12年全国数学建模竞赛试卷

1、葡萄酒的评价摘要： 本文为了解决题目当中所提出的几个问题，建立了四个数学模型对问题进行求解。由于红葡萄和白葡萄一些性质差异，在下面我们对红葡萄和白葡萄分别进行讨论。模型一通过单因素方差分析对两组评论员的评价结果进行了分析，利用matlab软件计算出了两组评论员对红、白葡萄酒样品评分结果的显著性差异值p值，发现两组评酒员的评价结果无显著性差异，进一步分析可知第二组结果更可信。因此后面的计算均利用第二组评论员的评价结果。模型二对葡萄酒质量得分和酿酒葡萄理化性质得分加权平均后得到每种葡萄的得分，利用葡萄得分把这些葡萄分成了三级：优秀，良好和普通。在算葡萄理化指标得分时利用了对称判断矩阵算指标的权重。

2、模型三采用灰色系统理论中的优势分析计算出了酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标的关联矩阵，得到了葡萄理化指标与葡萄酒理化指标之间的关系。模型四通过系统聚类法分别利用葡萄酒的理化指标和葡萄酒质量指标对葡萄进行了一个大概分类。比较分类结果发现不同的分类指标得到了相近的结果，那么我们得到葡萄酒的理化指标和葡萄酒质量有关联性的结论，进一步比较结果和分析数据，我们知道到哪些葡萄酒的理化性质影响葡萄酒的哪方面质量指标。在四个模型完成后，我们对葡萄的理化指标，葡萄酒理化指标和葡萄酒的质量三者关系有了一定的认识：葡萄的理化指标对葡萄酒的理化指标有极大影响，而葡萄酒的理化指标决定了葡萄酒的质量。并通过总结各模型的特点，提

3、出了更好的方法以确定葡萄酒理化指标与葡萄酒质量的关系。关键词: 葡萄酒质量 理化指标 单因素方差分析 优势分析 系统聚类法一问题的重述评价葡萄酒的质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员对各种葡萄酒进行品评，并对其分类指标打分。然后根据各种葡萄酒的总得分对这些葡萄酒进行排名，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标也会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件一是葡萄酒品尝评分表，附件二给出了葡萄和葡萄酒的理化指标，附件三是葡萄和葡萄酒的芳香物质成分数据。本文通过建立四个数学模型尝试解决以下四个问题：1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有

4、无显著性差异，哪一组结果更可信？2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。4分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？二问题的假设附件中所给数据均是客观地、准确的且具有一定的代表性附件中所给同种葡萄或葡萄酒的理化指标均是在同一时间段统计得到的若葡萄或葡萄酒的某种或某些理化指标含量越多葡萄酒质量越好，则认为这些理化指标含量与葡萄酒质量成正比例关系若葡萄某种理化指标对葡萄酒的质量影响极小，则认为这种理化指标对葡萄酒的质量影响权值为零。三 模型一的建立与求解3.1 符

5、号说明Amn ：评酒员m（0m11）对红或白葡萄酒样品n(红0n28；白0n29)的的评分p ：每组评酒员评分的显著性差异水平（m、n均为正整数）3.2 模型一的建立附件一给出了两组评酒员对红葡萄酒和白葡萄酒各个样品的评分结果，要求根据数据判断两组评酒员的评价结果有无显著性差异。根据单因素方差分析:假设检验H0 :两组评酒酒员的评价结果无显著性差异；H1 : 两组评酒酒员的评价结果有显著性差异为检验H0，给定显著性水平 ，方差分析一般用的显著性水平是：取=0.01 ，拒绝H0，称因素 Amn 的影响（或 A各水平的差异）非常显著；取=0.01 ，不拒绝H0，但取=0.05 ，拒绝H0，称因素A

