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1、PAGE PAGE 5清华大学本科生考试试题专用纸 考试课程 微积分2(期中考试) 2006年 4 月 22 日 班级姓名学号一、判断题（每小题3分，共30分）在题目后的中画 “ ” 或者 “ ”1若不成立，则存在正数与自然数，使得当时恒有 2若，有，则存在。 3若点列的每一个子列都是柯西列，则存在 4若在有无穷多个间断点，则定积分不存在 5在区间非一致连续的充分必要条件是：在中可以找到两个点列和使得，但是不趋向于零 6不论实数取何值，广义积分都发散 7在连续，不恒为零若单调增加，则在不变号 8由黎曼积分存在可以推出黎曼积分存在 9设，则 10设在区间严格单调增加，则的充分必要条件是. 二、计

2、算题（共30分）11（7分）计算无穷积分12（8分）设若收敛，确定的取值范围 13（分）用定积分计算极限14（分）设在连续，计算三、证明题（每小题10分，共40分）15设在内有定义若存在，用函数极限定义和数列极限定义证明数列存在16假设在区间处处可导，且有界，求证在区间一致连续17设，证明没有收敛子列 18假设在存在二阶导数，任取，构造点列求证：(1)若，则单调减少趋向于零 (2)若，则单调减少趋向于负无穷 答案：一.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二.11. 解：12. 解：分由于，所以收敛分对于，所以当时收敛，当时发散结论：当时收敛分13. 解：14. 解：三

3、.15. 解：设对于任意正数，根据极限定义，存在正数，使得当时恒有分取定一个大于的自然数，当时有，于是只要，就有因此根据数列极限定义知道10分16. 解：在区间有界，所以存在正数，使得.2分， 5分对于任意正数，取，只要，就有所以在区间一致连续.10分17. 解：显然单调增加且非负.2分下面用反证法证明无界若有界，则存在正数，使得4分此时于是，.，这推出无界8分单调增加且无界，所以单调增加趋向于正无穷，于是每个子列都单调增加趋向于正无穷，因此每个子列都没有收敛子列18. 解：(1)设容易看出当时，所以，并且归纳得到于是单调减少且有下界因此存在且再证明反证：假设，则这不可能因为在区间有，因此若，则(2) 设容易看出当时，因此归纳得到单调减

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