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1、精选文档精选文档PAGEPAGE36精选文档PAGE大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续.数列函数:种类:(1)数列:*anf(n);*an1f(an)初等函数:(3)分段函数:*F(x)f1(x)xx0f(x)xx0,x;*F(x)a,;*f2(x)x0 xx0(4)复合(含f)函数:yf(u),u(x)(5)隐式(方程):F(x,y)0 xx(t)参式(数一,二):yy(t)(7)变限积分函数:F(x)xf(x,t)dta(8)级数和函数(数一,三):S(x)anxn,xn0特色(几何):(1)单一性与有界性(鉴别);(f(x)单一x0,(xx0)(f(x)f(x0)定号)奇偶性

2、与周期性(应用).3.反函数与直接函数:yf(x)xf1(y)yf1(x)二.极限性质:1.种类:*liman;*limf(x)(含x);*limf(x)(含xx0)nxxx0无量小与无量大(注:无量量):3.不决型:0,1,0,00,00性质:*有界性,*保号性,*合并性.常用结论:111annn1,an(a0)1,(anbncn)nmax(a,b,c),a00n!11(xlimxxlimxnlimlnnx0),1,x0,0,xx0 xexxlimxlnnx0,ex0,xx0 x四.必备公式:1.等价无量小:当u(x)0时,sinu(x):u(x);tanu(x):u(x);1cosu(x)

3、:1u2(x);2eu(x)1:u(x);ln(1u(x):u(x);(1u(x)1:u(x);arcsinu(x):u(x);arctanu(x):u(x)泰勒公式:(1)ex1x1x2o(x2);2!(2)ln(1x)x1x2o(x2);2(3)sinxx1x3o(x4);3!(4)cosx11x21x4o(x5);2!4!(1)x2(5)(1x)1xo(x2).2!五.惯例方法:前提:(1)正确判断0,1,M(其余如:,0,00,0);(2)变量代换(如:1t)0 x抓大弃小(),2.无量小与有界量乘积(M)(注:sin11,x)x1办理(其余如:00,0)4.左右极限(包含x):1(x

4、0);1(1)(2)ex(x);ex(x0);(3)分段函数:x,x,maxf(x)x无量小等价替代(因式中的无量小)(注:非零因子)洛必达法例先”办理”,后法例(0最后方法);(注意对照:limxlnx与limxlnx)0 x11xx01x211111(2)幂指型办理:u(x)v(x)ev(x)lnu(x)(如:ex1exex(ex1x1)含变限积分;不可以用与不便用泰勒公式(皮亚诺余项):办理和式中的无量小8.极限函数:f(x)limF(x,n)(分段函数)n六.特别手段1.收敛准则:(1)anf(n)limf(x)x(2)双边夹:*bnancn?,*bn,cna?(3)单边挤:an1f(

5、an)*a2a1?2.导数定义(洛必达?):Vff(x0)limVx0Vx3.积分和:112)Lnlimf()f(f()nnnnn4.中值定理:limf(xa)f(x)alimxx*anM?*f(x)0?1f(x)dx,0f()级数和(数一三):(1)an收敛liman0,(如lim2nn!(2)lim(a1a2Lan)an,n)n1nnnnn1(3)an与(anan1)同敛散n1七.常有应用:1.无量小比较(等价,阶):*f(x):kxn,(x0)?(1)f(0)f(0)Lf(n1)(0)0,f(n)(0)af(x)axn(xn):axnn!n!xxktndt(2)f(t)dt:00渐近线(

6、含斜):(1)alimf(x),blimf(x)axf(x):axbxxx1(2)f(x)axb0),(x3.连续性:(1)中断点鉴别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数,f(x)连续性)八.a,b上连续函数性质31.连通性:f(a,b)m,M(注:01,“均匀”值:f(a)(1)f(b)f(x0)介值定理:(附:达布定理)(1)零点存在定理:f(a)f(b)0f(x0)0(根的个数);(2)f(x)0(x0.f(x)dx)a第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一.基本观点:1.差商与导数:f(x)lim0f(xVx)f(x);f(x0)limf(x)f(x0)VxVxxx0 xx

7、0(1)f(0)limf(x)f(0)(注:limf(x)A(f连续)f(0)0,f(0)A)x0 xx0 x左右导:f(x0),f(x0);(3)可导与连续;(在x0处,x连续不行导;xx可导)2.微分与导数:Vff(xVx)f(x)f(x)Vxo(Vx)dff(x)dx(1)可微可导;(2)比较f,df与0的大小比较(图示);.求导准备:基本初等函数求导公式;(注:(f(x)2.法例:(1)四则运算;(2)复合法例;dx1(3)反函数ydy三.各种求导(方法步骤):1.定义导:(1)f(a)与f(x)xa;(2)分段函数左右导;(3)limf(xh)f(xh)h0h(注:f(x)F(x)x

