物理增强的流场深度学习建模与模拟方法

1、物理增强的流场深度学习建模与模拟方法摘要 流体运动理论上可用Navier-Stokes方程描述，但由于对流项带来的非线性,仅在少数情况可求得方程解 析解.对于复杂工程流动问题，数值模拟难以高效精准计算高雷诺数流场，实验或现场测量难以获得流场丰富 细节.近年来，人工智能技术快速发展，深度学习等数据驱动技术可利用灵活网络结构，借助高效优化算法，获 得对高维、非线性问题的强大逼近能力，为研究流体力学计算方法带来新机遇.有别于传统图像识别、自然语 言处理等典型人工智能任务，深度学习模型预测的流场需满足流体物理规律，如Navier-Stokes方程、典型能谱 等.近期，物理增强的流场深度学习建模与模拟方

2、法快速发展,正逐渐成为流体力学全新研究范式:根据流体物 理规律选取网络输入特征或设计网络架构的方法称为物理启发的深度学习方法,直接将流体物理规律显式融 入网络损失函数或网络架构的方法称为物理融合的深度学习方法.研究内容涵盖流体力学降阶模型、流动控 制方程求解领域.关键词 物理增强的深度学习，降阶模型，方程求解，湍流PHYSICS-ENHANCED DEEP LEARNING METHODS FOR MODELLING ANDSIMULATING FLOW FIELDS1)Abstract Fluid flows can be theoretically described by the Nav

3、ier-Stokes equations. However, due to the nonlinear convection term, analytical solutions of the equations can only be obtained for a few cases. For complex engineering flow problems at high Reynolds numbers, it is difficult to calculate the flow field efficiently and accurately by numerical simulat

4、ion, and it is difficult to obtain rich details by experiment or field measurement. With the rapid development of artificial intelligence technology, data-driven technologies such as deep learning can make use of flexible network structures and efficient optimization algorithms to obtain strong appr

5、oximating ability for high-dimensional and nonlinear problems, bringing opportunities for the development of computational methods for fluid mechanics. Different from traditional data-driven deep learning modeling methods for image classification and natural language processing, the flow fields pred

6、icted by deep learning models should obey physical laws of fluids, such as the Navier-Stokes equations and typical energy spectrum. Recently, physics-enhanced deep learning methods have developed rapidly and are gradually becoming a new research paradigm of fluid mechanics: the method of selecting n

7、etwork input features or designing network architecture according to the laws of fluid physics is called the physics-inspired deep learning method, and the method of explicitly integrating the laws of fluid physics into the network loss function or network architecture is called the physics-informed

8、 deep learning method. The research content covers the fields of reduced order modelling of fluid mechanics and solution of flow governing equations.Key words physics-enhanced deep learning, reduced order modelling, solution of equations, turbulent flows引言流体运动广泛存在于工程应用中，例如航空航 天工程、海洋工程、土木工程等领域.理论上，流体

9、 运动可用纳维-斯托克斯(Navier-Stokes, N-S)方程 描述.但对流项的存在使得该方程具有高度非线 性、多尺度特性，给方程求解带来巨大困难，方程仅 在少数情况可求得解析解或近似解.复杂流动问题 的研究通常借助计算流体力学与实验流体力学.当 采用数值方法模拟流场时，由于多尺度特性带来的 巨大计算量使得高精度的直接数值模拟(direct numerical simulation, DNS)技术难以实现;雷诺平均 (Reynolds averaged N-S simulation, RANS)方法与大 涡模拟(large eddy simulation, LES)方法仍是求解工 程流动

10、问题的主要手段.但是由于依赖经验，传统雷 诺应力或亚格子应力闭合模型无法精准模拟复杂流 动.由于实验环境、实验设备限制，实验流体力学获 得流场丰富时空细节依然存在困难.近年来，机器学习和深度学习技术飞速发展.依 赖于灵活的网络架构、强大的非线性逼近能力与高 效的优化算法，深度学习在以数据为基础解决图像 识别1,自然语言处理2,无人驾驶3等问题时获得 了巨大成功.在过去的几十年里，高性能计算机和先 进流体实验设备的应用使得湍流等流动研究领域积 累了大量数据.深度学习可高效挖掘这些大规模高 维数据中蕴含的丰富流动物理特征，为研究流体力 学建模方法与高效模拟方法带来新机遇4-5,并且已 经在湍流闭合

