2023年美国大学生数学建模大赛A题-一等奖

1、Team# Page PAGE 10 of NUMPAGES 10 PAGE 10最终的布朗尼蛋糕盘Team #23686February 5, 2023摘要Summary/Abstract为了解决布朗尼蛋糕最正确烤盘形状的选择问题，本文首先建立了烤盘热量分布模型，解决了烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题。又建立了数量最优模型，解决了烤箱所能容纳最大烤盘数的问题。然后建立了热量分布最优模型，解决了烤盘平均热量分布最大问题。最后，我们建立了数量与热量最优模型，解决了选择最正确烤盘形状的问题。模型一：为了解决烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题，我们假设烤盘的任意一条边为半无限大

2、平板，结合第三边界条件下非稳态导热公式，建立了不同形状烤盘的热量分布模型，模拟出不同形状烤盘热量分布图。最后得到结论：在烤盘由多边形趋于圆的过程中，烤焦的程度会越来越小。模型二：为了解决烤箱所能容纳最大烤盘数的问题，本文建立了随烤箱长宽比变化下的数量最优模型。求解得到烤盘数目随着烤箱长宽比和烤盘边数变化的函数如下：模型三：本文定义平均热量分布为未超过某一温度时的非烤焦区域占烤盘边缘总区域的百分比。为了解决烤盘平均热量分布最大问题，本文建立了热量分布最优模型，求解得到平均热量分布随着烤箱长宽比和形状变化的函数如下：结论是：当烤箱长宽比为定值时，正方形烤盘在烤箱中被容纳的最多，圆形烤盘的平均热量分

3、布最大。当烤盘边数为定值时，在长宽比为1:1的烤箱中被容纳的烤盘数量最多，平均热量分布最大。模型四：通过对函数和函数作无量纲化处理，结合各自的权重和，本文建立了数量和热量混合最优模型，得到烤盘边数随值和的函数。当，时，此时的。Contents TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc3169682241 Analysis3HYPERLINK l _Toc3169682252 Model Assumptions3HYPERLINK l _Toc3169682263 Modeling and solving3HYPERLINK l _Toc3169682273.1 Defi

4、nition4HYPERLINK l _Toc3169682283.2 Model 14HYPERLINK l _Toc3169682293.3 Model210HYPERLINK l _Toc3169682293.4 Model311HYPERLINK l _Toc3169682293.5 Model413HYPERLINK l _Toc3169682304 References 15HYPERLINK l _Toc3169682345 Appendix 15HYPERLINK l _Toc3169682401.问题分析Analysis本文讨论了在有限的烤箱内，不同形状烤盘的外部边缘的热量的

5、分布问题。当烤箱内部预热到一定时间时，烤箱内温度到达一个均衡值。由于预热的一段时间很短，我们假设在烤箱的工作时间，炉内热量分布是均匀的。因此烤箱内的气体可以看成为温度不变的流体。烤盘的每一条边都可以看成无限大平板在一维时的情况。可以建立半无限大平板在第三类边界条件下的一维非稳态导热函数，并结合多维非稳态导热的乘积解法，可以得到多边形烤盘在二维的热量分布。然后模拟出多边形烤盘热量分布的图像，通过观察，得到各种形状烤盘所受到的热量分布情况。问题二：讨论烤箱所能够容纳烤盘数最多的情况。实际上也就是讨论多边形在区域内的平铺问题。在这里，我们假设为定值。一方面当分别为不同值时，多边形的平铺区域面积会有不

6、同的值。另一方面，多边形在区域的烤盘数量会随着多边形边数的变化而变化。因此，平铺数量会随着和边数的变化而变化。讨论烤盘平均热量最大的情况，实际上也就是讨论非烤焦区域面积占总区域面积比例的问题。我们认为烤焦区域面积为温度出现重叠的区域面积。一方面，当分别为不同值时，热量平均分布会有不同的值。另一方面，多边形在区域的热量平均分布会随着多边形边数的变化而变化。因此，热量平均分布会随着和边数的变化而变化。结合以上相关结论，我们可以得到边数会随着热量平均分布和和数量变化而变化。通过作无量纲化处理，数量和平均热量分布的权重分别为和，所以边数会随着和的变化而变化。2.模型假设Model Assumption

7、s1. 忽略不同食材，烘焙时间长短等因素对蛋糕成熟的影响；2. 当烤箱工作时，烤箱内的温度为定值；3. 假设烤箱内传热主要为导热传热。3. 不同形状烤盘热量分布模型3.1烤盘，烤箱的定义本文考虑的烤箱的结构简图Figure 1：Figure 1 烤箱结构图本文忽略盘烤的高度，仅考虑烤盘在二维空间内的导热问题,如图2所示：Figure 2 烤盘形态图图3.2模型建立模型解决烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题。当只考虑烤盘的一条边时，此时烤盘相当于半无限大平板。在一维非稳态传热过程中烤盘内的温度。坐标分布如图3所示：Figure 3 半无限大平板加热过程中的温度分析由上图可知，烤盘厚度为