8、x0,求:f(x0),f(x)及f(x)的连续性),xx0初等导(公式加法例):ufg(x),求:u(x0)(图形题);(2)F(x)xxbbf(t)dt,求:F(x)(注:(f(x,t)dt),(f(x,t)dt),(f(t)dt)aaaa(3)yf1(x),xx0,求f(x0),f(x0)及f(x0)(待定系数)f2(x)xx043.隐式(f(x,y)0)导:dy,d2ydxdx2存在定理;微分法(一阶微分的形式不变性).对数求导法.x(t)dyd2y参式导(数一,二):yy(t),求:dx,dx2高阶导f(n)(x)公式:ax(n)nax(1(n)bnn!n1;(e)ae;)(abx)a

9、bx(sinax)(n)ansin(axn);(cosax)(n)ancos(axn)22(uv)(n)u(n)vCn1u(n1)vCn2u(n2)vL注:f(n)(0)与泰勒展式:f(x)aaxax2LaxnLanf(n)(0)012nn!四.各种应用:1.斜率与切线(法线);(差别:yf(x)上点M0和过点M0的切线)2.物理:(相对)变化率速度;3.曲率(数一二):f(x)(曲率半径,曲率中心,曲率圆)(1f2(x)3边沿与弹性(数三):(附:需求,利润,成本,利润).单一性与极值(必求导)鉴别(驻点f(x0)0):(1)f(x)0f(x)Z;f(x)0f(x);分段函数的单一性(3)f

10、(x)0零点独一;f(x)0驻点独一(必为极值,最值).极值点:(1)表格(f(x)变号);(由limf(x)0,limf(x)0,limf(x)xx20 x0的特色)xx0 xx0 xx0 x(2)二阶导(f(x0)0)注(1)f与f,f的般配(f图形中包含的信息);5(2)实例:由f(x)(x)f(x)g(x)确立点“xx0”的特色.(3)闭域上最值(应用例:与定积分几何应用相联合,求最优)不等式证明(f(x)0)(1)差别:*单变量与双变量?*xa,b与xa,),x(,)?(2)种类:*f0,f(a)0;*f0,f(b)0*f0,f(a),f(b)0;*f(x)0,f(x0)0,f(x0

11、)0(3)注意:单一性端点值极值凹凸性.(如:f(x)Mfmax(x)M)函数的零点个数:单一介值.凹凸与拐点(必求导!):y表格;(f(x0)0)2.应用:(1)泰勒预计;(2)f单一;(3)凹凸.七.罗尔定理与协助函数:(注:最值点必为驻点)1.结论:F(b)F(a)F()f()02.协助函数结构实例:(1)f()F(x)xf(t)dta(2)f()g()f()g()0F(x)f(x)g(x)(3)f()g()f()g()0F(x)f(x)g(x)(4)f()()f()0F(x)e(x)dxf(x);3.f(n)()0f(x)有n1个零点f(n1)(x)有2个零点4.特例:证明f(n)()

12、a的惯例方法:令F(x)f(x)Pn(x)有n1个零点(Pn(x)待定)注:含1,2时,分家!(柯西定理)6.附(达布定理):f(x)在a,b可导,cf(a),f(b),a,b,使:f()c八.拉格朗日中值定理1.结论:f(b)f(a)f()(ba);(a)(b),()0)62.预计:Vff()Vx九.泰勒公式(连结f,f,f之间的桥梁)1.结论:f(x)f(x)f(x)(xx)1f(x)(xx)21f()(xx)3;0002!003!0应用:在已知f(a)或f(b)值时进行积分预计.积分中值定理(附:广义):注:有定积分(不含变限)条件时使用第三讲:一元积分学.基本观点:原函数F(x):(1

13、)F(x)f(x);(2)f(x)dxdF(x);(3)f(x)dxF(x)cx注(1)F(x)f(t)dt(连续不必定可导);a(2)xxf(x)(f(x)连续)(xt)f(t)dtf(t)dtaa2.不定积分性质:(1)(f(x)dx)f(x);d(f(x)dx)f(x)dx(2)f(x)dxf(x)c;df(x)f(x)c.不定积分惯例方法熟习基本积分公式基本方法:拆(线性性)(k1f(x)k2g(x)dxk1f(x)dxk2g(x)dx凑微法(基础):要求巧,简,活(1sin2xcos2x)如:dx1d(axb),xdx1dx2,dxdlnx,dx2dxa2xxxdxd1x2,(1ln

