平面向量知识点复习练习

1、 PAGE PAGE 3 / 7平面向量知识点分类复习1、向量有关概念：XX 明德实验学校 X 凯向量的概念，为什么？（向量可以平移。配合练习1已知1,（4,，则把向量AB 按向量a（1,）平移后得到的向量 a零向量0 的向量叫零向量，记作：0；a单位向量：给定一个非零向量a，与a1 的向量叫向量a.a的单位向量是；| a |相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（也叫共线向量ab 规定零向量和任何向量平行。提醒直线平行是不同的两个概念两个平行向量的基线平行或重, 但两条直线平行不包含两直线重合；平行向量无传递（因为有0)；三点C 共线AAC 共线；相反向量：长度

2、相等方向相反的向量叫做相反向量。aa。配合练习2、1）若a b，则a b （）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同（3）若AB DC ，则ABCD 是平行四边形（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC （5）若a b,b c ，则a c （6）若a/b,b/c ，则a/c 。其中正确的 2、向量的表示方法：（1）AB ，注意起点在前，终点在后ab ，c （3ax,y叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。提醒：向量的起点不在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标就不相同.1（04 XX 卷6）A(-1,5)和向量a (2,3) ,AB ,

3、B 的坐标为.(5,14)平面向量的基本定理e1和 e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该2平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a= e ee 、e称为一组基底.121 122，12注：这为我们用向量解决问题提供了一种方向：把参与的向量用一组基底表示出来，使其关a (1,1),b a (1,1),b (1,1),c (1,2)配合练习 3、若，则用a,b 表示c 4下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.e1C.e (0,0), e2 (3,5), eB.e1(6,10)D. (1,2), e2 (2,3),e (5,7)AD aBE AD aBE b ,BC112224配合练

4、习5已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中,且可用向量a,b表示 配合练习6已知ABC中点D 在BC边上且 2， rs ，则rs的值 4、实数与向量的积：实数 与向量a 的积是一个向量，记作 a 规定如下a a ,2当0时 a的方向与a的方向相同当0时 a的方向与a 的方向相反，当 0 a 0 注意 a 0。5、平面向量的数量积：两个向量的夹角：对于非零向量ab，作OA aOB bAOB 称为向量a b 的夹角，当 0 a b 同向，当 a b 反向，当 a b 垂直。2（1）（角的问题（如三角形内角）量的夹角来解.ab，它们的夹角为，我们把数量| a | b | cos 叫做a 与b

5、 （或内积或点积a b ，即a b ab cos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，。配合练习7、ABC中，| 3，| 4，| 5，则ABBC ；1配合练习8、已知a(1, ),b(0,),cakb,d ab，c与d 的夹角为1224配合练习9、已知a 2,b 5,a b3，则ab 等于 ，则k =配合练习10、已知a,b是两个非零向量，且abab，则与ab的夹角 b在a上的投影为|b|cos ，它是一个实数，但不一定大于0。配合练习11已知|a3|b 5且ab 12则向量a在向量b 上的投影 ab的几何意义：数量积ab等于a的模|a|与b在a上的投影的积。向量数量积的性质：设两个非零向量a

6、b，其夹角为，则：a b a b 0 ；当a，baba b，特别地，a2aa a2, a a2；当a 与b 反a b；| a b a | b | 。a ba b a b a b；| a b a | b | 。a b.非零向量a b 夹角 cos ，如果 与配合练习12已知a (,2)，b ,2)ab 的夹角为锐角，则 的取值X是 ，如果 与配合练习13、已知OFQ的面积为S，且1，若1 S ，则,夹3223角 的取值X 围是 练习1、已知ab60那么|a3b , 9）已知平面上直线l 的方向向量e (4 ,5 5在l上的射影分别是O和A，则e，其中 =（D）.点O(0,0) B11D2553

7、设平面上有四个互异的点 A(DB DC AB= 则ABC 的形状是A 直角三角形B. 等腰三角形C .等腰直角三角形 D .等边三角形6、向量的运算：几何运算：向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则AB a, BC b ，那么向量AC 叫a 与b 的和，即a b AB BC AC ；提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加法的两个向量的首尾相接.A A12A A2 AAn1 A A1（据此，可根据需AB AB a, AC b, 那么a b AB AC CA ，由向量的减法：用“三角形法则”：设量()。向量加减运算的运算结果非 a |b |a b |a |

8、+|b |配合练习15、化简：ABBC CD ；AB AD DC ；( AB CD) ( AC BD) 16ABCD aBC bAC c | a b c | 配合练习17若O是 ABC所在平面内一点且满足OBOC OBOC ， 则 ABC的形状 18、D 为ABC BC ABC 所在平面内有一点P ，满足PA BP CP 0 ，设| AP | ，则 | PD |配合练习19若点O是的外心且OAOBCO 0则的内角C为 1（04 已知向量a b a b a b | a b |=（ ）.256A1BCD2562、已知ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P PA PB PC AB ，则点

