积分方法总结

1、积分方法总结标准化文件发布号：（9312EUATWWMWUBWUNNINNULDDQTYKII积分方法总结李利霞扌商要：微积分是大学一年级学的基础课，而在以后的课程中，我们会慢 慢发现微积分儿乎随处都用的到。所以，在这里对积分方法做一个简单的总 结。关键字：二重积分三重积分曲面积分曲线积分散度旋度一:二重积分对于二重积分比较常用也比较简单，我在这里给岀定限方法：如果是X 型，则将积分区域全部投影到X轴上，确定x的范圉；在x范围内取一点作平 行于y轴的射线，与区域的边界的两交点J则为对y积分的上下限。同 理，可得y型定限方法。对于极坐标要定0, I的上下限。二重积分是积分问题 的基础，以后提到的

2、各种积分方法最终都是通过某种方法换做二重积分。下面 给出二重积分的例子：1 = 口肿円砂；积分区域由y2=x与y = x-2围成；将积分区域对X轴投影可得x的上下限为0,4。在0,1间，做平行与y轴 的射线得y轴的范围-坂,低;在1,4间，同理得y的范围x-2,仮。从而积 分式子可以写作：同理，也可以对x先积分，将积分区域投影到y轴上，做平行于x的射线,定x的上下限为y2,y + 2； y的范围-1,2对于极坐标，应先画出在xy坐标上的积分区域，把边界值方程化为极坐标 下的方程，定&与r,定r时同样用发射法，从坐标原点发射。（以上方法简称 为投影发射法）。二：三重积分（1）在直坐标系中定限法一

3、：将积分区域投影到其中的一个坐标平面，如xoy面上，得到x,y的积分面范围Dxy；做平行与z轴的射线，穿过积分区域时，进入和出来所 经过的面分别为M : z =乙心,y）,s2: z = eg对；从而三重积分可化为二重积分： f（x, y,zixdydz =y,。对 z 积分时将 x,y 看做常数。定限法二：“先二后一”；将积分区域在z轴投影得到z的取值范围用平行与xoy面的平面去截积分区域得关于z的面区域D：。从而三 重积分可以化为y,zlxdydz = /（x, y,zxdy。在对x, y积分时将z看作常数。（2）柱坐标计算柱坐标可以看作是直坐标系的一种特殊情况，同样是对一个坐标面投影，柱

4、坐标选用xoy面，只不过得到的区域用极坐标表示，而z坐标不变。血 f （x, y, zWz =胁呵:二久cos rsin 0.讹（3）球坐标计算首先给出点P的球坐标(004)与直角坐标(x,y,z)的关系:x = /?sincos& y = psinsin Z = pcos(p其中，0200/?z(t)at = J(7p nis = JJJ.fi(p)co如,x)+ y2(p)cos(H, y)+ 厶(p)co姻,z)/S ；适用于逐片光滑的有向曲面，以及封闭光滑曲面。列外，如果把曲面面积的微分元分别投影到。yz,ozx,oxy面上，并把垂直投影_次记为：dydzt.dzdx.dxdy;cos

5、(亓,x) = dydz.cos(亓,y) = dzjclx.cos(亓,z) = dxdy ； 可得：= J伉同=上齐加妙+ /2(必皿+办(#加心。有时候我们会遇到的不完全形式，即缺省某一项时。当n=(rzx-zyA)取正号时则为对曲面的上侧积分，或者对封闭曲面的外侧积分。将曲面对xoy轴投影，则式可以有另一种形式Jf(/z, -nlS = /；(兀)泌(3“一乙) + /2(x,y,z(x,y)XZy) + _A(x,”z(x,y)kdy 这将不熟悉的曲面积分换做我们熟悉的三重积分，最终再换做二重积分，从而得到积分结果。五：格林公式与斯托克斯公式1.格林公式对于闭合曲线的笫二型积分，若函