11、模型领域取得重要进展.例如,Edeling 等6-7基于实验数据采用高斯过程回归对k-两方 程的多个系数进行校准,提升了雷诺应力预测精度; Ling等采用全连接神经网络建立了 Pope9提出 的不变量到雷诺应力非线性基函数系数的预测模 型,模型自动满足伽利略不变性，在二次流、周期丘 陵等流动问题模拟中显著提升了雷诺应力预测精度; Zhu等10采用径向基神经网络建立了流场平均量到 涡黏系数的代数模型，在机翼绕流场求解中与 Spallart-Allmaras模型涡黏系数偏微分方程求解方 法相比，求解精度保持不变的条件下求解效率得到 了显著提升;Jiang等11基于残差神经网络建立了雷 诺应力各向异

12、性张量预测模型，并通过引入新的混 合时间尺度作为输入成功解决了多值映射问题; Xie等12采用神经网络成功建立了非线性亚格子应 力代数模型，有效提升了 LES模拟精度.Duraisamy 等13和谢晨月等14对人工智能在湍流闭合模型领 域(包括雷诺应力模型和亚格子应力模型)的成功应 用进行了系统综述.不同于图像识别、自然语言处理、无人驾驶等 典型人工智能任务，深度学习模型预测的流场需满 足流体物理规律，如N-S方程、典型能谱等.当仅基 于流场数值模拟或实验测量数据建立流场深度学习 模型时，流体物理规律并未直接嵌入模型.但在网络 训练过程中，待学习参数的调整使得网络逐渐逼近 所模化流场的流体物理

13、规律；训练完成的网络若在 测试集上具有良好的泛化能力，则认为网络成功捕 捉了流场预测所需流体物理规律.另一方面,流体物 理规律可嵌入深度学习模型,在网络输入特征选 取、架构设计、损失函数设计时对其充分考虑，提 升深度学习模型预测精度、泛化能力，此类方法称 为物理增强的深度学习方法15.具体地，根据流体物 理规律选取网络输入特征或设计网络架构的方法称 为物理启发的深度学习方法；直接将流体物理规律 显式融入网络损失函数或网络架构的方法称为物理 融合的深度学习方法.本文首先介绍深度学习灵活 的网络架构、强大的非线性逼近能力与高效的优化算法，进一步阐述基于深度学习上述优良特性发展 的物理增强深度学习方

14、法在流场降阶模型与流动控 制方程求解领域的研究进展.1深度神经网络作为深度学习发展的开端,Hinton等16利用贪 婪逐层训练算法完成了深度置信网络与全连接神经 网络17的训练.自此,深度学习等数据驱动技术利 用灵活网络结构，借助高效优化算法，获得了对高 维、非线性问题的强大逼近能力，在图像识别、自 然语言处理等数据建模领域飞速发展.1.1神经网络模型多层感知机(multi-layer perceptron, MLP)或深 度神经网络(deep neural networks, DNN)为深度学 习最基本模型.以x e 为输入，隐藏层层数为L的 DNN可表示为f =(fL+1。fL。f1)(x

15、)(1)式中f : Rd - 为DNN含可训练参数0对应映射. fi为各隐藏层对应映射为fl (xi-1) = a(Wixi-i + bi), l = 1 : L ) fL+1 (x) = Wl+1 x + bL+1)式中，xi-1为第l个隐藏层的输入(xo = x ), Wi和bi 分别为可训练权重矩阵与偏置向量(并共同构成可 训练参数e ), a()为非线性激活函数.卷积神经网络(convolutional neural networks, CNN)18是针对二维图像等具有网格状拓扑结构数 据开发的神经网络架构,被广泛用于图像识别19、 图像去噪2。、图像修复21等领域.CNN主要包含 卷

16、积层、池化层和全连接层等隐藏层，典型的 CNN模块为：特征图通过卷积层提取特征，非线性 激活函数作用于卷积层后提升网络非线性逼近能 力,进一步通过池化层完成降采样.Goodfellow等22 指出，由于卷积层在输出特征图的同一通道引入了 卷积核参数共享，可以提取输入特征图中对平移保 持等变的特征;池化层(尤其是用于降采样的最大池 化层)可有效提取输入特征图中对少量平移保持不 变的特征.卷积层中的卷积运算为N-1(h q) r1,如：=q 伙1,知 h + + 炫(3)k1 北2=_式中,h为卷积层输入特征图(LXL维度矩阵)，q为NXN维卷积核(设N为奇数),为卷积算子，式 (3)右端即为卷积

