总体均值的假设检验

1、总体均值的假设检验一、正态总体均值的检验设X1, X2，Xn为总体N(pq 2)的一个容量为n的样本.1 .方差。2已知，|1的检验u检验法当a 2 =气2已知时，假设检验问题：H0：日=七；H 1：日。日0 .选择检验统计量U = 户，当H0成立时，U N(0,1) .0给定显著性水平a ,由标准正态分布分位点的定义，有尸I U l u = a ,故拒绝域W = I U | ua/2 = U ua/2,这种利用服从正态分布的检验统计量的检验方法称为U检验法.有时我们只关心总体的均值是否增大(或减小).比如，经过工艺改革后， 产品的质量(如材料的强度)比以前是否提高，此时我们要研究的是新工艺下

2、总 体的均值R是小于等于原来的均值四0，还是大于四0,即检验假设H0： 七.可以证明，在显著性水平a下，上述假设检验问题和检验假设H0：日=七；H 1：日七有相同的拒绝域，因此，遇到形如H 0：日七的检验问题，可归结为后一个假设检验问题讨论.类似地，形如H 0：日2日0； H 1：日七的检验问题，可归结为检验假设 H0：日=七；H 1：日七.这都是单边检验问题.给定显著性水平a,求得的临界值点是上a分位点或上1-a分位点.例1某厂生产的某种钢索的断裂强度X服从N(四q2)，其中Q = 40(kg/cm2), 现从这批钢索中抽取容量为9的样本，测得断裂强度的平均值亍较以往正常生产 的日大20(k

3、g/cm2)，设总体方差不变，问在a =0.01下，能否认为这批钢索质量 有显著提高？解 依题意，检验假设H 0： 日0，X 口由于。=40已知，选择检验统计量U =Mb / vn因为H0中的四全部都比H1中的四要小，从直观上看，当H0成立时，X的取值X不应比日大很多，若偏差无R0过大，则拒绝H0而接受H1 .因为 H 0：日=七；H1：日七的拒绝域为W = U ua,故在显著性水平a = 0.01下原假设的拒绝域为W = U u = X 日 + u 勺.a0 a前本题中，n = 9, b= 40 , x u = 20 , u = 2.33 ,计算 U 的值 u = 1.5 t (n 1) =

4、a , a/2故拒绝域 w = I T |七 /2(n -1) = T t(n -1).由已知条件可得x = lx = 15 x 157.2 = 10.48i =1s 2 = X (x x )2 = x 0.784 = 0.056n-1. i14故s = 0.2366 .计算统计量的值t =切 = 10.48 -1 = -0.3274 s/ wn 0.2366/ ,15因为111 ta/2(n -1)，所以接受H0，认为切割机工作正常.例3设木材的小头直径XN(四q2),心12 cm为合格，今抽出12根测 得小头直径的样本均值为X = 11.2cm,样本方差为s2 = 1.44cm2问该批木材

5、是 否合格(a= 0.05)?解 依题意，检验假设H 0：曰2%= 12； H1：日% ,选择检验统计量T= *在假设H 0：四二七；H 1：四 七下, T t(n -1) ,n = 12 .给定显著性水平a= 0.05 , 查 t 分布表，得临界值 ta(n -1) = 10 05(11) = 1.7959 ,故拒绝域W = T -ta (n -1)，也是假设H 0：日2七=12； H 1：日七的拒绝域.x- h11212由于X = 11.2 , s2 = 1.44，计算统计量的值t = 一W =.= -2.3094s /、：n1.44/12因为t -ta(n-1)，故拒绝H0，认为该批木材

6、是不合格的.二、正态总体方差的检验一X 2检验法设X 1, X2，.，Xn为来自总体N(hq2)的一个样本，检验假设H : b 2 =b 2； H : b 2 更b 2 .1 .均值H已知.因为3匚凹 N(0,1), i = 1,2,.,n，则选取检验统计量 bX 2 = ( ( X-H )2 .=1 V b 0 ) b 2 .=i当H 0成立时，X 2 x 2(n)，给定显著性水平a,由x 2分布表分位点的定义，有F(X2 X：/2(n) =a ,故得拒绝域 W =X2 X2 (n).1-a/2a/22.均值h未知.因为X是总体均值h的无偏估计量，用X代替h 选择检验统计量X 2=(n -1

