圆锥曲线联立及韦达定理上课讲义

1、学习资料圆锥曲线联立及韦达定理1、圆锥曲线与直线的关系椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定：椭圆： x2y21 (a b0)a2b2双曲线： x2y21 (a、 b0)a2b2直线： ykxm(PS：这里并没有讨论椭圆的焦点在y 轴、双曲线的焦点在y 轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充)（ 1）椭圆与双曲线联立：1k 22 2kmm2(2b2 ) xb2 xb2 1 0a(PS：联立时选择不通分，原因？看完就知道了)类一元二次方程： Ax 2Bx C 01 k 2( 2 b2 ) ，所以 A 0 ，即方程为一元二次方程。a判别式：B24 AC2km24(1k 2m21)

2、(2 )a2b2 )(b2b化解得：4(1k 2m22 )2b22baa当0 ，方程无实根，直线与椭圆没有交点；当 0 ，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切；（相切是因为重根，而不是只有一个根）当0 ，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.各种学习资料，仅供学习与交流学习资料（ 2）双曲线与直线联立：1k222kmm20(2b2 ) xb2xb21a( 122类一元二次方程中，Ak2 ) ， B ( 2km2 )abb4( 1k 2m2)a2b2a2 b21)当 A0, B0 时，方程为10 ，无解，直线与双曲线相离；（此时为渐近线）当 A 0, B 0 时，方程为一元一次方程，只有一个解，直

3、线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线的平行线）当 A 0,0 时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离；4)当 A0,0时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线相切；5)当 A0,0时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线相交.PS：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！各种学习资料，仅供学习与交流学习资料2、联立方程与韦达定理（ 1）韦达定理：Ax2BxC 0 运用韦达定理的前提：A 0,0 x1x2B ， x1 x2C ， x1 x2( x1x2 )24x1 x2AAA（ 2）椭圆与直线联立相关的韦达定理：( 1k 2) x22km xm21 0a2b2

4、b2b22kmx1x2b2；1k 2a2b2m21x1 x2b2；1k 2a2b221k 2m2a2b2a2b2x1x21k 2a2b2由 ykxm 可得到关于 y 的韦达定理：y1y2(kx1 m) (kx2m) k ( x1 x2 ) 2m22m( 1222k 2mk2 )bab1k2a2b22my1y2a21；k 2a2b2y1 y2(kx1m)( kx2 m) k 2 y1 y2 km( x1 x2 ) m2各种学习资料，仅供学习与交流学习资料22km2)m2 ( 122k 2 ( m21)km(k2 )bbab1k2m2a2b2k 2y1 y2a2k 2；1a2b2y1y2( kx1

5、m)(kx2m) k x1x22k1k 2m2a2b2a2b2y1y21k 2；a2b2（ 3）双曲线与直线联立相关的韦达定理：( 1k2) x22km xm21 0a2b2b2b22kmx1x21b2k 2；a2b2m21x1 x2b2k 2；1a2b221k 2m2x1x2a2b2a2b21k 2a2b2由 ykxm 可得到关于 y 的韦达定理：y1y2(kx1m) (kx2m) k ( x1 x2 ) 2m2k 2m2m(1k 2b2a2b2 )1k 2a2b2各种学习资料，仅供学习与交流学习资料2my1y21a2k 2；a2b2y1 y2(kx1m)( kx2m)k 2 y1 y2km( x1 x2 ) m2k2(m21)km(2kmm2(1k 2b22)22 )bab1k2m2a2b2k 2y1 y2a2k 2；1a2b2y1y2( kx1m)(kx2m)k x1 x22k1k 2m2y1y2a2b2a2b2；1k 2a2b2PS：1、所有韦达定理所得的结果分母都一样，之后的处理就不需要通分；2、记住部分结论（联立的一元二次方程和判别式必须记住）会事半功倍；3、双曲线相关的式子与椭圆相关式子的区别，所有