6、mn 的影响显著；取 =0.05，不拒绝H0，称因素Amn无显著影响记：若0p0.05,则认为十位评酒员的评价结果没显著性差异；并且p越大十位评酒员的评价结果的显著性差异越小。若每组评酒员中十位评酒员的评价结果的显著性差异p值越大，则该组评酒员之间评价结果的显著性差异越小，该组所得评价结果越可信。33 模型一的求解与结果分析通过Matlab 统计工具箱中单因素方差分析的命令anova1分别计算出对各个样品的评分中每组十位评酒员评分结果的相关性差异p值，如下表：红葡萄酒样品号1234567第一组0.68530.99550.98870.68370.9270.93160.7189第二组0.74940

7、.99970.99550.98140.99980.99750.9216红葡萄酒样品号891011121314第一组0.98130.99670.99420.88560.77710.98640.993第二组0.85940.9980.98190.96640.99730.99920.9983红葡萄酒样品号15161718192021第一组0.65530.99940.88970.96930.97920.9930.7742第二组0.96350.99880.99990.96770.95950.99390.9912红葡萄酒样品号222324252627平均第一组0.96510.99790.91460.8901

8、0.99240.97340.908837第二组0.99810.99770.99990.95840.97020.9990.97197白葡萄酒样品号12345678第一组0.89570.23410.85780.98570.71320.39060.99130.3734第二组0.99840.97760.66570.99010.99880.9990.98130.9926白葡萄酒样品号910111213141516第一组0.72760.34530.41060.59520.39270.71920.63860.44第二组0.82780.9610.8310.59790.98310.99970.97370.858

9、3白葡萄酒样品号1718192021222324第一组0.62980.47230.97370.95420.58270.49050.98280.7563第二组0.99560.99730.99820.97640.96390.9760.99990.9921白葡萄酒样品号25262728平均第一组0.99140.90330.48370.91310.673029第二组0.84750.7960.99070.99860.934579通过观察以上两表发现：1. 对各样品酒的评分，两组评酒员中十位评酒员间评分结果的差异性相差很小，故可认为两组评酒员的评价结果无显著性差异。2.对比第一组和第二组的p值发现，第二组

10、的p值普遍比第一组的p值大，即第二组十位评酒员间的评分结果差异性更小一些，故第二组的评酒员的评价结果更可信。四、 模型二的建立与求解4.1 符号说明Mi 第i样品的最后得分Li 根据酿酒葡萄的理化指标，第i样品的得分Zi 根据葡萄酒的质量，第i样品的得分p 酿酒葡萄的理化指标与葡萄酒的质量相比，酿酒葡萄的理化指标所占权重q 葡萄的理化指标与葡萄酒的质量相比，葡萄酒的质量所占权重4.2 模型二的建立与求解我们根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级，应该是分别用理化指标和葡萄酒质量两个方面来制定评价标准，采用相同的的分制，最后决定一个权重，用各自的分数乘以权重求和即可得最后得分

11、，从而进行分级。如我们第i样品理化指标得分为Li，权重为p,质量得分为Zi，权重为q,那i样品最后的总分为 Mi=*Li+q*Zi.为了使论文清晰，我们只在论文中展示红葡萄的计算过程和数据及白葡萄的最终得分，而白葡萄的中间数据我们将收录于附表中，以方便评委老师察看和验证结果。对于葡萄酒质量，我们认为专业人员作出的评价是比较客观的，能够根据葡萄酒所得的分数来确定葡萄质量。我们认为在这个评价中满分是10分，那么经过处理可以得到十分制中从葡萄酒的质量对各个样本葡萄评价的一个得分，得分见下表： 红葡萄酒的得分样品1样品2样品3样品4样品5样品6样品76.817.47.467.127.216.636.5

