高中三年级一轮复习精题组同角三角函数基本关系和诱导公式有详细答案解析

1、高考资源网 ,您身边的高考专家.高考资源网 ,您身边的高考专家4.2同角三角函数基本关系及诱导公式1同角三角函数的基本关系平方关系：sin2cos21.商数关系：eq ftan .2下列各角的终边与角的终边的关系角2k图示与角终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角eq feq f图示与角终边的关系关于y轴对称关于直线yx对称3.六组诱导公式组数一二三四五六角2keq feq f正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限1判断下面结论是否正确sinsin

2、 成立的条件是为锐角六组诱导公式中的角可以是任意角若coseq f,则cos eq f.已知sin eq f,cos eq f,其中eq f,则m5或m3.已知,sin cos eq fr1,2,则tan 的值为eq r或eq fr,3.已知tan eq f,则eq f的值是eq f.2已知sinlog8eq f,且eq f,0,则tan的值为Aeq f2r,5B.eq f2r,5Ceq f2r,5D.eq fr,2答案B解析sinsin log8eq feq f,又eq f,0,得cos eq req fr,3,tantantan eq feq f2r,5.3若tan 2,则eq f的值为_

3、答案eq f解析原式eq feq f.4已知coseq blcavs4alco1feq f,则sineq blcavs4alco1f_.答案eq f解析sineq blcavs4alco1fsineq blcrcavs4alco1fblcavs4alco1fsineq blcrcavs4alco1fblcavs4alco1fcoseq blcavs4alco1feq f.5已知函数feq blcrc avs4alco12cos fx,x2 000,x15,x2 000,则ff_.答案1解析ffff,f2coseq f2cos eq f1.题型一同角三角函数关系式的应用例1已知coseq f,x

4、,则tan x_.已知tan 2,则sin2sin cos 2cos2等于Aeq fB.eq fCeq fD.eq f思维启迪应用平方关系求出sin x,可得tan x；把所求的代数式中的弦转化为正切,代入可求答案eq fD解析coscos xeq f,cos xeq f.又x,sin xeq req r1f2eq f,tan xeq feq f.sin2sin cos 2cos2eq feq fff2,f1eq feq feq f.思维升华利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化,利用eq ftan 可以实现角的弦切互化应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ,sin c

5、os ,sin cos 这三个式子,利用212sin cos ,可以知一求二注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2,sin21cos2,cos21sin2.已知eq feq f,那么eq f的值是A.eq fBeq fC2 D2已知tan 2,则sin cos _.答案Aeq f解析由于eq feq feq f1,故eq feq f.sin cos eq feq feq feq f.题型二诱导公式的应用例2已知coseq blcavs4alco1feq fr,3,求coseq blcavs4alco1f的值；已知2,coseq f,求sintaneq blcavs4alco1f的值思维启迪

6、将eq f看作一个整体,观察eq f与eq f的关系先化简已知,求出cos 的值,然后化简结论并代入求值解eq blcavs4alco1feq blcavs4alco1f,eq feq blcavs4alco1f.coseq blcavs4alco1fcoseq blcrcavs4alco1blcavs4alco1fcoseq blcavs4alco1feq fr,3,即coseq blcavs4alco1feq fr,3.coscoscoscos eq f,cos eq f.sintaneq blcavs4alco1fsineq blcrcavs4alco1tanblcavs4alco1fs

7、in taneq blcavs4alco1fsin eq fsinblcavs4alco1f,cosblcavs4alco1fsin eq fcos eq f.思维升华熟练运用诱导公式和基本关系式,并确定相应三角函数值的符号是解题的关键另外,切化弦是常用的规律技巧已知sineq blcavs4alco1feq f,则coseq blcavs4alco1f的值为_已知sin 是方程5x27x60的根,是第三象限角,则eq fsinfcosf,cosfsinftan2_.答案eq feq f解析coseq blcavs4alco1fcoseq blcrcavs4alco1blcavs4alco1f

8、fsineq blcavs4alco1feq f.方程5x27x60的根为eq f或2,又是第三象限角,sin eq f,cos eq req f,tan eq feq ff,feq f,原式eq ftan2tan2eq f.题型三三角函数式的求值与化简例3已知tan eq f,求eq f的值；化简：eq ftancos2sinblcavs4alco1f,cossin.思维启迪三角函数式的化简与求值,都是按照从繁到简的形式进行转化,要认真观察式子的规律,使用恰当的公式解因为tan eq f,所以eq feq feq feq f.原式eq feq feq ffcos ,sin 1.思维升华在三角

9、函数式的求值与化简中,要注意寻找式子中的角,函数式子的特点和联系,可以切化弦,约分或抵消,减少函数种类,对式子进行化简若为三角形的一个内角,且sin cos eq f,则这个三角形是A正三角形 B直角三角形C锐角三角形 D钝角三角形已知tan 2,sin cos 0,则eq f_.答案Deq f2r,5解析212sin cos eq f,sin cos eq f0,为钝角故选D.原式eq fsin ,tan 20,为第一象限角或第三象限角又sin cos 0,为第三象限角,由tan eq f2,得sin 2cos 代入sin2cos21,解得sin eq f2r,5.方程思想在三角函数求值中的

