functions of velocity at M; = 1.0 andFig. 6 Temperature spectrum predicted by different models (/c；250)No-model预测的速度散度0/K-*s的概率密度函 数明显偏离真实结果$ DSM和DMM模型预测 的速度散度比滤波后的直接数值模拟结果 (PDNS)更窄$相比传统建模方法在高维数据拟合 方面的局限性,SANN模型能够精确地表达特征尺 度在Z/22范围内的湍流结构和滤波宽度为 的各个亚格子项之间的高维度、非线性的映射关Re8

48、 ；250系。SANN(2,1)模型在不同湍流马赫数下的结果 都和fDNS结果很接近，说明该模型能够精确地预 测湍流场中的膨胀和压缩结构的统计特性$此外，本文评估了不同亚格子模型预测瞬态 流场结构的表现$以滤波后的直接数值模拟流场 的瞬态数据作为初始条件，使用DSM&DMM和 SANN(2,1)模型开展可压缩湍流的大涡模拟$ 各类大涡模拟模型所预测的归一化速度散度云图 如图9所示$不同模型均能预测出大尺度激波结图8不同模型预测的归一化速度散度/fDNS的概率密度函数(/c；250)Fig. 8 PDFs of normalized velocity divergence 6/6PDns pre

49、dicted by different models (ReA ；250)(a)fDNS0(a)fDNS0(c) DMM(d) SANN (2,1)(c) DMM图9 Mt = i.o和$/+= 3.2i(+pL/jrms为大涡翻转时间)情况下的归一化速度散度K/KrmNs云图Fig. 9 Contours of normalized velocity divergence 0/房：& at M; = 1. 0 and $/ + = 3.21 (+ = Li/jrms is largoeddyturnover time)构,SANN(2,1)模型比DSM和DMM模型重构 出更多的小尺度结构，更接近滤波后的直接数值 模拟结果$综上所述，SANN(2,1)模型可以高精 度地预测不同湍流马赫数情况下的强可压缩湍流 的统计特