12、3样品8样品9样品10样品11样品12样品13样品146.67.826.886.166.836.887.26样品15样品16样品17样品18样品19样品20样品216.576.997.456.547.267.587.22样品22样品23样品24样品25样品26样品277.167.717.156.827.27.15我们在查阅资料的过程当中发现，葡萄不同的理化指标，对葡萄品质产生影响的权重是不一样的，因此要根据葡萄的理化指标对葡萄进行分级，必须找到不同理化指标对葡萄品质产生影响的权重。我们查阅资料，根据专家的一些结论，大致地知道各个指标对葡萄产生的影响权重，但是专家给出的指标数目是很少的，只有四个

13、，而我们所认为重要的且有详细数据的指标有9个，因此为了确定各个指标的权重，我们采取成对判断矩阵的方式来求权值，（因为我们要求的数据数目太大，不可能使用层次分析法（比较对象大于9个层次分析法就会出现巨大误差）。设现在要比较n 个指标 对葡萄品质的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个指标 与 ，以 表示 和 对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵 表示，称A为之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若与对Z 的影响之比为的重要性之比，则与对Z的影响之比应为 关于如何确定的值，Saaty等建议引用数字19 及其倒数作为标度。

14、表 1 列出了19 标度的含义：表1 标度的含义标度含义1表示两个因素相比，具有相同重要性3表示两个因素相比，前者比后者稍重要5表示两个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9表示两个因素相比，前者比后者极端重要2,4,6,8表示上述相邻判断的中间值倒数若因素与因素的重要性之比为，那么因素与因素重要性之比为最后，应该指出，一般地作次两两判断是必要的。有人认为把所有元素都和某个元素比较，即只作 1 n 次比较就可以了。这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。进行次比较可以提供更多的信息，通过各种不

15、同角度的反复比较，从而导出一个合理的排序。上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A 的元素还应当满足： （1）需要检验构造出来的（正互反）判断矩阵 A 是否严重地非一致，以便确定是否接受A 。 正互反矩阵 A 的最大特征根必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。A 的其余特征值的模均严格小于。， 即 我们可以由是否等于n 来检验判断矩阵A 是否为一致矩阵。判断是否是一致矩阵步骤如下：（i ）计算一致性指标 （ii ）查找相应的平均随机一致性指标。

16、对 ，Saaty给出了 的值，如表2 所示。表2 RI的值n123456789RI000.580.901.121.241.321.411.45 的值是这样得到的，用随机方法构造 500 个样本矩阵：随机地从 19 及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值，并定义（）计算一致性比例 当 CRrij , i=1,2,m ; j3则称性x3为优势子因素。 如果矩阵R 的某个元素达到最大，则该行对应的母因素被认为是所有母因素中影响最大的。下面只需计算出酿酒葡萄的理化指标与葡萄酒的理化指标之间的关联度矩阵R即可通过矩阵中各个元素的大小分析出酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。下面通过m

17、atlab软件编程求关联度矩阵R，如下matlab程序clc,clearload data.txt % 把原始数据存放在纯文本文件 data.txt 中data=data;n=size(data,1); for i=1:n data(i,:)=data(i,:)/data(i,1);end ck=data(10:n,:);m1=size(ck,1); bj=data(1:9,:);m2=size(bj,1); for i=1:m1 for j=1:m2 t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:); end jc1=min(min(abs(t);jc2=max(max(abs(t); rho=

18、0.5; ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2); rt=sum(ksi)/size(ksi,2); r(i,:)=rt; end运行结果如下表：红葡萄与红葡萄酒的理化指标之间的关联度红葡萄酒红葡萄花色苷(mg/L)单宁mmol/L总酚mmol/L酒总黄酮mmol/L白藜芦醇(mg/L)DPPH半抑制体积（IV50） 1/IV50(uL)L*(D65)a*(D65)b*(D65)氨基酸总量(mg/100gfw)0.95190.97150.97010.96550.95680.96760.57350.89550.7988蛋白质mg/100g0.95970.97970