10、应用典例：已知sin cos eq f,则tan _.思维启迪利用同角三角函数基本关系,寻求sin cos ,sin cos 和sin cos 的关系规范解答解析方法一因为sin cos eq f,所以212sin cos eq f,所以sin cos eq f.由根与系数的关系,知sin ,cos 是方程x2eq fxeq f0的两根,所以x1eq f,x2eq f.因为,所以sin 0,cos 0.所以sin eq f,cos eq f.所以tan eq feq f.方法二同法一,得sin cos eq f,所以eq feq f.弦化切,得eq feq f,即60tan2169tan 60

11、0,解得tan eq f或tan eq f.又,sin cos eq f0,sin cos eq f0.所以eq f,eq f,所以tan eq f.方法三解方程组eq blcrc avs4alco1sin cos f,sin2cos21得,eq blcrc avs4alco1sin f,cos f或eq blcrc avs4alco1sin f,cos f故tan eq f.答案eq f温馨提醒三种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应用利用已知条件sin cos eq f和公式sin2cos21可列方程组解得sin cos ,sin cos ,也可以利用一元二次方程根与系数的关系求sin

12、 、cos .各解法中均要注意条件的运用,谨防产生增解.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变名、变式1同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍2三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有：弦切互化法：主要利用公式tan xeq f化成正弦、余弦函数；和积转换法：如利用212sin cos 的关系进行变形、转化；巧用1的变换：1sin2cos2cos2sin2eq blcavs4alco11ftaneq f.失误与防范1利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任

13、意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号3注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.A组专项基础训练一、选择题1是第四象限角,tan eq f,则sin 等于A.eq fBeq fC.eq fDeq f答案D解析tan eq feq f,cos eq fsin ,又sin2cos21,sin2eq fsin2eq fsin21.又sin 0,sin eq f.2已知和的终边关于直线yx对称,且eq f,则sin 等于Aeq fr,2B.eq fr,2Ceq fD.eq f答案D解析因为和的

14、终边关于直线yx对称,所以2keq f又eq f,所以2keq f,即得sin eq f.3已知sin2sineq f,则sin cos 等于A.eq fBeq fC.eq f或eq fDeq f答案B解析由sin2sineq f得sin 2cos ,所以tan 2,sin cos eq feq feq f,故选B.4已知feq f,则feq blcavs4alco1f的值为A.eq fBeq fC.eq fr,2Deq fr,2答案A解析feq fcos ,feq blcavs4alco1fcoseq blcavs4alco1fcoseq blcavs4alco18fcos eq feq f

15、.5已知Aeq feq f,则A的值构成的集合是A1,1,2,2 B1,1C2,2 D1,1,0,2,2答案C解析当k2n时,Aeq feq f2；当k2n1时,Aeq feq f2.故A的值构成的集合为2,2二、填空题6化简：eq fsinblcavs4alco1ftan,sin_.答案1解析原式eq feq f1.7如果cos eq f,且是第一象限的角,那么coseq f_.答案eq f2r,5解析cos eq f,为第一象限角,sin eq r eq r1f2eq f2r,5,coseq fsin eq f2r,5.8化简：eq fsin2coscos2,tansin3fsin2_.答

16、案1解析原式eq feq f1.三、解答题9已知sin eq f,eq f.求tan 的值；求eq f的值解sin2cos21,cos2eq f.又eq f,cos eq f.tan eq feq f.由知,eq feq feq f.10已知sin ,cos 是关于x的方程x2axa0的两个根,求cos3eq fsin3eq f的值解由已知原方程的判别式0,即24a0,a4或a0.又eq blcrc avs4alco1,212sin cos ,则a22a10,从而a1eq r或a1eq r,因此sin cos sin cos 1eq r.cos3eq fsin3eq fsin3cos31eq

17、r11eq req r2.B组专项能力提升1已知sin eq f,eq f,eq f,则sinsineq f的值是A.eq f2r,9Beq f2r,9Ceq fD.eq f答案B解析sin eq f,eq f,eq f,cos eq req f2r,3.原式sinsin cos eq feq f2r,3eq f2r,9.2当0 xeq f时,函数feq f的最小值是A.eq fB.eq fC2 D4答案D解析当0 xeq f时,0tan x1,feq feq f,设ttan x,则0t1,yeq feq feq f1,f24.当且仅当t1t,即teq f时等号成立3已知coseq blcav

18、s4alco1fa ,则coseq blcavs4alco1fsineq blcavs4alco1f的值是_答案0解析coseq blcavs4alco1fcoseq blcrcavs4alco1blcavs4alco1fcoseq blcavs4alco1fa.sineq blcavs4alco1fsineq blcrcavs4alco1fblcavs4alco1fcoseq blcavs4alco1fa,coseq blcavs4alco1fsineq blcavs4alco1f0.4已知feq f化简f的表达式；求feq ffeq f的值解当n为偶数,即n2k时,feq feq feq fsin2x；当n为奇数,即n2k1时,feq feq feq feq fsin2x,综上得fsin2x.由得feq ffeq fsin2eq fsin2eq fsin2eq fsi