17、层输出特征图在(n,r2)位置取值; 进一步可以引入卷积核的矩函数M(q) = (mi,j)NxN , 其中mi,j = g kk2，q k1,切k1 ,k2=- N21i, j = 0,1, -, N - 1(4)对卷积运算在(x, y)位置泰勒级数展开，可得23(4)N-1q 伙1，k2 h (x + k1Jx, y + k2y)k1 ,k2=- Nr1N=1. . hjodxd y+ O(0 x|NT + NT)(x,y)(5)显然，+ O(0 x|NT + NT)(x,y)(5)循环神经网络(recurrent neural networks, RNN)26是针对时程和自然语言等具有序

18、列结构的 数据开发的神经网络架构.RNN相比传统DNN (式(1)在序列演化方向加入了递归连接h(t) = fo (h(T, x(t)式中，x(t)为序列在t时刻输入特征,h(t)为序列在 t时刻输出特征.RNN在自然语言处理2等任务中 得到了重要应用.双向RNN27可以使模型既能纳入 过去时段序列模型对当前时刻影响，又能考虑未来 时刻影响.但传统RNN训练过程中在序列方向极易 出现梯度消失与爆炸，长短期记忆网络(long shortterm memory networks, LSTM)28和门控循环单元网 络(gated recurrent unit, GRU)2等门控 RNN 通过引 入门

19、控单元成功解决了梯度消失与爆炸问题.生成对抗网络(generative adversarial networks, GAN)-3。是一种有效的概率生成模型,GAN可有 效捕捉高维观测数据内部统计规律(即联合概率分 布)生成概率分布模型;基于所得概率模型，在GAN 的输入中进行抽样可获得与观测数据不同、甚至在 现实世界中不存在、但与高维观测数据服从同一联 合概率分布的数据. 当深度学习与强化学习结合时, 拓展了强化学习寻找最优行动选择策略能力，甚至 在围棋等任务上达到或超越了人类水平因-32.1.2神经网络逼近能力Cybenko33等提出的通用近似定理(universal approximati

20、on theory, UAT)指出：非线性激活函数 为Sigmoid形且网络神经元数(网络宽度)足够大 时，单隐藏层神经网络即具有对任意连续函数达到 任意精度的逼近能力.对于浅层神经网络，逼近任意 连续函数时的误差界为网 C2/ d )昭(/ - fn,N於)W 0+ n式中,f为待逼近函数，如N为浅层神经网络的最优 函数估计(需满足一定正则化条件),n为神经网络宽 度,N为训练样本数，d为神经网络输入维度，系数 Cf=r iiii fs idw( f为函数f的傅里叶变换).Hornik35指出，激活函数只需取非常数函数且 网络足够宽时，浅层神经网络即具有对任意连续函 数达到任意精度的逼近能力

21、.当神经网络的层数加 深时，Delalleau和Bengio36指出浅层和积网络(和 积网络的隐藏层单元通过前一层单元的乘积的加权 之和获得)逼近特定函数时，精度提升过程神经元数 需以指数增长;而提升相同精度时，深层网络神经元 数仅需以线性增长，表明在逼近函数时深层网络比 浅层网络能节省可训练参数.Eldan和Shamir37指 出在相同逼近精度下，浅层神经网络需要。(ed)数量 级神经元数逼近Rd空间的简单径向函数，而深层网 络仅需要d的多项式数量级宽度，同样表明逼近函 数时若精度相同，深层网络比浅层网络能节省可训 练参数.当全连接神经网络的激活函数为ReLU且 网络宽度为大于输入数据维度的

22、有限值时，增大深 度可以使其具有对任意连续函数达到任意精度的逼 近能力.综上所述，深度学习为近似任意函数提供了一 个特定的函数空间，且该函数空间复杂非线性逼近 能力强.而在特定任务中采用深度学习算法时，需利 用优化算法在特定函数空间中优化可训练参数，例 如优化式(6)中的参数0.1.3基于梯度下降的优化算法深度学习通常由梯度下降算法更新网络可训练 参数时+1)=眇_(8) 式中，。的上角标为训练步数，T为学习率，vez为损 失函数对可训练参数的梯度(通常由反向传播算 法计算I26】).常用的梯度下降法包括随机梯度下降 法38,基于动量的随机梯度下降法，自适应学习率算 法(如文献39等).深度神