19、.97780.97370.95710.97560.56880.89200.7942VC含量（mg/L)0.96220.95810.95860.95910.92760.95800.59690.86750.7794花色苷mg/100g鲜重0.99700.97820.97990.98090.93800.98010.56210.86350.7731酒石酸（g/L）0.85180.86980.86840.86780.89210.86830.59750.92960.8663苹果酸（g/L）0.99260.97860.98030.98040.93680.97950.55870.86300.7716柠檬酸（g

20、/L）0.97890.97920.97990.97520.94100.97670.56160.87420.7799多酚氧化酶活力E（A/mingml）0.97620.98410.98470.98110.95120.98080.56740.88130.7861褐变度A/g*g*min*ml 0.99230.97970.98060.98010.93910.97960.56300.86610.7751DPPH自由基1/IC50（g/L）0.97110.98990.99020.98620.95620.98720.56840.88470.7884总酚(mmol/kg)0.97950.99270.9940

21、0.99280.95370.99210.56780.87830.7840单宁(mmol/kg)0.98030.99160.99240.99020.95100.99090.56820.87870.7850葡萄总黄酮（mmol/kg）0.96790.98520.98450.98460.95710.98540.57380.88930.7926白藜芦醇(mg/kg)0.93350.94630.94550.94630.93170.94640.55560.88110.7810黄酮醇(mg/kg)0.91810.93350.93260.93260.92430.93280.58560.88670.8163总糖

22、g/L0.96100.98040.97810.97320.95550.97580.56780.89080.7929还原糖g/L0.96200.98020.97820.97330.95350.97590.56720.88960.7918可溶性固形物g/l0.96240.98140.97930.97440.95550.97690.56780.89010.7925PH值0.96030.97960.97770.97330.95760.97590.56790.89090.7934可滴定酸（g/l）0.95250.97200.97030.96510.95600.96780.57080.89860.7996

23、固酸比0.96840.98510.98440.98040.95500.98100.56570.88470.7882干物质含量g/100g0.96300.98180.97980.97490.95500.97750.56760.88950.7920果穗质量/g0.94550.95950.95960.95550.94880.95680.57390.90520.8070百粒质量/g0.93820.95550.95570.95160.94850.95290.57540.90810.8112果梗比(%)0.96690.98540.98420.97920.95490.98040.56860.88780.79

24、08出汁率(%)0.96700.98500.98390.97950.95590.98050.56730.88690.7900果皮质量（g）0.92280.94220.94060.93900.94680.94050.58340.92560.8226L*0.95500.97460.97300.96830.95630.97080.56860.89460.7966a*(+红；-绿)0.88890.90940.90800.90420.90680.90680.54650.89680.7899b*（+黄;-蓝）0.87420.85850.85990.86100.82610.85990.51440.76280

25、.6909白葡萄酒白葡萄单宁(mmol/L)总酚(mmol/L)酒总黄酮(mmol/L)白藜芦醇(mg/L)DPPH半抑制体积（IV50） 1/IV50(uL)L*(D65)a*(D65)b*(D65)氨基酸总量mg/100gfw0.98630.98590.77340.97150.98330.98350.98310.9859蛋白质mg/100g0.99150.99280.76950.98200.98390.99760.98920.9826VC含量（mg/L)0.97720.97720.76110.97500.96700.98120.97480.9651花色苷mg/l00g0.96930.969

26、20.77710.96760.96850.97210.97360.9715酒石酸0.98910.98830.77010.97630.98360.99050.98990.9858苹果酸0.98520.98590.76740.97400.97850.98590.98150.9774柠檬酸0.92280.92300.76650.92300.92130.92310.92360.9271多酚氧化酶活力E（A/min*g）0.98300.98210.76460.97890.97270.98720.98070.9709褐变度A/g*g*min0.97250.97230.75700.96860.96510.9

27、7600.97090.9658DPPH自由基1/IC50（g/L）0.99120.99220.76780.98120.98350.99410.98830.9808总酚(mmol/kg)0.98890.99040.76760.97540.98570.98810.98160.9801单宁(mmol/kg)0.98970.98930.76680.97710.98420.98770.98470.9812葡萄总黄酮（mmol/kg）0.98510.98590.76620.97170.98260.98250.97570.9739白藜芦醇(mg/kg)0.85470.85540.74830.84800.85