7、) S 2b 20当H 0成立时，X 2 X 2(n -1)，给定显著性水平a,由x 2分布表分位点的定义,有 F(X2 X：/2(n -1) =a 故得拒绝域W = (X2X：/2(n-1)-类似地，在日已知和日未知时，可以求出检验假设H : b 2 b2 和 H : b 2 a 2； H : b 2 a 2的拒绝域.例如，在日未知时，检验假设H0: b 2 Z2(n -1).上述检验所用的检验统计量均服从X 2分布，称这种检验方法为X 2检验法例4某无线电厂生产的一种高频管，其中一指标服从正态分布N(p,b2),今从一批产品中抽取8只管子，测得指标数据：6843706555566072总体

8、均值u= 60时，检验b 2 = 82 (取a = 0.05);总体均值日未知时，检验b2 = 82 (取a = 0.05).解 本题是在显著性水平a= 0.05下，检验假设H : b2 =b 2 = 82； H : b2 更b 2,这里n = 8 .r = 60已知时临界值 X 2 (n) = X 2 (8) = 17.535 , X 2(n) =X 2 (8) = 2.180 , TOC o 1-5 h z a/20.0251a/20.9751 E1而检验统计量的值X2 =砂Y (七-R)2 = 64X663 = 10.359 ,i=1由于 X2(n) X2 X2 (n)，故接受 H .1

9、-a /2a/20R未知时临界值 X 2 (n -1) = X 2 (7) = 16.013 , X 2(n -1) = X 2 (7) = 1.690 ,a/20.0251-a/20.975而 x 二 1X x = - x 489 = 61.125 , (n -1)s2 =X (x. - x)2 = 652.875 , n i=1i=1检验统计量的值 X 2 = -L x 652.875 = 10.2012 ,64由于 X 2(n -1) X 2 叫2 = a ,故拒绝域 W = I U | ua/2 = U a/2 .例1设从甲乙两场所生产的钢丝总体X, Y中各取50束作拉力强度试验，得x

10、 = 1208,项=1282，已知。1 = 80 , a 2 = 94，请问两厂钢丝的抗拉强度是否 有显著差别(a= 0.05)?解 本题是在显著性水平a= 0.05下,检验假设H:日=日；H :日。日, 012112 Y 这里七=七=50 .选取检验统计量U = , Y+V n nI 12给定显著性水平a = 0.05,查标准正态分布表，得临界值 = u0.025 = L96 ,故拒绝域W = | U | %2 .由于无=1208,亍=1282 , a 1 = 80 , a 2 = 94 ,计算检验统计量的值u = .= -4.2392 .J(a 2 +a 2)/50由于I u l u/2，

11、故拒绝H0，认为两厂钢丝的抗拉强度有显著差别.2 .方差a与a 22未知，但a=a 22 t检验法.选取 T = （X - Y）_（以2）.这里 S =（n1-DS12+（n2-l）52 S I 11w n + n - 2w n nX Y当H0成立时，检验统计量T = t(气+ n2 - 2).七顷+n12给定显著性水平a,由t分布表分位点的定义,有尸I T l t(n + n - 2) = a ,故拒绝域W = T 七/七 + n2 - 2) .例2某烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取样本容量相同的烟叶标本测其尼 古丁含量的毫克数，分别测得:甲种香烟：252823262922乙种香烟：2823

12、30252127假定尼古丁含量都服从正态分布且具有公共方差，在显著性水平a = 0.05下，判断两种香烟的尼古丁含量有无显著差异？解 检验假设H0：七=日2； H 1：七。日2，这里 n = n = 6 .X = 25.5 , y = 25.667 , s = 2.7386 , s = 3.3267 , s = 3.0469 .选取检验统计量T =:.S + w . n n给定显著性水平a= 0.05，查t分布表，得临界值n1 + n2 - 2) = 10025(10) = 2.2281 ,故拒绝域W = | T | 妇2(n1 + n2 - 2)x 一 y (25.5 - 25.667) x

