因式分解常用方法

1、8/8v1.0可编写可改正因式分解的常用方法方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被宽泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多半学识题的有力工具因式分解方法灵巧，技巧性强，学习这些方法与技巧，不只是掌握因式分解内容所必要的，并且对于培育学生的解题技术，发展学生的思想能力，都有着十分独到的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常

2、用的公式，比方：22a22（1）(a+b)(a-b)=a-b-b=(a+b)(a-b)；(2)(ab)2=a22ab+b2a22ab+b2=(ab)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下边再增补两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；333222；(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)例.已知a，b，c是ABC的三边，且a2b2c2abbcca，则ABC的形状是（）A.

3、直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解：a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc2ca(ab)2(bc)2(ca)20abc三、分组分解法.1v1.0可编写可改正（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：amanbmbn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不可以运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，所以可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，此后再考虑两组之间的联系。解：原式=(aman)(bmbn)=例2、分解因式：a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！(mn)(ab)2ax10ay5bybx解法一：

4、第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=(2ax10ay)(5bybx)原式=(2axbx)(10ay5by)=2a(x5y)b(x5y)=x(2ab)5y(2ab)=(x5y)(2ab)=(2ab)(x5y)（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：x2y2axay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，固然可以提公因式，但提完后就能连续分解，所以只好其他分组。解：原式=(x2y2)(axay)=(xy)(xy)a(xy)=(xy)(xya)例4、分解因式：a22abb2c2解：原式=(a22abb2)c22v1.0可编写可改正=(

5、ab)2c2=(abc)(abc)四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。特色：（1）二次项系数是1；2）常数项是两个数的乘积；3）一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：x25x6分析：将6分红两个数相乘，且这两个数的和要等于5。因为6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解合适，即2+3=5。12解：x25x6=x2(23)x2313=(x2)(x3)12+13=5用此方法进行分解的重点：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：x27x6解

6、：原式=x2(1)(6)x(1)(6)1-1=(x1)(x6)1-6（-1）+（-6）=-7（二）二次项系数不为1的二次三项式ax2bxc3v1.0可编写可改正条件：（1）aa1a2a1c1（2）cc1c2a2c2（3）ba1c2a2c1ba1c2a2c1分解结果：ax2bxc=(a1xc1)(a2xc2)例7、分解因式：3x211x10分析：1-2-5-6）+（-5）=-11解：3x211x10=(x2)(3x5)（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a28ab128b2分析：将b看作常数，把原多项式看作对于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。8b-16b8b+(-16b)=-

7、8b解：a28ab128b2=a28b(16b)a8b(16b)=(a8b)(a16b)练习8、分解因式(1)x23xy2y2(2)m26mn8n2(3)a2ab6b2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、2x27xy6y2例10、x2y23xy21-2y把xy看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-34v1.0可编写可改正解：原式=(x2y)(2x3y)解：原式=(xy1)(xy2)练习9、分解因式：（1）15x27xy4y2（2）a2x26ax8五、换元法。例13、分解因式（1）2005x2(200521)x2005（2）(x1)(x2)(x3

8、)(x6)x2解：（1）设2005=a，则原式=ax2(a21)xa=(ax1)(xa)=(2005x1)(x2005)（2）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(x27x6)(x25x6)x2设x25x6A，则x27x6A2x原式=(A2x)Ax2=A22Axx2=(Ax)2=(x26x6)2例14、分解因式（1）2x4x36x2x2察看：此多项式的特色是对于x的降幂摆列，每一项的次数挨次少1，并且系数成“轴对称”。这类多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保存系数，此后再用换元法。解：原式=x2(2x2x611)=x22(x21)(x1

9、)6xx2x2x设x1t，则x21t22xx2原式=x2222)t6=x22t2t10（t=x225t2=x22x2512txxx5v1.0可编写可改正=x2x25xx12=2x25x2x22x1xx=(x1)2(2x1)(x2)（2）x44x3x24x1解：原式=x2241=x2x214x11(x4x1xx2)x2x设x1y，则x21y22xx2原式=x2(y24y3)=x2(y1)(y3)=x2(x11)(x13)=x2x1x23x1xx六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1）x33x24解法1拆项。解法2添项。原式=31323原式32x=x3x4x4x4x=(x1)(x2x1)3(

10、x1)(x1)=x(x23x4)(4x4)=(x1)(x2x13x3)=x(x1)(x4)4(x1)=(x1)(x24x4)=(x1)(x24x4)=(x1)(x2)2=(x1)(x2)2（2）x9x6x33解：原式=(x91)(x61)(x31)=(x31)(x6x31)(x31)(x31)(x31)=(x31)(x6x31x311)=(x1)(x2x1)(x62x33)6v1.0可编写可改正七、待定系数法。例16、分解因式x2xy6y2x13y6分析：原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必然可分为(x3ym)(x2yn)解：设x2xy6y2x13y6=(x3y

11、m)(x2yn)(x3ym)(x2yn)=x2xy6y2(mn)x(3n2m)ymnx2xy6y2x13y6=x2xy6y2(mn)x(3n2m)ymnmn1m2比较左右两边同样项的系数可得3n2m13，解得n3mn6原式=(x3y2)(x2y3)例17、（1）当m为什么值时，多项式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多项式。（2）假如x3ax2bx8有两个因式为x1和x2，求ab的值。（1）剖析：前两项可以分解为(xy)(xy)，故此多项式分解的形式必为(xya)(xyb)解：设x2y2mx5y6=(xya)(xyb)则x2y2mx5y6=x2y2(ab)x(ba)yababma2a2比较对应的系数可得：ba5，解得：b3或b3ab6m1m1当m1时，原多项式可以分解；当m1时