材料力学剪力、弯矩图“一笔画”

1、材料力学剪力、弯矩图一笔画/4材料力学中,计算梁弯曲时的内力，并绘制剪力、弯矩图，是力学教学的重要内容， 在是对梁进行强度计算和刚度校核的依据， 同时又是后续课程的很重要的基础知识。但对大多数学生来说却是一个难点，在计算截面内力 和应用简捷法、叠加法绘制内力图时经常出现错误， 而使内力图成为力学教学和学习中的一个“瓶颈”， 且简捷法、叠加法绘制时需要分段，然后逐段进行分析、 绘制，计算过程相对复杂。针对这个问题，通过几年 来的研究和教学实践，笔者尝试使用了一种更直观、 更简捷的描绘内力图的方法，并称之为“剪力、弯矩 图一笔画。之所以称之为“剪力弯矩图一笔画，是受 智力游戏“一笔画”中不断笔、不

2、重复地从起点到终 点画出完整图形的启发。笔者通过研究发现剪力、弯 矩图的绘制中也有这样“一笔画”的规律可循。要一 笔绘制出一个完整的剪力或弯矩图，就要分析清楚各 段图线的线型，各段图线的连接及图线的起、终点等 问题。一、“一笔画”理论分析()剪力、弯矩图的线型由我们已知的知识可知，剪力、弯矩图图线是分段 绘制出的，在各段中图线有平行于轴线的直线、斜直线、 二次抛物线等基本线型。据微分关系=穿=邛猝 dx dx 及微分关系的几何意义可知，剪力、弯矩图线型与 荷载分布形式有紧密联系：当梁段上无荷载分布时 q(x)=O,剪力图图线是一条平行于杆轴线的直线、 弯矩图图线是一条斜直线；当梁段上有均匀分布

3、的荷 载时q(x)=常数,剪力图图线是一条斜直线、弯矩 图图线是一条二次抛物线(如图1)。这样内力图在各 梁段上的线型就确定清楚了。(二)剪力、弯矩图各段图线的连接当各段的图线得到了确定后，接下来的问题就是 如何“一笔”连接各段线条。这就要搞清楚图线分段 的依据，及剪力、弯矩图图线中的连续与突变。首先，图线的分段是以梁段上荷载作用的突然变 化为分段依据的。而图线是连续还是突变，就要视荷 载情况来分析了：当梁上荷载由无荷载变为有均布荷 载时，剪力、弯矩图图线将改变线条的形状或方向， 但线条是连续的，不发生突变；当有集中荷载F作用时， 剪力图发生突变，弯矩图连续；当有集中力偶m作用时， 剪力图不受

4、影响，弯矩图发生突变，如图2所示。突变时：截取突变截面处的微段分析，如图3所示。图3得：FQ右=FQ左-F, M右=M左-m可见突变值的大小为集中力F或集中力偶m的大 小。反应在图形上，剪力图和弯矩图在此处的横坐标 不变，纵坐标变化F或m,此时连接前后两段图线的 线段垂直于轴线，恰好为图线的纵标线，而图形在纵 标线的连接下被完整的一笔连起来。据内力计算可知，绘剪力图时，如果绘制顺序是 从左向右，那么剪力图突变的方向正好与荷载的作用 方向相同，即遇向下的集中荷载，剪力图向下突变， 反之向上；绘弯矩图时，弯矩图突变的方向也与荷载 的作用方向相关：遇逆时针外力偶作用时，弯矩图向 上突变（在土建工程类

5、材料力学中，弯矩图绘制时， 基线上方为负），反之向下。因此剪力、弯矩图在梁段上的图线可据荷载作用 情况，逐段连续绘制。当无突变时，连续绘制；当有 突变时，以纵标线连接连续绘制。（纵标线绘制的方向 和大小由外力来定）。（三）图线的起、终点图4前面分析了图线绘制过程中可一笔绘制，那么 图线从哪起笔，又从哪收笔呢？对梁的整个图线来 说，其杆件端点内力对应的纵标应为图线的起点， 但杆件端点内力的纵标值也与外力有关。其纵标线 的绝对值的大小，在剪力图中恰好为杆端竖直方向 集中力的大小；在弯矩图中恰好为外力偶矩的大小。 此处的纵标线可视为杆端外力外侧的截面内力为零, 遇有外力作用后产生突变（如图4）。此纵

6、标的性质 与上述“剪力、弯矩图图线中的连续与突变”性质 一样。那么，杆端外力外侧内力为零，即纵标起点 为零。同理终点处纵标也为零。所以在“一笔画” 绘制内力图时，“一笔画”的起点为基线的起点， 同时终点也恰为基线的终点。图4二、剪力图“一笔画”方法1计算支反力。确定基线。绘图线。一般为从基线左端起笔开始向右连续 绘图（称“从左向右绘图法”）。绘剪力图图线方法：从基线左端起笔，向右连续 绘制首尾相接的图线段，各种线段为：（1）遇集中荷载（包括支反力），则沿集中荷载 指向，向上或向下绘垂直于基线线段，线段长为集中 荷载大小；（2）遇无荷载梁段，绘平行于基线的图线；（3）遇向上（或向下）均布荷载，绘

