椭圆的压缩变换

1、xx常见结论：定义压缩变换r：Sy平面上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的-（;nO,nm0,771工77）得到工0,平面.显然在压缩变换孑下W平面上的圆C：/+$2=祝2就压缩为x（Jy平面上的椭圆召+易=】于是我们可以利用圆的几何性质和压缩变换的性质来研究椭圆，通常研究三类问题.研究横坐标（或纵坐标）之间的关系.在压缩变换T下,工0平面上点P与原来工Od平面上对应点P的横坐标相同，即研究直线的斜率.在压缩变换r下,工0歹平面上直线的斜率怡变为原来平面上对应直线斜率X的瓦倍，即k=kf.mm在压缩变换z下，工Oy平面上封闭图形的面积S是原来3“平面对应封闭图形面积S3“平面对应封闭图形面积

2、S的佥倍，即s典型题选讲：1.（1）圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦类比：椭圆中，过原点平分椭圆弦的直线与弦所在直线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）；（2）圆的切线定理：过切点的直径垂直于圆的切线类比：椭圆中，椭圆上一点与原点连*y线的斜率与该点处切线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）*ya2b2的任一点（除这两点外）连线斜率之积为（3）椭圆x2+y2=1（aba2b2的任一点（除这两点外）连线斜率之积为x2y2（4）A,B是椭圆一+=1（ab0）上两个不同点，O为坐标原点，则AAOB面积的最大值为x2y2A,B是椭圆a2+br=1(ab)上左右顶点，P

3、是椭圆上异于A,B的点，PM丄x轴于M.求证：b2|PM|2=a2|AM|-MB|2.椭圆有两顶点A(1,O)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线1与椭圆交于C,D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.3当CD=2b0)的右焦点为F(1,0),a2b2离心率为丰.分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E(异于A，C两点)，yf且OE=EF求椭圆的方程；变式题)求证：直线AC，BD的斜率之和为定值.变式题)x2y2如图，在平面直角坐标系xoy中，已知%F2分别是椭圆E:施+仁-1(ab)的左、右焦点，A,B分别是椭圆E的左、右顶点，且AF+5BF=0.22(1)求椭圆E的离心

4、率；(2)已知点D(1,0)为线段OF的中点，M为椭圆E上的动点(异于点A、B)，连接MF21并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为件、J试问是否存在常数九，使得k+九k=0恒成立？若存在，求出九的值；若12不存在，说明理由。3.作斜率为丄的直线1与椭圆c:竺+圧=1交于a,b两点(如图所示)，且3364P(32X2)在直线1的左上方.(1)证明：PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；【变式】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆a2+b2=1(ab0)的离心率为两个顶点分别为A(2,0),A2(2,0).过点D(1,0)的直线

5、交椭圆于M,N两点，直线A1M与NA2的交点为G求实数a,b的值；y当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P,P2使得NPMN和厶P2MN的面积为S,求S的取值范围；NA(第题图)A(第题图)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆专+y2二1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围；设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B，是否存在常数k，使得向量OP+OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.4.如图所示，A,B是椭圆C：丁+y21上两点，且|AB=、：3，求AAOB面积的最大值.x2y2【变式】过点M(-m,0)(0mb0)交于A,B，

6、求a2b2AAOB面积的最大值.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(01)是它的两个顶点，直线y=kx(k0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.若ED=6DF，求k的值；求四边形AEBF面积的最大值x2y2平面直角坐标系xOy中，过椭圆M:+1(ab0)右焦点的直线a2b2x+y-3=0交m于A,B两点，p为AB的中点，且op的斜率为2。求M的方程；C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD丄AB，求四边形ACBD面积的最大值。5.已知动直线I与椭圆C:琴+參1交于P(x,y),Q(x,y)两不同点，且AOPQ的面321122积S-，其中0为坐标原点.AOPQ2证明：x2+x

7、2和y2+y2均为定值；1212设线段PQ的中点为M，求|OM卜|PQ|的最大值；(Ill)椭圆C(Ill)椭圆C上是否存在二点D,E,G,使得S=S=SODEAODGAOEG二弓6?若存在，判yp12PQeBAOBrxx2yp12PQeBAOBrxx2y2【变式】设椭圆一+】=l(ab0)的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,Ba2b2两点，O为坐标原点.l若直线AP与BP的斜率之积为-2，求椭圆的离心率；若IAPI=IOAI，证明：直线OP的斜率k满足Ik13.x2y2如图，椭圆一+1=1(ab0)与过点A(2,0)，B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,a2b2且椭圆的离心率

8、e=(I)求椭圆方程；(I)设F,F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证121ZATM=ZAFT.1在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上，短轴长为2,离心率为(I)求椭圆C的方程;(I)求椭圆C的方程;(II)A,B为椭圆C上满足AAOB的面积为b0)的焦距为4,且过点P(J2,3).a2b2求椭圆C的方程；设Q(x,y)(xy丰0)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E。取点0000A(0,2迈)，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D。点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.6.如图，已知椭圆C:丁+y2=1，点A是其上顶点，M,N是椭圆上异于A的任意两点,且k-k二3，求证：直线MN恒过定点.AMAN3x2y2【变式】过椭圆-=l(ab0)内一定点P(x,0)(不妨设0vxva),任意作a2b200直线交椭圆