23、经网络可训练参数优化 问题非凸，但梯度下降算法用于深层网络的非凸优 化问题时仍可搜索到全局最优点：对于过参数化的 全连接深度神经网络,Du等40的研究指出当训练 集大小为n,深层网络隐藏层层数为H,每层神经元 数为m时,若m = Q poly (n) 20(H)则梯度下降算法能以线性速率搜索到训练误差全局 最优点.式中,poly(n)为关于n的多项式,O和Q分 别为 Big-O 和 Big-Q由于深度学习具有上述优良性能,近年来，研究 者开始利用其挖掘大规模高维数据中蕴含的丰富流 动物理特征，流体力学建模方法与高效模拟方法迎 来新机遇.2物理启发的流场深度学习降阶模型深度学习可借助灵活的神经网

24、络架构、强非线 性逼近能力和优良优化算法高效挖掘大规模高维流 场数据中蕴含的丰富流动物理特征.然而，当深度学 习用于流体力学建模时仍需基于流体物理设计3部 分核心内容:深度神经网络的输入特征、网络架 构、损失函数.根据流体物理规律选取网络输入特 征或设计网络架构的方法称为物理启发的深度学习 方法，以下介绍物理启发的流场深度学习降阶模型. 2.1本征正交分解辅助的深度学习降阶模型本征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)常用于提取流场紧凑空间表征降低自由度41fc (t,颅 i 侦)dt=部 i (t)(9)野=J hi (t)u (x, t) dt(

25、10)式中，t为时间,X为位置坐标，u为速度u的脉动值, C(t, t)=孔u (x, t)u (x, tr)dx为脉动速度在流场区域 Q内的时间相关函数,hi为特征向量，为为对应于第 i阶POD模态君的特征值(击击+i ).任意时刻速度 脉动投影到第i阶POD模态的系数为i (t)=孔 u (x, t)-野(x)dx(11)结合平均流场u(x, t)可得POD重构流场为u (x, t) = u (x, t) + ai (t)职i (x)(12)i当POD用于辅助深度学习建立流场降阶模型 时，首先用POD提取流场紧凑空间表征，然后利用 深度学习序列建模方法建立POD模态系数时程预 测模型.2.

26、1.1基于POD与深度学习的流动降阶模型风洞实验是传统测量流场的常用方法.风洞实 验一般采用粒子图像测速技术(particle image velocimetry, PIV)测量流场，然而由于相机分辨率和 存储空间的限制，PIV测量流场的时间和空间分辨 率是矛盾的.基于POD的超时空分辨率方法在解决 这一问题时具有广泛应用42-44.当已知流场中部分 测点高时间分辨率速度测量值与给定的POD伽辽 金模型时，Gerhard等45用动态估计器估计了整个 高时间分辨率流场.Druault等46基于样条插值获取 了 POD模态的高时间分辨率系数，从而重构了高时 间分辨率流场.Boree47在分析湍流相

27、关性时引入了 扩展 POD (extended POD)方法.Hosseini 等48 将速度信号在时间维度的延迟看成一组虚拟速度探 针测量，基于此并利用扩展POD方法估计了角锥的 尾流.Discetti等I49】随后提出了扩展POD方法中的 时间相关系数截断准则，从而移除了点测量与整场 测量不相关成分，并用于高时间分辨率槽道流和管 道流重构50.近年来，充分利用深度神经网络的灵活网络架 构、强非线性逼近能力与POD的流场紧凑空间提 取能力，发展出了 POD辅助的深度学习流场降阶模 型.Deng等51在风洞试验中用PIV系统以采样频 率2000 Hz测量了旗帜尾流，并采用如图1所示基 于LST

28、M的POD模型建立了流场离散测点速度时 程(5个离散测点时程取自PIV测量结果)到流场 POD模态系数时程间的映射：首先将PIV及相应离 散点测量结果降采样为5 Hz,然后以离散点5 Hz速 度时程为输入、以相应时刻流场POD模态系数为 输出训练LSTM模型,最后以离散点5 Hz速度时程 为输入在2000 Hz测量结果上做预测即可获得流场 2000 Hz的POD模态系数,从而可利用式(12)重构 高时间分辨率流场；Cai等52进一步利用此方法成 功重构了采样频率为千赫兹级的二维表面温度场. Wu等53基于时间卷积神经网络(temporal con-vel signalPIV snapshots

