群论与能带结构

1、波矢群与波矢星取空间群的点群G的g个群元R，分别作用在波矢k上，得到g个 000波矢日蛙由于k与k+Gh是等价的，可把他们看作是相同的波矢，所以，g个波矢Rk就不一定都是不相同的了。跟据这种考虑，可以将 0点群G的群元分成两类，其中一类元满足Rk=k+Gh( 1)式中的Gh是倒格矢(可为零矢量)。另一类满足Rk#k+Gh(2)空间群的点群G中所有满足(1)式的群元，构成一个群，这个群称作波矢群G (k)。显然波矢群G (k)是空间群的点群G的子群，因而也是简单空间群G的子群。将点群g按子群g (k)作陪集分解，得G0 = Gk ) + R |0 G 0 (k ) +若以g (k)表示波矢群g

2、(k)的阶，那么，上式中的陪集代表元的个数就应该是m(k)= g /g (k)00式中的m (k)个陪集代表元成，0是属于群G而不属于波矢群G (k) j00的，所以，以它们作用于波矢k上，满足(2)式或写成R k = k + k其中kj#k，我们将m (k)个陪集代表元作用于k上，得到m (k)个与k不等价的波矢，这些波矢的集合就称为波矢星(包含k)。例：二维正方格子布里渊区取其任意一点的波矢k,以C4v群的八个元素分别作用其上，除Rik=k 外，其它七个元素均满足（2）式，则波矢群仅由恒等元组成，波矢 星由八个波矢组成。取ky上的一点k，波矢群G（k）为Ri，R8，波矢星由四个波矢构 成。

3、由此得，布里渊区中不同的点的波矢星中的波矢数是不同的。当波矢星中的波矢数较大时，相应的波矢思 （k）的阶就越小（由前述可得&（k）*m（k）= &），即这点的对称性性较低。为此可定义布里 00渊区中的一般点，对称点，对称轴和对称面。一般点：布里渊区中某一点k的波矢群g（k）仅包含一个恒等元（g（k）为平庸群）。对称点：此点的波矢张（k）不是平庸群，波矢喉（k）的阶&越 大，这个对称点的对称性就越高。对称轴：布里渊区中的某一线上所有的点都具有相同的非平庸波失群（k）o 对称面：略。E（ k）的对称性对于对称操作 En（Rk）=En（k）即对于某一 k，经对称操作后得到的新k的En值相等（Rk与k

4、在同 一能带中）。即若知道某一点k的En值，则由对称操作所得到的新k（Rk）k的En值也可获得。如果在简约布里渊区中划出一个体积为简约布里渊区体积的1/g的 0区域（g为g的阶即对称操作元素的个数），而且在这个区域中没有 两个以上的波矢是在同一个波矢星中的。那么，当我们知道这么一个 “基本区域”内的能带结构时，利用上式就可以得到整个布里渊区内 的能带结构。如二维正方晶格：点群为C4v群，有八个元素，则可将简约布里渊区 分割成8个等价区域，只需讨论其中一个，就可以得到全部。此“基 本区域”称为简约布里渊区的不可约体积。E（k）的简并度K是一般点：此处的能级是非简并的。K为对称点：此处的能级简并度

5、取决于其波矢群的不可约表示的维数 （维数决定基函数个数，即波函数个数）。如二维正方晶格1点波失群为C4v群，其有一维和二维的不可约表示， 则r点可能有能带二重简并发生。K为对称线或对称面上的点：略。简并度与相容性在BZ中，随着波矢的变化，例如，肝点经轴到x点。波矢羸 0（k）不同，能量E（k）的简并度不同；作为波矢准连续函数的本征函 数中（r），随着波矢的变化，本征波函数甲（r）对称性也变化。在不同波矢k处，波函数对称性之间的相互关系，用相容性来描述： 称。是相容的。例如：简立方晶体，波矢由肝至U轴变化。(讨论能量E (k)的分 裂和本征函数甲(r)的相容性)。B9 6.ll葡立方晶格冶第 节

6、里区简单立方体群为01群(上标为这个空间群在某一定同形点群中的序 h列号码，最终号码表明属于同一点群有多少个同形空间群0 (1 10)。 hr点：G (k) =Oh，Oh有10个不可约表示；轴：G (k) =C4v，C4v有5个不可约表示；E4d矗.% 4i1111-1 d111-I%句11111-| 111-1-1E2-200注:表中。t =虹尸 Jci m. =i(bCh3C2g6(7；1 皿、3知6左.6Ic2All1111111 11I117111 1T-1E/u2-120021200301-130 11T1 30-1-1130-111Am，111111-1 tT烦Cr1111-1T1

7、 -It1时由21200-21 -200Ujj30111-301E |1由表可得树点的简并度可为31、 2、-r轴上的点间并度可为1 r1、 2.若r点简并度为3,然而轴上的点简并度最高为二，则当波矢由点变化至挞轴，对称性降低，能级必然分裂如p带的r 15（Tiu态）为三度简并，由特征表可知，r 15分裂为一 个A1（ 1）及一个E（A 5）,我们称这两种情况下的波函数对称性是 相容的。也可说C4v群的不可约表示 1与八5，与Oh群的不可约表 示r 15是相容的。记作技小1 5这表明在点处属于15的能级与属于 1及 5的能级有相同的值， 但当k沿带轴变化，而逐渐靠近X点时，能带就会分裂为具有

8、1及 5对称性的两支（如图）H6-X2 冲的能较与沿占独的 i及母能级的相容性但究竟哪一支能量高，则要通过计算才能知道，相容性的概念与前面讨论过的由于晶格场对称性连续下降而简并度 连续减少的概念是相同的。可跟据k沿着不同方向对称性的变化作出相容性表。K沿着轴变化时，Z轴的波矢群为C2V，这个群有四个一维表示；K沿着A轴变化时，波矢群为C3V，有两个一维表示和一个二维表示。 跟据这些群的不可约表示的特征标，可求出它们的约化系数，就可以 得到相应的相容性关系（下表）。表r；琮 4aq心5六;Ai*人3另舛34A,K沿着对称轴方向增加而达到布里渊区边界时，其对称性会突然增 加，原因是两个相差一个倒格矢的波矢k是等价的。如当沿着轴改 变k到达边界上的x处时，k里与k ,= _生处的波矢等价，于是波矢 群就突然扩大为包含有垂直x轴的镜面反射的对称操作，所以波矢群 就从C4v扩大为D4h群。D4h群有16个共分10类。用上面的方法