二次型正定惯性指数

1、关于二次型正定惯性指数第1页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四一、 用配方法化二次型为标准形第2页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四令第3页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四实对称矩阵A经过非退化线性替换 二次型 f 化为:存在可逆矩阵C,使得 第4页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四二、 用正交替换化二次型为标准形实对称矩阵A存在正交矩阵Q,使得存在正交矩阵Q,使得 QTAQ=A的所有特征值实对称矩阵A经过正交替换 标准形二次型化为：第5页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四例1 用正交替换化二

2、次型为标准形,解 二次型对应的矩阵为特征值：再将 单位化,得将1,2正交化得并写出所作的线性替换.是正交矩阵第6页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四是正交矩阵经过非退化的线性替换二次型化为第7页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四第8页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四例1 考虑二次型有称此二次型是正定二次型.相应的矩阵为正定矩阵.设实二次型f ( x1 , x2 , , xn ) = XTAX ( AT = A ) ,如果对任何则称二次型 A称为正定矩阵.是正定二次型.X = ( x1 , x2 , , xn )T o，有 例1 二次

3、型对任何为正定二次型X = (x1 , x2 , , xn )T o，二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = x12 + x22 + + xr2 ( r n)第9页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四4.3 二次型和对称矩阵的有定性一、正定二次型和正定矩阵二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = x12 + x22 + + xr2 ( r n)对x = ( 0 , , 0 , f (x1 , x2 , xn ) = 0 .xr+1 , , xn )T o，有故二次型不是正定二次型.例1 二次型为正定二次型对任何X = (x1 , x2 , , xn

4、)T o，第10页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四|A|大于零二、二次型正定性的判别如何判断一个矩阵或二次型是否正定呢? 以下给出几个矩阵为正定矩阵的充分必要条件. 准则1准则2 f 的正惯性指数为nf 正定准则3 A的特征值都大于零 对称矩阵A为正定矩阵第11页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四称为矩阵A的顺序主子式.准则4 对称阵A为正定矩阵A的顺序主子式都大于零.例1 判别下列矩阵或二次型是否正定 A正定第12页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四例1 判别下列矩阵或二次型是否正定解 二次型对应的矩阵为：该二次型正定 A正定第1

5、3页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四例2 取何值时,下面的二次型正定解 二次型对应的矩阵为：当 时，二次型正定.Ex2: 取何值时,下面的二次型正定第14页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四B正定.第15页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四第16页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四三、二次型的有定性也不是 负定的.有 二次型 是正定的有 二次型 是负定的有 二次型 是半正定的使 有 二次型 是半负定的使 例 二次型不是 正定的;(半)(半)此时称为不定的.第17页，共19页，2022年，5月20日，18点2分，星期四1.二次型的负定性 矩阵A负定矩阵 正定.即奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于