29、POD modesasbHaMSJPIZdiscrete pointvelocity signalsmachine learningmodelPOD coefficients图1基于LSTM的POD模型Elvel signalPIV snapshotsPOD modesasbHaMSJPIZdiscrete pointvelocity signalsmachine learningmodelPOD coefficientsFig. 1 Architecture of LSTM-based POD model51volutional neural networks, TCN)建立了圆柱绕流场 过

30、去时刻POD模态系数时程与未来时刻POD模态 系数时程间的映射关系，从而得到了圆柱绕流场降 阶模型;训练完成的TCN模型相比传统数值模拟方 法计算效率提升了数百至数千倍.然而，需要指出的是，上述基于POD与深度学 习的流动降阶模型所依赖的POD模态来自对相同 模型、相同流动参数(如马赫数、雷诺数、攻角 等)流场的POD分析.当模型或流动参数改变时,流 场POD模态亦发生变化,此时上述基于POD与深 度学习的流动降阶模型并无泛化能力.近来，Zhao 等54基于POD与压缩感知精确重构了相同机翼模 型不同流动参数或相同流动参数不同机翼模型的表 面压力分布，其提取的POD模态来自相同模型不同 流动参

31、数或相同流动参数不同模型的表面压力分 布，使得POD模态适用于不同流动状态，有效提升 了 POD降阶模型在不同流态的泛化能力.另一方面, 上述模型采用“端到端方式建立流场输入特征与输 出特征关系，模型是否能精确建立并无物理解释. Jin等55基于泰勒冻结假设启发引入了绕流场流速 时空关联非线性函数，理论推导了流场POD系数与 绕流场离散测点速度时间历程的关系，并利用双向 RNN将其定量化，对POD辅助的深度学习流场降 阶模型进行了物理启发的深度网络设计.2.1.2物理启发的深度网络设计将N-S方程中的动量方程投影到第，阶POD 模态，并结合边界条件可得t时刻的第i阶POD模 态系数为网ai (

32、t) = ti (x) - g (u)-丑()dTdx+to L2L u (x, to) - Wi (x) dx(13)式中，to为积分起始时刻，G()和丑()为关于速度的 未知函数紧凑表示.在流场下游布置nvp个高时间分辨率速度探针，受泰勒冻结假设启发可将式(13)进 一步写为网街 (t) =J foto Qi (x) M (w)drdx+L火(片由i(x)dx(14)式中,M(u) = QK何+妁u) -用火(严/) , U为 时刻所有探针速度测量值矢量,d“j (x)= dx, j (X) , dy,j (X)为第j个速度探针到X位置的距离 矢量，火()为将u映射到u的未知函数，u羿/u

33、 =vorticity/s-1-160-80 0 80 1601.00.50辨率速度探针，受泰勒冻结假设启发可将式(13)进 一步写为网街 (t) =J foto Qi (x) M (w)drdx+L火(片由i(x)dx(14)式中,M(u) = QK何+妁u) -用火(严/) , U为 时刻所有探针速度测量值矢量,d“j (x)= dx, j (X) , dy,j (X)为第j个速度探针到X位置的距离 矢量，火()为将u映射到u的未知函数，u羿/u =vorticity/s-1-160-80 0 80 1601.00.50-0.5-1.000.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.

34、5 4.0u(x + ds,i, t + dx,i/ u)，,Ux + ds,n,p, t + dx* U). 由式(14)可知”时刻的第，阶POD模态系数 与t时刻之前与之后的离散点速度时程均相关；因 此,设计了如图2所示“多对一”的双向GRU RNN将包含未知函数的式(14)定量化.上述研究理 论推导得到流场POD模态系数与绕流场离散测点 速度时间历程之间的定性关系，图2中的神经网络 输入特征和架构基于上述分析设计并将定性关系定X/D(a)实验测量流场POD重构(a) Reconstructed by POD using experimrntal measurements(b) Recon

35、structed by RNN-POD量化，因此称为物理启发的深度学习方法.金，()US+ T - 1U +(c)扩展POD方法重构(c) Reconstructed by extended POD图3 Re = 2.4 x 104时的瞬时尾流场佝Fig. 3 Instantaneous wake-flow field55 for Re = 2:4 x 104图2流场重构神经网络架构：多对一双向循环神经网络I55】Fig. 2 Architecture of many-to-one bidirectional RNN to reconstructthe flow field55化，以上流场建模

