1.1集合的概念及运算（讲义）-2023届高考一轮复习

1、1.1集合的概念及运算【考试要求】.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用集合语言描述不同的具体 问题；.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；.在具体情境中，了解全集与空集的含义；.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与 补集，能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算。【考点提示】.以选择题、填空题的形式考查集合的交集、并集、补集运算；.以集合为载体，考查函数的定义域、值域、方程、不等式及曲线间的交点问题;.以考查集合含义及运算为主，同时考查集合语言和思想的运用。【要点梳理】1.集合的含义与表示（1）集合的含义：指定某些对象的全体

2、称为集合,集合的每个对象称为元素;（2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性;（3）元素与集合的关系：属于记为，反4;不属于记为agA;（4）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法;（5）常用数集及其符号表示：自然数集：JV；正整数集：N*或整数集：Z； 有理数集：。；实数集：区；（6）集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集;.集合的基本关系（1）子集：一般地，对于两个集合A , B,集合A中任何一个元素均为集合中的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作：AqB或（2）相等：如果且那么A = B；（3）真子集：对于两个集合A, B,如果且AwB,那么称集合A是集

3、合B的真子集，记作：A曙8或A；（4）空集：不含任何元素的集合，空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集，可以表示为：0GA或0思3 （ B0 ）；（5）假设一个集合A中有个元素，那么集合A有2：个子集，2-1个真子集。.集合的运算（1）集合的基本运算交集并集补集文字语既属于集合4旦属于集合5的所有元素组成的集合由属于集合4或属于集合3的所有元素组成的集合全集U中所有不属于集合A的元素组成的集合符号表示AJBCA图形表示C0 AQBGD AUB意义A且xxe A或3了且xe A性质APIA = A AH0=0_ BCiA = ACB ACB = A ABAU A= AAU0=J_BUA ?

4、 U5AJB = A BAACiCuA=0_AU，A=qQ(CuA)=a (CA)n(C)=Cu(AU3), (CuA)U(CuB)=Cu(AHB)容斥原理：card(AJ B) = card (A) + card(B) - cardACB).【基础自测】假设集合 A = 2 N IX W 12022 , a = 2 叵,贝 Ij()A. tzeAB. aeAC.aAD. aA答案：D(21全国乙理)集合3 = 5|5 = 2 + 1,2, 2 = z|E = 4 + 1/Z,那么S=()A. 0B. SC. TD. Z答案：c(21全国甲理)设集合 M=x0 xv4, N = x|1wxW5

5、那么 MAN=()A. x|OxlB. x|-x4C. x|4x5D. x|0 x0, xg R),那么以下关系中正确的选项是()A. ABB.翩q RBC. ACB = 0D. AJB = R答案：D6.设集合 A = x|%a|l, xeR , B = x| lxl,那么()A. A = DB. B = CC. C = DD. B = E答案：(1) 1； (2) D解析：(1) x,9l = x2,x+y,0 y = 0,x2 =l=x = lx = -L 经检验,x = -l 满 x足题意。/侬 +、2。22 =(t)2022 + 02022 =B = yy = x2+l = yy9

6、C = R,由题意可知，B = E.通法总结：解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素是什么； 二是看这些元素的限制条件是什么；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关 系式解决相应问题.特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满 足互异性.变式1假设集合A = a-3,2a-1,4,且3eA,那么实数6=.答案：0或1解析：当3 = 3时，即。=0,此时/ = -3,-1,-4；当 2一1=3 时，即 = 1,止匕时 A = 4,3,3舍;当。24 = 3时，即。=1,由可知a = 1 舍，那么a = l 时，A = 2,1,3)； 综上，4 = 0或1

7、.变式2集合A = (%,y)|%2+ ,2 3, xeZ, yeZ”，那么集合A中元素的个数是 ()A. 9B. 8C. 5D. 4答案：A解析:由题意可知,4=(一1,0),(0,0),(1,0),(0,1),(0,1),(覃),(1,1),(1)有 9 个 元素。考点二：集合的关系例 2 集合4 = %|0ox+l45,集合8 = %|-g0,那么 A = x|-Loxv3；假设q0,那么 a a41A = x | W cix ； aa（1）当Q = o时，假设A =此情况不存在;那么那么| 2-2那么| 2-2那么| 2- 2或 2或 241 当。0时，假设A = 那么“2当。41 当

8、。0时，假设A = 那么“22 I aa 0，.二 a 8a 02综上，当A = B时，a0时，假设BqA,那么0时，假设当a0时，假设BqA,那么2 a0tz20tz2.0 6? 24, 13当a 2综上，当BuA时， 2(2)知，a = 2.（3）当且仅当A = B且时、A = B9由（1）通法总结：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的 情况，否(2)知，a = 2.两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关 系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题， 有时需要进一步对参数分类讨论.变式 1 集合 A = x|3x

9、4,集合 5 = x|2m一 1 vxm + l,假设 求 实数2的取值范围.解析：当6 = 0时，有2 m12根+1,那么加22；当3W0时，假设B =贝i|2m -1 m +1 m +1 4,贝1J 1机 -3综上，ml.变式 2 集合 4 = %|% =女+ ：,左 eN, B = xx = -,mE N,V 1C = xx = - + -.neN 9那么集合A、B、C的关系为.2 6答案：A呈C建B考点三：集合的运算例 3(1)集合4 = l|0尤夜, B = x|logl x2,那么AU8 = .2(2)M=x|-4vxv2, N = x|Y工_60,那么MnN = .(3)。=2,

10、1,0,1,2,3, A = -1,0,1, 3 = 1,2,那么Cu(AIJ5) = .解：(1) A = x0 x后 , 3 = x|log x, AUB = jcLxV.244= x|x2 -x-60 = x|-2x3 , M = x-4x2,那么 Mp|N = x|2x0, B = x-2x2,那么如图 所示阴影局部所表示的集合为A. a:|-2x4B. x|x2或x24C. x|-2x-lD. x|-lx2答案：D 变式2集合人土,丁二/8, B = xy = x-2x1,那么加(4。3)=A. 0,1)B. (f,0)u4，+8)C. (0,1)D. (一8,01u6+8)例4 设

11、全集。=R, A = x|2x2-7x + 30,集合3 = x|/+。0.假设(CrA)CB=B,求实数a的取值范围.解：A = %|2%2_7x+34O = xg%3又(5)05 = 5 二作(1)当 3 = 0 时，0；(2)当 时，0,此时 3 = x|所以，24综上：CL .4通法总结：化简所给集合，能用数轴表示的在数轴上表示.根据集合端点间关系列出方程或不等式(组).求解方程、不等式(组)，返回验证.变式 1 设全集U = R, A = xx, 8 = 幻%,假设(CA)riB = 0,那么 p应该满足的条件是A. plB. plC. plD. p答案：B变式2集合A = xZ|xa,集合B = xZ|2x4.假设只有4个子集，那么实数。的取值范围是（）A. （2,1B. -2,-lC. 0,1 D. （0,1答案：D考点四：集合创新题例4集合4 = %gN|%22%-30,月=1,3,定义集合A、8之间的运算“：AB = xxi+x2,xiEA,x2EB9那么A/3中的所有元素数字之和为.解：A = xgNx2-2x-3Q = xgN-1x3 = QZ3 , 5