9、P 与ABC 的关系为（）A .P 在 ABC 内部B. P 在ABC 外部C .P 在 AB 边所在直线上 D. P 是 AC 边的一个三等分点坐标运算：a x y ),b x ) ，则：1122向量的加减法运算a b x1 x ，y2 y ) 。220、A(2,3), B(5,4) C(7,10) AP AB AC( R，则当 时，点P 在第一、三象限的角平分线上1 配合练习21、已知A(2,3),B(1,4),且 AB (sinx,cos y)，x,y(,)，则x y 22222、F1 (3,4), F2(2,5),F3 (3,1)，则合力F F F F 的终点坐标是123 ,实数与向量

10、的积： axy11xy。11A(x ), B(x , yAB x , y 11222121向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。23A(2,3), B(1,5) AC 1 AB ， AD 3AB ，则C、D 的坐标分别是3平面向量数量积a b x y y 。1 21 2配合练习24、已知向量a（sincos）, b （sin，sin）,c（，01）若 x1求向量a、c的夹角（若,函数f (x)ab的最大值为 ，842求 的值向量的模：|ax2 y2 ,a2| a |2 x2 y2 。a= aa x 1y 21配合练习25、已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么|a | 两点间的距离A

11、x B x ,，则| AB|x 2 y2。1122212126、xOy xOy 60 ，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP ，其中e 分别为与 x 轴、y 轴同方向的单位1212向量，则P 点斜坐标为(x,y)。若点P 的斜坐标为22，求P 到O 的距离P；4 / 7 PAGE PAGE 7 / 7 7、向量的运算律 （1）交换律：ab ba， aa ，ab ba ； a b a b a b；abc ab c,abc a bc，（3） a a a b a b c a c b c 。配合练习 27、下列命题中： a (b c ) a b a c ；a (b c ) (a b

12、) c ； (ab)2a 2 | a | | b | | b |2 ； 若 a b 0 ，则 a 0 或 b 0 ； 若 a b c b, 则a c； a a2 ； a b a2； (a b)2 a2 b2 ；(ab)2 a2 2abb2。其中正确的 提醒（一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a(b c) (a b)c ，为什么？8、向量平行(共线)的充要条件：b向量 非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数 b ab实数是唯一存在的，当a 与b ；当a 与b 异向时，0。a|的大小由 及 aa |a b 确定时，的符号与大小就|

13、b| 若a=（x y11）,b=（ x , y22，则a / b x y1x y2 0 (a b)2 (| a | b |)2 （3）a b (a b)2 (| a | b |)2配合练习28、若向量a (x,1),b (4,x)，当x 时a与b共线且方向相同配合练习29已知a (4,x)，u a，v 2ab ，且u/v ，则 配合练习30、设PA (k,12),PB PC (10,k)，则时，A,B,C 共线AB | = 2 13练习（04 年XX 卷6）,AB 与a (2,3) 同向AB | = 2 13则点 B 的坐标为. B(5,4)a a b a b 0 | a b | a b |

14、x x9、向量垂直的充要条件 ：,y y1 21 0 .特别地( ABAC AC) ( ABAC 。AC配合练习 31、已知OA (1,2), OB (3,m) ，若OA OB ，则 m 32O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 B 的坐标 配合练习33、已知n (a,b),向量n m ，且n m ，则m的坐标是（证明垂直问题通常是取得对应的线段来构造向量，然后证明向量垂直线段的定比分点：AM 2MB ，配合练习34若（-（-，且1，则点PAM 2MB ，335A(a,0), B(3,2 ay 1ax AB M 2则a 等 10.向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向

15、量和为零向量，要注意运用；（2）| a | | b a b a | | b |，特别地，当b 同向或有0 | a b a | | b |a|b|ab|b反向或有0 |aba|b| |a|b|ab|b不|a|baba|b|(这些和实数比较类似).（3）ABC Ax B x ,C x , ， 则其重心的坐标为 x x xy y 112233G123 ,123 。33PAPBPC 0 P配合练习36若ABC的三边的中点分别为21-34PAPBPC 0 PPG 1 (PA PB PC) G 为ABC 的重心，特别地3为ABC 的重心；PA PB PB PC PC PA P 为ABC 的垂心；向量( ABAC )(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在| AB| AC |直线)；（3）PC C 、 PAPBPC且 1.配合练习 37、O ,若点C 满足 12 ,其中 ,12R且 11,则点C 的轨迹 2|已知a，b，(ab)b 2|1