36、方法将不再适用.2.2基于深度学习的流场直接预测模型当基于深度学习直接建立端到端预测模型时, 可有效避免POD模态对雷诺数的依赖.例如，惠心 雨等56基于GAN建立了非定常二维圆柱绕流场的 预测模型，与传统CFD方法相比，计算效率得到明 显提升.Sekar等57基于深度学习建立了不同气动 外形下的二维机翼绕流场快速预测模型：该模型以 CNN提取的机翼形状压缩表征、攻角、雷诺数以 及流场位置坐标为DNN的输入，压力场和速度场 为DNN的输出.Fukami等58借鉴U-Ned59】中的多 尺度特征融合思想设计了混合降采样和跳跃连接的 多尺度深度神经网络模型,以低分辨流场为输入、 高分辨流场为输出成

37、功完成了二维圆柱绕流、二维各向同性湍流等流场超分辨；Deng等6。则引入对 抗损失函数，采用超分辨率GANS】和增强的超分 辨率GAN。】完成了流场的超分辨率重构,相比 Fukami等网的结果，精度得到明显提升.Jin等QI受钝体尾流中的雷诺应力、旋涡形成 长度、基底压力强相关的流体流体物理基本理论SI 启发，采用深度卷积神经网络建立了钝体绕流问题 表面压力Cp与流场流速间的关系模型，可在仅测 量钝体表面压力的情况下快速预测尾流场u = f (C(15)Jin等QI建立了如图4所示以圆柱表面压力为 输入，由含有池化层路径和不含池化层路径共同构 成的融合卷积神经网络建立了压力-速度场模型，卷 积

38、层可提取输入特征图中对平移保持等变的特征, 池化层可有效提取输入特征图中对少量平移保持不变的特征.Jin等I62】建立的训练集雷诺数范围为70 - 900, 测试数据集雷诺数范围为601100.图5给出了 4个具有代表性雷诺数上的流场预测结果.由图可 知，在研究所考虑的亚临界雷诺数范围内精确预测 了圆柱绕流速度场;该压力-速度场模型不仅可以精 确预测包含在训练集雷诺数范围内的圆柱绕流速度 场，而且能预测训练集雷诺数范围外的部分工况.同 时，该压力-速度场模型对旋涡形成长度、速度幅值 等的雷诺数效应以及流场时空演化特性做出了精确 预测；以上结果表明，Jin等62建立的压力-速度场 模型成功捕捉了

39、圆柱绕流的内在流动本质，并具有1.51.00.50 -0.5 -1.0 -1.5-400 -140 140 400-101234X/DX/D(a)1.5号寻于了： ：阳峭子出三只；：一-0.5-1.0_ 1 5：i： ：-101234X/D1.51.00.50-0.5-1.0T5-1 01234X/D(b)1 51 0 0 50 -0.5 -1.0 -1.5(c)1 51 0 0 50 -0.5 -1.0 -1.5(d)-101234X/D1.51.00.50-0.5-1.0T5-101234(e)-101234X/D1.51.00.50-0.5-1.0-1.5(f)-101234X/DX/D

40、(g)(h)图4用于建立压力-速度场模型的卷积神经网络架构.“conv”表示卷积层,“ReLU”是非线性激活函数,“pooling”表示最大池化层,“FC”表示全连接层,“concat”表示不同路径融合ElFig. 4 The architecture of the fusion CNN to establish thepressure-velocity model. “conv”denotes convolutional layer; “ReLU”denotes nonlinear rectified linear unit; “pooling” denotes max poolinglay

41、er; “FC” denotes fully-connected layer; “concat” denotes theconcatenating of different paths62图5不同雷诺数下模型预测流场与CFD计算结果对比问.CFD计算结果：(a) Re = 65, (c) Re = 170, (e) Re = 500, (g) Re = 1000;模型预测结果：(b) Re = 65, (d) Re = 170, (f) Re = 500, (h) Re = 1000Fig. 5 Comparisons of instantaneous flow fields between

42、the modelpredictions and CFD results for various Reynolds numbers62. CFDresults for (a) Re = 65, (c) Re = 170, (e) Re = 500, and (g) Re = 1000;model predictions for (b) Re = 65, (d) Re = 170,(f) Re = 500, and (h) Re = 1000J0)蔓,wIu - u|u - ub2initial conditionsboundary conditionseVPi = dtJ0)蔓,wIu - u

43、|u - ub2initial conditionsboundary conditionseVPi = dtu + udxu + vdyU + wdzu + dp - Re- (dju + 勇脱 + du)eVp2 = dtv + udxv + vdy-v + wdzv + dp - Rel+ dyv + d；v)+ udxw + vdyw + wdzw + djp - Rel (dw + dw)= dxu + 那 + 3zwresiduals of governing equations(a) VP 形(a) VP forminitial conditionsr(Ir矿r|c jlbTuuu