8、时烤盘的加热情况：第一阶段step1：当烤制时间时，空气流体不断的向烤盘内部导热，但是烤盘仍然有局部处于初始温度，未开始加热。当时，空气流体对烤盘的热量正好传到烤盘的内边缘；第二阶段step2：当时，空气流体对整个烤盘加热的一段时间；第三阶段step3：当时，烤盘的温度到达新的稳定状态。烤盘的加热过程的微分方程1为：其中，为烤盘的温度，为烤盘的初始温度，为空气流体的温度，且。为空气流体与烤盘间的对流换热系数，且为常数。为加热时间，为烤盘边缘的厚度，为热量传输系数或导热系数。定解条件：，对称性，引入过余温度:。在此定解条件下微分方程解的结果为： 式中的是以下超越方程的根，称为特征值。从上式看出解

9、得结果可表示为：从上述的结果可知，烤盘的加热过程函数是一个无穷级数，计算工作量较大。但比照计算说明，当傅里叶系数时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的差异小。这样的误差在计算中是被允许的，因而当此后可以采用以下简化结果： (4)其中特征值的值与有关。从上式可知得当以后平板中的任意一点的过余温度与平板中心的过余温度之比为： (5)非稳态导热的这一阶段就是所谓的导热正规状况或充分开展阶段。确认正规状况阶段的存在具有重要的意义，因为本文计算中关心的非稳态导热过程常常处于正规状况阶段，此时的计算可以采用上述的简化公式。为了便于计算，人们广泛采用按分析解的级数第一项而绘制的一些线算图诺

10、曼图。其中用以确定温度分布的线算图称为海斯勒Heasler图。以无限大平板为例，它首先根据等式4中给出的随及变化的曲线此时，然后再根据等式5确定的值。于是平板中任意一点的值便为： (6)无限大平板的和的计算图2如图4和图5所示：Figure 4 无限大平板中心无量纲温度图Figure 5无限大平板的曲线图3.3模型求解设烤盘密度，比热容，导热率，对流换热系数，烤盘的宽度，烤箱内的温度。当时间时，根据图4和图5和等式(6)得到假设干大平板的温度和大平板距离的散点数据，拟合出大平板的温度和大平板距离的曲线如图6所示：Figure 6 大平板的温度和大平板距离的拟合曲线3.4四边形烤盘情况烤盘形状为

11、四边形的受热情况：Figure 7 烤盘形状为四边形的受热图四边形的烤盘可以看做成由四个半无限大平板所围成的，根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果：(7)图像如图8所示：Figure 8 四边形烤盘的热量分布图3.5 五边形烤盘情况烤盘形状为五边形的受热情况：Figure 9烤盘形状为五边形的受热图五边形的烤盘可以看做成由五个半无限大平板所围成的，根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果： (8)图像如图10所示：Figure 10五边形烤盘的热量分布图3.6 多边形烤盘情况烤盘形状为边形的受热情况：Figure 11烤盘形状为边形的受热图边形的烤盘可以看做成由个半无限大平板所围成

12、的，根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果： (9)图像如图12所示：Figure 12多边形烤盘的热量分布图4烤盘数量最优模型当用相同多的材料做成烤箱时，存在以下等式：式中，为烤箱的长度，为烤箱的宽度，为常数。多边形的边长数为。当时，多边形的形状可以近似看做其多边形的外圆。那么边形的排列方式如图：Figure 13边形的排列方式其中，三角形的面积： (10)式中：,为多边形所外外接圆的半径；经过推到可以得到多边形的面积为： (11)式中, 为烤盘的面积。那么： (12)每层的烤盘总数：烤箱有两层，那么烤箱能够放的烤盘总数：化简得到： (13)当用相同多的材料做成烤箱时，存在：。可推出

13、(13.5)结合式13和式13.5可得函数：13.55当，做出烤盘总数随着和多边形的边数而变化的曲线如图14所示：Figure 14 烤盘总数随着和多边形的边数而变化的曲线示意图由此可得到结论为：在区间上，随着的增大，烤箱内所容纳的烤盘数随多边形变化而变化的曲线将整体上移。由此可知，时，烤箱所盛的烤盘数最大。当的取值为某一定值时，烤箱内所能容纳的烤盘数随着多边形边数的增大而增大，其中，。特别的，当时，烤盘数量大于任意多边形的烤盘数，即正方形的烤盘在烤箱中的数目最多。5 烤盘热量最优模型我们假设烤制时间为时，蛋糕已经成熟。烤盘温度超过某一温度即烤焦overcooked的温度的区域面积为： (14