28、960.85200.85490.8623黄酮醇(mg/kg)0.85750.85750.83880.85680.86170.85610.85900.8633总糖g/L0.99260.99320.77090.98080.98550.99620.99140.9849还原糖g/L0.99170.99230.77100.98170.98660.99420.99150.9866可溶性固形物g/l0.99280.99360.76980.98150.98450.99780.99120.9834PH值0.99220.99370.77040.98190.98530.99720.99160.9848可滴定酸（g/

29、l）0.98710.98740.76640.98270.97710.99180.98380.9748固酸比0.98250.98400.77240.97390.98080.98310.98580.9876干物质含量g/100g0.99200.99340.77040.98150.98600.99590.99190.9858果穗质量/g0.98590.98570.76580.98180.97670.99010.98240.9742百粒质量/g0.97550.97520.75940.97450.96490.97920.97250.9629果梗比(%)0.98980.98930.76900.98170.

30、98190.99470.99050.9809出汁率(%)0.99130.99290.76990.98290.98340.99840.99020.9817果皮质量（g）0.98990.98970.76740.98350.98010.99350.98580.9777L*0.99170.99310.77030.98180.98550.99730.99140.9840a*(+红；-绿)0.96380.96490.76190.96000.96090.96650.96320.9602b*(+黄;-蓝)0.98710.98730.77130.97850.98360.99090.99010.9856注： R矩

31、阵中各数值一一对应于表中数据。分析表中数据可得如下结论（以红葡萄和红葡萄酒为例）：筛选出值在0.9900以上的值，值越大，关联度越大。分析发现红葡萄中花色苷，苹果酸，褐变度对红葡萄酒的关联度分别为0.9970,0.9926，0.9923，说明红葡萄酒中花色苷的含量取决于红葡萄中花色苷，苹果酸，褐变度的含量；同理，总酚和单宁对红葡萄酒中单宁的关联度值分别为0.9927,0.9916，说明红葡萄酒中单宁含量取决于红葡萄中总酚和单宁的含量。红葡萄酒中总酚含量取决于红葡萄中DPPH自由基，总酚，单宁的含量；红葡萄酒中酒总黄酮的含量取决于红葡萄中总酚和单宁的含量；红葡萄酒中DPPH半抑制体积的含量取决于

32、红葡萄中总酚和单宁。红葡萄酒中白蔾芦醇的含量并非取决于红葡萄中某几种物质的含量，只是有一定的关系，其含量可能取决于酿造过程中某种因素。红葡萄酒中L*(D65)，a*(D65)，b*(D65)的含量与红葡萄中各理化指标的含量相关度很小，甚至没关系，这说明这几种物质含量取决于其他因素。同理可以分析出白葡萄酒中各理化指标的含量是有什么因子决定的。六模型四的建立与求解6.1 问题四的分析葡萄酒表现出一定的品质特征是由于葡萄酒本身成分及组成的结果。因此，我们想到了用聚类法。通过利用葡萄酒的理化指标和葡萄酒质量指标分别对葡萄酒进行分类，分类后就便于我们分析葡萄酒理化指标和葡萄酒质量之间的关系。6.2 模型

33、四的建立与求解根据上面的分析我们建立模型四即聚类法模型：系统聚类法是聚类分析方法中最常用的一种方法。它的优点在于可以指出由粗到细的多种分类情况，典型的系统聚类结果可由一个聚类图展示出来。 具体步骤如下：1）计算n 个样本点两两之间的距离 ，记为矩阵 ；2）首先构造n 个类，每一个类中只包含一个样本点，每一类的平台高度均为零； 3）合并距离最近的两类为新类，并且以这两类间的距离值作为聚类图中的平台高度；4）计算新类与当前各类的距离，若类的个数已经等于1，转入步骤5），否则，回到步骤3）； 5 ）画聚类图； 6 ）决定类的个数和类。 显而易见，这种系统归类过程与计算类和类之间的距离有关，采用不同的