44、uuboundary conditionsIevv = dSx+ dy(vsx usy) -dz (wSz WSX)+ Re-dy(dx凹dySx) dz-dxSz)ie = My+dz(wSyVSz)dx(vSx uSy)+ Redz ( dzSy)dx-dySx)1eVK3= Wz +(u)z- WSX)- dy(wSyVSZ)+ Redxx dy QSy):pvv4 = d.Xxu + d；u + dZu + dySz-如：15 =况V +赤V +说V + 如x-名ziiI、evV6 =弟W + 勇W + d；zW + dxSy-软x-1-2residuals of governing

45、equations|f u + s x u + Re-V x 口) | ds(b) VV 形(b) VV form图6 NSFnets网络架构网Fig. 6 A schematic of NSFnets66一定的雷诺数外延预测能力.为改善此类数据模型 在不同流动参数条件下的泛化能力,Zhu等64在建 立湍流黏性系数深度学习模型时，利用验证集进行 输入特征选取，从备选输入特征中剔除在流动状态 上外插过大的特征，大幅提升了模型在机翼绕流场 雷诺数、马赫数、攻角等流动参数上的夕卜延预测能力.3物理融合的流动控制方程深度学习求解以上物理启发的流场深度学习降阶模型虽在网 络架构设计、网络输入特征与输出量

46、选取时充分考 虑了流体物理机理，但一方面以上模型仍依赖于完 整流场数据，然而在PIV获取流场时由于壁面反光 和遮挡等,近壁面流场无法解析，难以获得完整流场 数据；另一方面,流体物理机理并未显式嵌入深度学 习模型.3.1基于通用近似定理的神经网络直接求解方法不同与传统人工智能任务，深度学习模型输出 或预测的流场需满足流动控制方程.因此，可将网络 输出流场需满足的流动控制方程以残差项的均方误 差形式嵌入网络损失函数.特别地，基于UAT可用 以时空坐标为输入以流场为输出的DNN逼近流场 时空演化函数，此DNN称为物理融合的神经网络 (physics-informed neural networks,

47、 PINNs)物理融合的神经网络架构Jin等66基于PINNs引入了求解不可压缩N-S 方程的NSFnets (N-S flow nets)求解速度-压力 (velocity-pressure, VP)形和涡量-速度(vorticityvelocity, VV)形控制方程，如图6所示.NSFnets的 损失函数包含在初始条件对应时空域采N,个点计 算的均方损失函数C、在边界条件对应时空域采 N个点计算的均方损失函数b和在计算域采N个 点计算的方程残差对应的均方损失函数e(图6中 Sypt和ew),总损失函数匚为Z = Ze + ab + i(16)式中，a和为平衡损失函数下降过

48、程中不同项梯 度以加速收敛的权重系数.方程残差中的偏导借助 自动微分技术67计算.当损失函数收敛到较小值时 即获得中所包含控制方程的解.采用梯度下降算法训练NSFnets时，参数更新 过程可表示为时+1)=眇一第山- 江b -邮i (17) 式中，。为可训练参数,上角标k为训练步数，T为学 习率.a和可看作超参数人工调整或用动态权重 (dynamic weights, DW)策略调整66,68.在计算域采点 时可采用随机策略或与自适应网格方法类似的自适 应残差点细化(residual-based adaptive refinement,RAR)方法I69】.对NSFnets模拟结果定义如下L相

49、 对误差可=11 v- VI12/ II VI12(18)式中，V表示参考速度分量u, v, w或压力p, V表示 由NSFnets计算的速度或压力值.采用PINNs中的方程残差均方损失函数求解流 动控制方程时获得的解为方程的经典解.E等7。利 用残差网络,Zang等71利用生成对抗网络搜索了变 分形式下控制方程残差最小值点,获得了方程的弱解. 3.1.2正问题求解Jin等66在采用NSFnets求解Kovasznay流动 时发现,RAR方法能增加较少的残差点获得较大的 精度提升，如表1所示.表中VP-NSFnet在采用随机 采样测量时采用了 635个残差点，采用RAR时增加 了 10个残差点

