考研线性代数公式

1、考研线性代数公式1、行列式行列式共有2个元素，展开后有，项，可分解nn 2n!为行列式；2n代数余子式的性质：、和的大小无关；A a、集行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为川；A|代数余子式和余子式的关系:M = （1）i iAA = （1）i+jMV司司设行列式：nD将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，1则 I ；D = （1）Td将D顺时针或逆时针旋转9/所得行列式为D，2则 D = （13 ；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，3则 ；D = D将主副角线翻转后，所得行列式为/则 ； DDD = D44行列式的

2、重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积；X （1） 2、上、下三角行列式( 素的乘积；、S、拉普拉斯展开式:I”M):主对角元和：副对角元素的乘积X (1)、上、下三角行列式( 素的乘积；、S、拉普拉斯展开式:I”M):主对角元和：副对角元素的乘积X (1)A OC Bm)；)2A CO B=Ia|bI=(1)rn n |a|b|、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;、特征值；,义 ，其|xE ,义 ，其|xE A| = Xn + 2 (1)fc S 入n kkk =1nA中为左阶主子式；S k证聊八的方法：A = 0、A = I Al、反证法；、构造齐

3、次方程组4 ,证明其有非零解;Ax = 0、利用秩，证明小；r(A) n、证明0是其特征值；2、矩阵是阶可逆矩阵：A n(是非奇异矩阵)；=r (=r (A) = n的行(列)向量组线性无关; =A齐次方程组 有非零解； =A = 0l=jw,总有唯一解;=Pb e Rn Ax = b与等价;EA可表示成若干个初等矩阵的乘积;=A4的特征值全不为0；=A是正定矩阵；。AtA的行（列）向量组是的一组基;。ARn是.中某两组基的过渡矩阵；。A Rn对于.阶矩阵a : “.A = |AE无条件恒成立；矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;关于分块矩阵的重要结论，其中均4可逆:

4、A B若4若4A =As JAl = AJAAII、A-1 =(A1-1A-12、-1(II、A-1 =(A1-1A-12、-1(A-1A-1 Js;（主对角分块）B-1J、-1B-1)；;（副对角分块）vA-1、-1-A-1CB-1)；;（拉普拉斯）B-1J、-1(、-1(A -1;（拉普拉斯）V- B-1CA-1 B-1J33、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个s矩阵，总可经过初等变换化为标准 形，其标准形是唯一确定的：Er。、O O, y mxn等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合, 称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩 阵；B 9B 9，(幺)=r(B) S 8 ；行最简形矩阵：

5、、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1;、每行首个非0元素所在列的其他元素必须 为0;初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若 （A,E）Q（E,X）， WL可逆，且X；、对矩阵（做初等行变化，当变为/时，B 就变成，即:、求解线形方程组：对于个未知数”个方程Ax = b， 如果 （4A）n（E,x）， 贝h可逆，且初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、A、A，左乘矩阵，人乘的各行元素；右乘，乘N的各列元素;、对调两行或两列，符号 )9 且 例如：1、倍乘某行或某列，符号 跻(A)， 且

6、 E(ig = (/(1),( Y1例如： k = | (SO)；(H J、倍加某行或某列，符号 E(ij(k) ，且 E(ij(k)T = E(ij(-k),p 十(-A、女口:1=1 (A 0)；矩阵秩的基本性质:(J)、 0r(4x)Vmin(m,/i)；、若如 B ,则 r(A) = r(B)；(可逆、若八。可逆，则 尸以)=r(PA) = r(/Q) = r(PAQ)；(可逆、矩阵不影响矩阵的秩)、max(r(N),r(8) r(A,B) r(N) + r(8)；、r(A 4- B) r(A) + r(B)；、r(AB) ；、如果是 矩阵，“是 矩阵，且口 ，A m x nB n x

7、 sAB = 0则：()I、的列向量全部是齐次方程组“。解(转BAX = 0li置运算后的结论)；liII、r (A) + r (B) n、若A、B均为n阶方阵，则r(AB(A)+r(B)-n；三种特殊矩阵的方幂：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵的形式，再采用结(向量)行矩阵(向量)的形式，再采用结x合律；、型如(1010项的矩阵:利用二项展开式;、型如(1010项的矩阵:利用二项展开式;(a + b)n = C0an + C1 an-1b1 + Cman-mbm + Cn-1“1方-1 + Cnbn = S Cmmbn-mnnn注：II、Cmnnnn, , m = 0I、方、展开后有I项

8、；(a + b) nn +1n(n 一 1)(n m +1)12 3 m.组n!= C 0 = Cn = 1m !(n - m)!n n合的性质Cm = Cm = Cn - mnn、伴随矩阵:S Cr = 2nrCr = nC r-1-=0Cm = Cm + Cm-1 n+1 n n r=0 利用特征值和相似对角化:、伴随矩阵的秩：心Ir、伴随矩阵的秩：心Ir (A*)= r (A) = n；r (A) = n 1 9 10r(A) n 一 1特征值：，,中有阶子式全部为0；r (A) n AnAx b，其中A为矩阵，则： 与方程的个数相同，艮即方程组力有个mA = b min0、伴随矩阵的A