13、 3 八八八计算统计量的值t = 一=二一=-0.0949 .113.0469w ： n n由于111叼 +七-2)，故接受H0，认为两种香烟的尼古丁含量无显著差异.二两个正态总体方差的检验一F检验法考虑检验假设H0： *2 =a22； H： *2丰1 .均值R 1与R 2已知.因为 X2 = Y(X -日)2 x 2(n ),1 b 2 . i 11X2 = (Y -P )2 X2(n ),2 b 2 ,.22件日日 x2/n n(X，*)2/b 12 选取F= 11 =X2 n2 一 罢(Y - p )2 /b 2n ，222 i=1(X -p )2当H成立时，检验统计量F = 匕=一:一

14、F(n , n ).0- P2)21 22 i=1给定显著性水平a由F分布分位点的定义,有 P(F F(n ,n ) = a, TOC o 1-5 h z 1-a/212a/212故得拒绝域w = F F (n ,n ). 1-a/212a/2 122 .均值R 1与R 2未知.因为气2 =力(Xj - X)2 =(n1 J12 X 2(n1 -1), 1 j=11X2 =芸(Y -Y)2 =(n2-1)S22 X2(n -1), 2 b 2 . ib 22选取F 二 热二室 .X；/(n2 -1)S22 /b22当H成立时，检验统计量F =气 F(n -1, n -1).0S 212给定显著

15、性水平a，由F分布分位点的定义， 有 P(F F 疽勺-1,n2 -1) = a，故得拒绝域W = F 孔/2 -1,n2 -1).例3某烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取样本容量相同的烟叶标本测其尼古丁 含量的毫克数，分别测得：甲种香烟：252823262922乙种香烟：282330252127假定尼古丁含量都服从正态分布且具有公共方差，在显著性水平以=0.05下，判断两种香烟的尼古丁含量的方差是否相等？解 考虑检验假设H0： *2 =b22； H： *2更七2 .由于两个正态总体的均值都未知，选取检验统计量F = ； F(n -1,n -1).S2212给定显著性水平a,查F分布表，得两个临

16、界值：F/2(n1 -1, n2 -1) = F0025(5,5) = 7.15F(n -1,n -1) = F (5,5)=- = 0.1399 ,1a/2 120.975F0025(5,5)7.15故得拒绝域W = F 7.15计算统计量的值F = 土 =0.6777 .由于0.1399 F 7.15,s 23.32672故接受H0，认为两种香烟的尼古丁含量的方差也无显著差异.8.4非正态总体参数的大样本检验本节讨论一般总体参数的检验.设总体X的均值为日，方差为。2, XX2，Xn为总体X的一个样本由 中心极限定理可知，当样本容量n足够大时，U = 3二近似地服从标准正态分 b /、n布.

17、因此，我们可以用正态分布去近似.如果对均值日进行检验，方差b 2未知 时，可以用样本方差S 2代替b 2 ；如果对方差b 2进行检验，均值日未知时，可 以用样本均值X代替日.下面举两个例子.例1设某段高速公路上汽车限速为104.6km/h，现检验85辆汽车的样本, 测出的平均车速为106.7km/h，已知总体标准差为b= 13.4 km/h，但不知总体 是否服从正态分布.在显著性水平a = 0.05下，试检验高速公路上的汽车是否比 限制速度104.6km/h显著地快？解依题意，检验假设H0： 七, 由于b= 13.4已知，n=85足够大，选择检验统计量U =芝鸟近似地服从N(0,1).b /

18、% n其拒绝域W = U ua,其中 ua= u0 05 = 1.65 .计算U的值u = 1067 一坚6 = 1.4449，由于u 叼 .计算U 的值u = 28 2 = 2.4236，由于u u , 35.8 + 32.3aE 100因此拒绝H0，认为这两种小麦的株高有显著差异.当总体服从(0-1)分布b(1,p)时，由于只有一个参数P，总体均值P和方差p(1 - p)均只与P有关，这时对参数P进行假设检验时，检验统计量可以直接用样本和参数P表示出来.例3某厂有一批产品须经检验后方可出厂按规定二级品率不得超过10%, 从中随机抽取100件产品进行检查，发现有二级品14件，问这批产品是否可