14、)如图15所示：Figure 15烤焦区域面积图用图像表示多边形随着边数的变化引起的烤焦面积变化的趋势如图16所示：Figure 16 多边形随着边数变化引起的烤焦面积变化的示意图每个烤盘的平均热量分布为，考虑每个烤盘的各区域温度未超过某一温度即烤焦overcooked的温度的区域面积为总面积减去，表示如下： (15)当多边形的边数变化时，得到结果如图17所示：Figure 17每个烤盘的平均热量分布图总的烤盘的平均热量分布为每个烤盘的平均热量分布H和烤盘数量N的乘积，即： (16)根据式13.55和式15可得函数。(16.5)当，做出烤盘热量平均分布随着和多边形的边数而变化的曲线：Figur

15、e 18 烤盘热量平均分布随着和变化示意图当在区间上时，随着的增大，烤盘平均热量分布随多边形变化而变化的曲线将整体上移。由此可知，时，烤盘的平均热量分布为最大。当的取值为某一定值时，烤盘平均热量分布随着多边形边数的增大而增大，其中，。且，当时，烤盘平均热量分布大于任意多边形的烤盘平均热量分布，即圆形烤盘平均热量分布最多。6烤盘数量与热量最优模型分别将图14和图18做无纲量化处理，并放置在同一坐标系中，烤盘总数和热量平均分布随着和多边形的边数而变化的关系，如图19所示：Figure 19 烤盘总数和热量平均分布随和变化示意图无量纲化的和的权重分别为和，即： (17)此时，和比为： (18)权重比

16、为的纵坐标之比，即：18.5即： (19)根据式13，13.5，18，可得函数： (20)当，时，利用matlab作出以上函数，函数图象如以下列图所示：Figure 20烤盘边数随和变化示意图 由此我们可以得到以下结论：当为定值时，与呈一一对应的关系，值随值的增加而减少；当为定值时，与呈一一对应的关系，值随值的增加而增大。通过确定和，可以得到相应的值。例如当，时，此时的。7.参考文献References1沈巧珍，杜建明，冶金传输原理，北京：冶金工业出版社，2006.82沈巧珍等，冶金传输原理，3董霖，MATLAB使用详解，北京：电子工业出版社，2023.14陈伟忠，林宏谕，北京：中国铁道出版社

17、，2007.95谢兆鸿，范正森，数学建模技术，中国水利水电出版社，20036王跃刚，动态数学模型 测试建模方法，西安：西安电子科技大学出版社，2023.37Mark M.Meerschaert,Mathematical Modeling(Third Edition),北京：机械工业出版社,2023.58.附录AppendixesAppendix1Matlab Figure 6 制作编程f(x) = p1*x2 + p2*x + p3Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 20.82 (19.66, 21.98) p2 = 4.872e-0

18、15 (-0.2821, 0.2821) p3 = 169.3 (169.1, 169.5)Appendix2Matlab Figure18 制作编程ezplot(0.25*n*sin(2*pi/n)/0.01*(1-tan(pi/n)*0.0005/(2*sin(pi/n)*(sqrt(0.005/(n*sin(2*pi/n)-0.0005/cos(pi/n),4,50,50,200);hold onezplot(2/9*n*sin(2*pi/n)/0.01*(1-tan(pi/n)*0.0005/(2*sin(pi/n)*(sqrt(0.005/(n*sin(2*pi/n)-0.0005/

19、cos(pi/n),4,50,50,200);hold onezplot(4/25*n*sin(2*pi/n)/0.01*(1-tan(pi/n)*0.0005/(2*sin(pi/n)*(sqrt(0.005/(n*sin(2*pi/n)-0.0005/cos(pi/n),4,50,50,200)Appendix3Matlab Figure20制作编程x=1 1 1 1 1 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25y=0.761481795 0.680250585 0.60019

20、3826 0.540164388 0.500147096 0.470136039 0.45012852 0.440123164 0.699691087 0.631249757 0.581192366 0.541162599 0.511145115 0.495133934 0.481126332 0.471120916 0.648771881 0.577253616 0.537196942 0.497167547 0.477150281 0.457139241 0.447131734 0.437126385z=4 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 11xi,yi=meshgrid(linspace(min(x),max(x),100),linspace(min(y),max(y),100);zi=griddata(x,y,z,xi,yi,v4);hold onsurf(xi,yi,zi);shading interp %去除网格h=scatt