立体几何中的有关证明

1、数学高考综合能力题选讲15立体几何中的相关证明题型展望立体几何中的证明常常与计算联合在一同观察。三垂线定理及其逆定理是重点观察的内容。典范选讲例1已知斜三棱柱ABC-ABC的底面是直角三角形，C=90，侧棱与底面所成的角为（090），B在底面上的射影D落在BC上。（1）求证：AC面BBCC。（2）当为何值时，ABBC，且使得D恰为BC的中点。解说：（1）BD面ABC，AC面ABC，BDAC，又ACBC，BCBD=D，AC面BBCC。（2）由三垂线定理知道：要使ABBC，需且只要AB在面BBCC内的射影BCBC。即四边形BBCC为菱形。此时，BC=BB。由于BD面ABC，所以，BBD就是侧棱BB

2、与底面ABC所成的角。由D恰巧落在BC上，且为BC的中点，所以，此时BBD=60。即当=60时，ABBC，且使得D恰为BC的中点。例2如图：已知四棱锥PABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC底面ABCD，E为PC中点。（1）求证：平面EDB平面PBC；（2）求二面角BDEC的平面角的正切值。解说：（1）要证两个平面互相垂直，常例的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。第一观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，DEPC，那么我们自然想到：能否有DE面PBC？这样的想法一经产生，证明它其实不是一件困难的事情。面PDC底面ABCD，交线为

3、DC，DE在平面ABCD内的射影就是DC。在正方形ABCD中，DCCB，DECB。又PCBCC，PC,BC面PBC，DE面PBC。又DE面EDB，平面EDB平面PBC。（2）由（1）的证明可知：DE面PBC。所以，BEC就是二面角BDEC的平面角。面PDC底面ABCD，交线为DC，又平面ABCD内的直线CBDC。CB面PDC。又PC面PDC，CBPC。在RtECB中，tanBECBC2。CE议论：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。例3如图：在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，BADADC，ABAD2a，CDa，E为SB的中点。2（1）

4、求证：CE/平面SAD；（2）当点E到平面SCD的距离为多少时，平面SBC与平面SAD所成的二面角为45？解说：题目中波及到平面SBC与平面SAD所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证CE/平面SAD，应当想法证明CE平行于面SAD内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延伸BC、AD交于点F。在FAB中，BADADC，所以，、CD都与AF垂直，所以，AB2CDCDFBAFAB2aCDaESBSBCEC面SADSF面SADCE/SADSAABCDABCDSAAFSAASAFBHASBCSADBHABHA452aSASFAHSA24a22aSA43a4aAF3SACDSAADDCSAADSAADSA14h142SSCDSDCDSDSA2aAD24282ABCDA1B1C1D1c、da、bac,bdhABB1A1ABCDEF/面ABCDV估S中截面hVS上底面4S中截面S下底面VV1997年全国高考)如图,在正h估6方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.证明ADD1F;.求AE与D1F所成的角;.证明面AED面A1FD1;.设A