19、以出厂(a= 0.05) ?解 这里 n=100, x = 0.14 .检验假设 H0： p p0,选取检验统计量 U =* p0, U近似地服从N(0,1) .心1-%) n由显著性水平a= 0.05，可以得到拒绝域W = U ，其中九=005 = 1.65，0.14 - 0.1,计算U的值u = 0 1 09 = 1.3333，由于u 50 .设总体X的分布函数为F(x) ,F0(x)为一个已知的分布函数，X , X2，.，Xn 为总体X的一个样本，我们来检验关于总体分布的假设H0： F(x) = F0 (x)； H1： F(x)。F0(x).一、基本原理X 2检验法的基本思想是：将随机试

20、验的所有可能结果的全体分成k个两两 互不相容的事件A , A，A，在n次试验中，将A发生的次数f叫做A发生12kiii的频数，如果H0为真，则由大数定律，在n次试验中(n足够大)，Ai (i = 1,2,., k) 出现的实际频率n与理论频率pt = P(A,)(可由分布函数F0(x)算出)不应相差很 大.基于这种想法，皮尔逊构造了统计量y (f -np了 (f - np )2X2 =乙i或 x2 =乙 一_L,.1 np np其中p是由F计算出来的理论频率，F (X是F (x)中未知参数估计出后的分 000布函数，并证明了如下定理:定理1若n足够大，当H0成立时，统计量x2总是近似地服从自由

21、度为k - r -1的x2分布，其中r是已知的分布函数F0(x)中未知参数的个数.直观上看，X 2值表示实际观测结果与理论期望结果的相对差异的总和，当它的取值大于临界值时，应拒绝H0 .二检验步骤如果F0(x)为不带有未知参数的已知分布，皮尔逊X2检验法的具体步骤如下：将总体X的值域划分成k个不交的区间A (i = 1,2,，k )，使得每个i区间包含的理论频数满足npi 5,否则将区间适当调整；在H0成立时，计算各理论频率即概率pi的值：p =P(A ) = F (y ) - F (y ), i = 1,2，k .ii 0 i 0 i-1这里y与y为区间a的端点，即A =(y，y ；i-1i

22、iii-1 i数出A含有样本值的个数，即A,的频数f.，并计算统计量X 2 = (f 一吧 *npi 1i的值X2 ；由X2分布，对于给定的显著性水平a ,找出临界值x2(k -1)；判断：若X 2 X：(k-1)，则拒绝H 0，否则可接受H 0 .如果总体X是离散型的，则假设H0相当于假设总体X的概率分布H0： PX =x = p.0, i = 1,2,.如果总体X是连续型的，则假设H0相当于H0：f 3) = f3),这里f (x)为总体的概率密度.例1至1984年底，南京市开办有奖储蓄以来，13期兑奖号码中诸数码的频数汇总如表8.1 :表8.1数码i0123456789总数21 28 3

23、7 36 31 45 30 37 33频数35052q,验统计量X 2近似服从X 2(k - r -1)分布(这里kr+1).例2某高校对100名新生的身高(厘米)做了检查，把测得的100个数据按由大到小的顺序排列，相同的数合并得表8.2 : TOC o 1-5 h z 解 这里n=100，我们来检验假设H : f (x) = =k厂燃-8x 0为未知参数.先求R与c 2的极大似然估计值R , G 2一 1 i一 1 i_r = 乎 x = 166.33 , c 2 = 乎(x R)2 = 28.06 .n i =1n i=1设服从正态分布N(R,C2)的随机变量为Y,分布函数为F(y) .按照分组要求，每个小区间的理论频数np不应小于5,因此我们将数据分成了 7个组，使得每 i组的实际频数不小于5,各计算结果如下表8.3所