34、距离定义，有可能得出不同的聚类结果。下面是我们采用聚类分析产生的一些结果：红葡萄酒理化性质的聚类分析红葡萄酒质量的聚类分析白葡萄酒的理化性质聚类分析白葡萄酒质量的聚类分析6.3结果分析从计算结果当中我们可以发现许多样品同时在葡萄酒的理化指标和在葡萄酒的质量指标都是分在临近一组的，那么我们就可以缩小我们的搜索范围，对这两种或几种葡萄酒的理化指标和葡萄酒的质量指标进行判断，这样就减少了对比工作的盲目性，比如红葡萄品种中的品种7,12,18就是这样一个例子，那么我们就可以着重研究这三种样品的一些特征，就可以找到它们的进一步联系。下面是我们做的一个分析：我们列出了关于品种18,7,12和品种1的葡萄酒

35、得分的项目比较，代表就该指标而言，分组近的差异小，分组远的差异大样品18样品7样品12样品1澄清度 3.63.53.53.1色调4.245.27.6纯正度3.33.73.73.6浓度4.85.24.95.5质量10.611.211.210.8纯正度3.83.743.8浓度5.35.465.7持久性5.95.75.76质量15.114.515.413.6整体8.88.48.78.4同时我们也给出葡萄酒的理化指标的比较品种7品种12品种18品种1花色苷90.82478384.0785671.90173973.87831单宁4.01389076.4579224.44719511.029526总酚3.

36、85806594.8169514.3529749.9825553酒总黄酮2.76534232.9862073.5306648.019868白藜芦醇1.8204592.1628451.7395972.4382反式白藜芦醇苷0.7473060.5309820.7099650.780381顺式白藜芦醇苷0.9947491.5463910.7934080.529739反式白藜芦醇0.01162000.026544顺式白藜芦醇0.0667840.0854720.2362241.101536DPPH半抑制体积0.11196760.1409650.1382770.3584835L*(D65)5953.685

37、8.182.48a*(D65)48.820 50.450 54.720 16.100 b*(D65)32.070 30.590 22.550 3.880 H(D65)1.297 1.442 2.288 4.069 C(D65)58.411 59.000 59.184 16.561 通过对不同聚类的葡萄酒的理化指标和对葡萄酒的质量分析，就可以粗略得到葡萄酒哪些品质指标是由受哪些理化指标影响的。如从上面我们就可以知道酒的澄清度，色调，口感质量大致是由，花色苷，单宁，总酚，酒总黄酮，顺式白藜芦醇等引起的，这就缩小了收索范围，同时也证明了我们题目当中所给问题。为了说明这不是巧合，我们抽取了白葡萄品种7

38、，品种12和品种18进行比较，结果如下，品种7品种12品种8单宁1.37402892.30737941.3302116总酚1.201661.99815291.3434306酒总黄酮3.93130261.49151792.8783429白藜芦醇0.3711270.4334840.421071反式白藜芦醇苷0.091 0.010 0.032 顺式白藜芦醇苷0.281 0.424 0.321 反式白藜芦醇0.000 0.000 0.068 顺式白藜芦醇0.000 0.000 0.000 DPPH半抑制体积0.05218420.08170590.0384855L*(D65)101.860 101.920 102.120 a*(D65)(0.260)(0.600)(0.420)b*(D65)2.263.041.84H(D65)1.1118820.3698838-0.344131C(D65)2.27490663.09864491.8873262 从上面的数据可以看出不在同一组且相距很远的葡萄酒，理化指标差异很大，因此就验证了聚类分组的有效性。而我们可以看到，在以理化指标的聚类下，同组是由于其理化指标相近。在以品质指标的