6、数7=(/2)在围线I (单一围线或者复合围线)围成的有界闭区域内连续可微分，则我们可以用格林公式f7(/) = f/iyVx+fiyy=J| 去_食 M。其中 d 是闭合曲线/围成的闭区域。通过格林公式可以将曲线积分转换成闭区域的二重积分，从而起到化简的作用。值得强调的是函数必须在指定区域连续可微分，否则就要用补围线的方 法，把函数不满足条件的点剔除，讣算时再将其补上。如闫站立编的微积分第二版中的一个例子：设/为不通过原点(0,0) 的简单闭曲线，求曲线积分r罟汉可知除了原点外函数匚二)在围线所围区域有连续偏导数。所以需要补曲线。为 X + )广足够小的圆(疋+尸二刊使c”完全含在/内，贝艸

7、与J构成一个复合围线。从而r竺申彳 竺M出 竺=；从而利用格林公式计算第二项结 x2 + y2 儿 x2 + y2 x2 + y2果为0,所以/ =进_小；用极坐标可得积分结果为2龙。Jz ；r+y 比+ y2 斯托克斯公式设S是以简单闭曲线/(自身不相交的光滑或者逐段光滑的闭曲线)为边界的光滑或者逐片光滑的双侧曲面，并且指定的一侧与边界曲线/的方向是一致的(符合右手定则)。若函数7(x,y,z) = (/(x,y,z f2(xty9z), f3(x,y,z)在包含 S的某个(空间)区域上连续可微分，则有斯托克斯公式:dxdycos（n,x）cos（亓,y）cos（亓,z）d或ffdddclS

8、6z=JJvoxAfldydz dz,dx“dx+M+m 讪 暑z 厶六：旋度与散度1打7(”)莎曲线积分与路径无关的等价条件有：(1)存在闭合曲线/使得打()曲=0；(2)存在位势函数/心,y)使得du = idxf,dy或者grad u = f,即u的导数；(3)乞=鱼在闭合曲线所围 dy dx区域处处成立。只需满足以上条件中的一个就可以得到函数积分与路径无关。2关于空间向量场 f(Az)= (/(x,”z), f2(x,”z),/3(x,y,z)eQc=R-,它为 保守场的条件与上述大致相同，存在函数W=z/(xOz)，du = fdx+f2dy + f3dz,； 或者在区域。内有鱼=鱼

9、，鱼=鱼,萤=萤。定义 dy dx dy dz, dz dx旋度 rotf , rot/* =k 8 一比/3丿 6 -勿/2:所以斯托克斯公式可以记为仃(“)(=鬭(P).亓(#)/s。环量(循环量)即是沿。内一闭曲线的曲线积分值p-6/r = r/；表示在区 域内某点处有一个“旋涡”，对于旋度为0的向量场函数为无旋场，即保守 场。3.奥-高公式设CUR是以光滑或逐片光滑曲面S围成的有界闭区域。若函数f (x, y, z) = (/ (x, y, z), f2 (x, y, z),y, z)及其偏导数嬰，雲李在闭区域Q上OX 6 OZ连续，贝IJ= /i(P)cos(，x)+/2(P)cos

10、(*，y)+/3(P)cosOi,z)0S我(和ms=fdydz + f.dz.dx + fydxdy历是S上点P处的外法线方向的单位向量。3.定义向量函数的通量，从曲面S另一侧穿过曲面到单位法向量指向的一 侧的通量即为曲面积分= jp(p)亦訂步(“)站S。所以把向量场/()穿过封闭曲面S的通量与S包围的立体体积v之比 = 17(/?).J5称为通量密度。当S包圉的立体收缩到点M时的极限 忸丄払/()亦于伽/(M),称为向量场在点M的散度。在直角坐标系中，根据奥-高公式和三重积分的中值定理可得：癒佃)=啊灌+鲁+鲁=灌嚼罔;奥一高公式向量 形式为：ndivf (Mxdydz = sf(p) -dS。根据定义，散度为通量变化率，通量大于0表示从曲面S流出的量大于流 入的。如果通量改变为0, =斥=0,则向量场/为无源场，其满足的充要条件是Jh/(p) = 0,(peQ)o七：总结算符 V = -7 + A