50、;VV-NSFnet在采用随机采样测量时 采用了 629个残差点，采用RAR时仅增加了 4个残 差点.采用RAR后，两种形式NSFnets求解精度均 有约50%提升.表1采用RAR增加残差点时NSFnets求解的速度和压力L相对误差闽Table 1 Relative L： errors of velocity and pressure solutions for NSFnets with residual points added via RAR66SamplingVP-NSFnetVV-NSFnet勺/%勺/%p /%勺/%勺/%Random0.009 5 土 0.002 60.082 3

51、土 0.016 70.040 1 土 0.006 10.025 4 土 0.005 80.070 4 土 0.016 0RAR0.005 60.036 90.031 50.008 30.028 0图7给出了 NSFnets求解雷诺数为100的圆柱 绕流时速度u, v和压力p误差随时间演化曲线，此 时VV-NSFnet和VV-NSFnet的隐藏层层数均为10, 每层节点数均为100.由图可知，两种形式的神经网 络都达到了较高的求解精度，VV-NSFnet比VP- NSFnet 具有更高的求解精度;而且动态权重系数策 略有效提升了 NSFnets的求解精度.此外,Jin等66 首次采用物理融合的神

52、经网络模拟了槽道湍流，并 发现随着求解区域和求解时间间隔的增大，结果并 未发散.Mao等72通过在高速流动解空间梯度剧烈变 化区域增加残差点采用PINNs有效求解了高速可压 流动.Mao等72进一步将存在激波等梯度剧烈变化 的解空间中分割为若干子区域，各子区域采用不同 深度网络求解，流场求解精度得到地显著提升.基于 此,Jagtap等I73】发展了将求解域划分为不同子区域 求解的守恒PINNs:每个子区域采用不同深度网络, PINNs的总损失函数加入表征子区域界面通量连续 的损失函数和区域界面解的平均值一致的损失函 数，求解了可压缩欧拉方程、方腔流等.为了加快N-S方程求解过程,Wei等74提

53、出了 基于深度强化学习(deep reinforcement learning, DRL)的流体力学微分方程统一求解框架(见图8), 求解了流体力学中的Burgers方程，稳态N-S方程 等.在求解Burgers方程时，发现该方法比传统的有 限元方法更能有效地捕捉激波；在方程求解过程中(b)横向速度(b) Crossflow velocity(c)压力(c) Pressure0.5(a)流向速度(a) Streamwise velocity0 n (a|S) hpolicy 也 2 jsampled solution分广 ()IfS Si = 0.5(a)流向速度(a) Streamwise

54、velocity0 n (a|S) hpolicy 也 2 jsampled solution分广 ()IfS Si = (Xi，t), i = 1, 2, , N state (sampled computational domain Q)criticugoverning equation- N(U,以2Lboundary conditoninitial conditionr =:-(u - u )2|t - toJ = nX n (Uisi)r(siui)i = 11 N VFig. 7 Flow past a circular cylinder66: relative L2 errors

55、 of NSFnetssimulations for (a) the streamwise velocity, (b) the crossflowvelocity and (c) pressure发现，随着求解步数的增大，求解速度提升，具有迁 移学习的特性;研究了从求解低雷诺数迁移到高雷 诺数时网络参数的训练策略15,提高了计算效率.此 外,Meng等75提出了时域上并行的PINNs:首先将 较长的时域分成N段子时域,用一个粗尺度网络对 应完整时域和N个细尺度网络对应N段子时域;交 替训练两类网络最终获得方程的解；该方法提升了 PINNs求解时域较长问题的计算效率.图8基于深度强化学习的微分方

56、程求解框架网Fig. 8 DRL framework for equation solution网3.1.3反问题求解Jin等66采用NSFnets求解了边界条件(狄利克 雷边界条件)不完备或边界条件含噪声的Kovasz- nay流动，发现NSFnets在此时仍可获得较高精度的 解，且其计算代价与求解正问题相当，表明NSFnets 处理含噪声数据同化问题时具有广阔前景.Raissi 等I76】采用PINNs求解了雷诺数为100的圆柱涡激 振动数据同化问题：首先当已测得含噪声的圆柱位 移和部分测点速度时，反演了求解域内完整的流场, 计算了气动力；其次当在流场中布置了被动输运颗 粒并已知颗粒扩散方程时，同样反演了求解域内完 整的流场,计算了气动力时程.Raissi等77进一步仅 基于被动输运颗粒流动显示数据，采用PINNs成功 求解了圆柱绕流、动脉瘤等问题，获得了高精度的 流场和压力场数据.根据圆柱流场先验信