9、 (AX = XX,A* = |a|A-m A*X = X)；XX、11、I 11 in1A* = |a|a-i An1关于矩阵秩的描述：A、r(A)=n，A中有“阶子式不为0，”+1阶子式全 TOC o 1-5 h z 部为0；(两句话)”、r (A) n 一一线性方程组：、方程；与方程组得未知数个数相同，方程组，方 nAx = b、与方程组得未知数个数相同，方程组，方 nAx = b为元方程；n方程:、a x +a x + +a x =b、L 1 12 2In n1a x +a x + +a x =b( a a 、a1 2a x +a x + +a x =b ml 1 m2 2 nm n

10、ji( a a 、a1 2a x +a x + +a x =b ml 1 m2 2 nm n jiX22122a In a- 2n6b )1b2A h (向量方程，4为 o Ax =bA mxna. aa a- a- x： )卜ml m2mn mm矩阵，个方程，个耒知数)7kmn maB (全部按列分块，其中B=JjpR (线性表出) +a x = Pax +a xR (线性表出) +a x = Pax +a x1 12 2n n、有解的充要条件：s以时(为未知数r(A) = r(A,p) n n的个数或维数)4、向量组的线性相关性构成W %1-个维列向量所组成的向量组构成W %nxm矩阵.，

11、 JnxmA = (a ,a , ,a )个维待向量所组成的向MB构B 阮，阮，阮12m-阵矩nX成含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对 应;、向量组的线性相关、无关4。有、无非 零解；(齐次线性方程组)是否有解；（线。Ax = b是否有解；是否有解；（线。Ax = b是否有解；O AX = b线性相关Q ；a= a = 0R线性相关 R坐标成比例或共线（平a, Po a, P性方程组）、向量组的相互线性表示（矩阵方程）矩阵、与H行向量组等价的充分必要条件是: A B齐次方程组:和同解；（P例14） Ax = 0 Bx = 0P1014- 5 = ,；（P101 例 15）I=J维向量线性相

12、关的几何意义：I=Jn TOC o 1-5 h z 、行）；B线性相关B共面;aB线性相关B共面;a, P, yo a, P, y线性相关与无关的两套定理：若线性相关，则必线性相关；a ,a , ,aa ,a , ,a ,a12 s12 s s+1若线性无关，则必线性无关；（向a , a , , aa , a , , a12 s12s-1量的个数加加减减，二者为对偶）若 维向量组 的每个向量上添上 个分量，rAn 一 r构成维向量组:nB竞线性无关，则踪也线性无关；反之若.线性ABB相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减 A减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定;向量组4 （个数为）能

13、由向量组（个数为）ArBs线性表示，且A线性无关，则,心向量组4 （个数为）能由向量组（个数为）ArBs线性表示，且A线性无关，则,心（二版p定理7）；一74向量组A能由向量组B线性表示，则；（p定86理3）向量组能由向量组线性表示 AB有解；o AX = B*。r=r（A,B）（ P,定理向量组能由向量组”等价湘 ABo r （A） = r （B）理2推论）方阵可逆 存在有限个初等矩阵Aol=JwI=jwl=Jl=Jwl=jLeej，(4 B)( P 定85A=PP P ；、矩阵行等价：r（左乘，可逆）A B o PA = BPo Ax = 0与 同解 Bx = 0（右乘，e可逆）；:可逆）

14、；、矩阵列等价：4勺如（右乘，e可逆）；:可逆）；ABoAQ = B、矩阵等价：aboPAQ = B（ P、9.对于矩阵.与.: A B、若写右等价，则与的行秩相等；A BA B、若4与H行等价，则4 与A 同解，且4A BA = 0 Bx = 0A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相 关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵4的行秩等于列秩；A、的列1莆11组能由4的列向量组线性表示，为CAB系数矩阵；、的行向量组能由B的行向量组线性表示，“CBAT为系数矩阵；(转置)齐次方程组.。的解一定是血。的解，考试Bx = 0ABx = 0中可以直接作为定理使用，而无需证明；、4A 0只有零

15、解R。只有零解；ABx = 0n Bx = 0、A 0有非零解仙。一定存在非零解；Bx = 0n ABx = 0设向量组可由向量组 线性B : b , b , , bA : a , a , , a表示为：(题19结论)”“12 TOC o 1-5 h z 110.()(b , b , , b ) = (a , a , , a ) K B = AK其中K为1且线性无关，则，组线性无关K s x rAB凶；(.与的列向量组具有相同线性相关。r (K) = rB K性)(必要性：；充分性：r = r(B) = r(AK) r(K),r(K) r, r(K) = r反证法) 注：当时，配为方阵，可当作定理使用； TOC o 1-5 h z r = sK、对矩阵A，存在Q，AQ = E 5(A) = m、Q的 列向量线性无关；(p广 、的P.A = E。r (、的P.A = E。r (A) = nPn行向量线性无关；nxm14. 线性相关 a,a, ,a TOC o 1-5 h z =存在二组不全为0的数kk k，使得