7、斜向上（或 斜向下）直线，斜直线的起点与终点差值为对应梁段 上均布荷载的合力值（qa）。这样，一条图线从基线左端起连续绘至右端时， 图线应回到基线，完成“一笔画”。再标出各控制点 处纵标值及纵标线、符号、图名、单位等，至此剪力 图绘制完毕。则整条图线为从基线左端起笔连续绘制 线段至基线右端止的图线。概括为一句话：“剪力图 线走向与荷载方向一致，连续绘制”。（说明：如果从 右向左绘制时，图线走向与荷载方向相反）。举例说明：绘如图5所示梁的内力图（支反力 的计算过程略）。例题剪力图（FQ图）说明：如 图 5（b）。图5160kN30kN/m20kN/mn(a)1m4m2mRA=110kN60kNR

8、B=30kN卞卞OTEXO二M图5160kN30kN/m20kN/mn(a)1m4m2mRA=110kN60kNRB=30kN卞卞OTEXO二M图(kN m)-段：遇竖直向上集中荷载RA=70kN 图线竖直向上画70,纵标由0至70；-段：无荷载梁段水平直线，纵标70;-段：遇竖直向下集中荷载120kN图线 竖直向下画120，纵标由70至70 - 120= - 50；- 段：无荷载梁段水平直线，纵标-50；-段：遇向上均布荷载，合力大小为 30 x 4=120kN图线斜向上画直线，起点与终点差 值为120，纵标由-50至-50+120=70；-段：遇竖直向下集中荷载60kN图线 竖直向下画60

9、，纵标由70至70 - 60=10；-段：遇向下均布荷载，合力大小为 20 x 2=40kN图线斜向下画直线，起点与终点差值 为40，纵标由10至10 - 40= - 30；-段：遇竖直向上集中荷载RB=30kN 图线竖直向上画30，纵标由-30至-30+30=0，且 回到了基线。三、弯矩图“一笔画”方法比起剪力图的绘制，弯矩图计算较复杂，数据不 易得出，所以不宣直接采用“一笔画”来绘弯矩图。 但借助剪力图以面积法来计算，同样也可方便的“一笔” 绘出弯矩图。方法如下：确定基线。绘图线。同绘剪力图一样，画弯矩图时一般也 是从左向右连续绘制。注意：因是借助剪力图来绘制，而剪力图中反映 不出集中力偶

10、的作用，所以绘弯矩图时应结合荷载图 中的集中力偶作用，不能丢掉。绘弯矩图（M图）图线的方法：从基线左端起笔 向右连续绘制首尾相接图线段，各种线段为：遇力偶作用，据该力偶矩使向下段梁产生正弯 矩（或负弯矩），向上（或向下）绘垂直于基线线段， 线段长为该力偶矩大小；或据遇逆时针外力偶作用时， 弯矩图向上突变，反之向下来判断图线绘制方向。遇剪力图为等于。直线段，则绘平行于基线 线段；遇剪力图为正水平线段（与基线构成一矩形）， 则绘斜向下直线；如剪力图为负水平线段，则绘斜向 上直线；绘出的斜直线起点与终点差值为此段剪力图 与基线构成的矩形面积大小；遇剪力图为斜直线时，对应弯矩图为二次曲线， 二次曲线的

11、凸向与斜直线斜向一致，即斜向上直线对 应向上凸二次曲线，反之对应向下凸二次曲线。此二 次曲线两端差值 M计算如下：设剪力图斜直线的起点、终点剪力值为a、b，斜 直线对应基线段长度为L,则对应二次曲线起点、终点 差值 M= （ b+a ） L/2 （注意a、b取代数量）。如 果计算 M 0，则二次曲线终点在起点下侧，反之 如AM 0，则终点在起点上侧。另，在二次曲线段 内如有极值，则需另外计算。如上述方法，一条图线从基线左端起连续绘制至 右端时，应回到基线，然后标出各控制点纵标值、纵 标线、符号、图名、单位等，至此剪力图绘制完毕。概括一句话来表达：“弯矩图图线走向与剪力图 面积大小及符号一致，连

12、续绘制”。（说明：如果图线从右向左绘制时，图线走向与剪 力图面积符号相反。）例题M图说明：如图4 （c）。如图所示，弯矩图图线共有五段图线一笔连接而成：-段：正水平剪力图线段，面积 70 x 1=70图线从基线起，斜向下画直线，纵标由 。至70 - 0=70。起、终点差值70；-段：负水平剪力图线段，面积 50 x 1 = 50图线斜向上画直线，纵标由70至70 - 50=20,起、终点差值 20 - 70= - 50；-段：集中力偶（使下梁段产生负弯矩） 40kN - .m 图线竖直向上20 - 40= - 20，纵 标由20至20 - 40= - 20，起、终点差值-20 - 20= - 40；-段：斜向上剪力图线段面积 M= （70- （-50） x4 / 2=40图线为二次曲线，终点在起点下侧40,起终点差值20 - （ - 20）=40；-段：斜向下剪力图线段面积 M=（- 30+10 ） x2 / 2= - 20图线为二次曲线，终点在 起点上侧20的，纵标由20至20 - 20=0