14、x)dxd(xlnx)x2变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):xsint,axbt,1t,ex1tx(2)作用与引伸(化简):x21xt7分部积分(巧用):(1)x含需求导的被积函数(如lnx,arctanx,f(t)dt);a(2)“反对幂三指”:xneaxdx,xnlnxdx,(3)特别:xf(x)dx(*已知f(x)的原函数为F(x);*已知f(x)F(x)a1sinxb1cosxkxv(x)6.特例:(1)dx;(2)p(x)edx,p(x)sinaxdx迅速法;(3)undxasinxbcosx(x).定积分:观点性质:积分和式(可积的必需条件:有界,充分条件:连续)

15、几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*ax2dx(a0)a2;bax*(x08abM(ba),bb(3)附:f(x)dxf(x)g(x)dxMaaa(4)定积分与变限积分,失常积分的差别联系与重视b)dx02g(x)dx)2:(x)xf(t)dt的办理(要点)变限积分a(1)f可积连续,f连续可导(2)(xf(x);xt)f(t)dt)xxf(x)dt(xa)f(x)f(t)dt)(xf(t)dt;aaaa(3)由函数F(x)xf(t)dt参加的求导,极限,极值,积分(方程)问题aNL公式:bF(b)F(a)(F(x)在a,b上一定连续!)3.f(x)dxa注:(1)分段积分,对称性(奇

16、偶),周期性(2)有理式,三角式,根式bf(t)dt的方程.(3)含a4.变量代换:bf(x)dxf(u(t)u(t)dtaaf(x)dxaat),(1)f(ax)dx(x00aaa41(2)f(x)dxf(x)dx(xt)f(x)f(x)dx(如:dx)aa041sinx(3)In2sinnxdxn1In2,0n8(4)2f(sinx)dx2f(cosx)dx;f(sinx)dx22f(sinx)dx,0000(5)xf(sinx)dx2f(sinx)dx,005.分部积分(1)准备时“凑常数”xb(2)已知f(x)或f(x)时,求f(x)dxaa附:三角函数系的正交性:2220sinnxd

17、xcosnxdxsinnxcosmxdx00022m)0sinnxsinmxdxcosnxcosmxdx(n0022nxdx2sincos2nxdx00四.失常积分:1.种类:(1)f(x)dx,af(x)dx,f(x)dx(f(x)连续)abf(x)dx:(f(x)在xa,xb,xc(acb)处为无量中断)(2)a敛散;3.计算:积分法NL公式极限(可换元与分部)4.特例:1dx;11dx(1)(2)xp1xp0.应用:(柱体侧面积除外)面积,(1)Sbf(x)g(x)dx;(2)Sd1(y)dy;afcS1r2()d;(4)侧面积:Sb(3)2f(x)1f2(x)dx2a体积:b2(x)g

18、2(x)dx;d1(y)2dy2b(1)Vxf(2)Vyfxf(x)dxacaVxx0与Vyy0弧长:ds(dx)2(dy)2(1)yf(x),xa,bsb2(x)dx1faxx(t)t2x2(t)y2(t)dt(2),tt1,t2syy(t)t19(3)rr(),:sr2()r2()d物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,均匀值(中值定理):(1)fa,b1bbaf(x)dx;axTf(t)dtf(t)dt0(2)f0)lim0,(f以T为周期:f)xxT第四讲:微分方程.基本观点知识:通解,初值问题与特解(注:应用题中的隐含条件)变换方程:(1)令xx(t)yDy(如欧拉方程)(2)令u

19、u(x,y)yy(x,u)y(如伯努利方程)成立方程(应用题)的能力.一阶方程:1.形式:(1)yf(x,y);(2)M(x,y)dxN(x,y)dy0;(3)y(a)b2.变量分别型:yf(x)g(y)(1)dyf(x)dxG(y)F(x)C解法:g(y)(2)zf(x,y);“偏”微分方程:x3.一阶线性(要点):yp(x)yq(x)x1xp(x)dxM(x)q(x)dxy0(1)解法(积分因子法):M(x)ex0yx0M(x)(2)变化:xp(y)xq(y);(3)推行:伯努利(数一)yp(x)yq(x)y4.齐次方程:y(y)x(1)yuxu(u),dudx解法:u(u)uxx10dy

20、a1xb1yc1(2)特例:a2xb2yc2dx5.全微分方程(数一):M(x,y)dxN(x,y)dy0且NMxydUMdxNdyUC6.一阶差分方程(数三):yx1ayx0yxcaxbxp(x)yx*xnQ(x)bx.二阶降阶方程yf(x):yF(x)c1xc22.yf(x,y):令yp(x)ydpf(x,p)dx3.yf(y,y):令yp(y)ypdpf(y,p)dy四.高阶线性方程:a(x)yb(x)yc(x)yf(x)通解结构:(1)齐次解:y0(x)c1y1(x)c2y2(x)(2)非齐次特解:y(x)c1y1(x)c2y2(x)y*(x)常系数方程:aybycyf(x)特色方程与

21、特色根:a2bc0(2)非齐次特解形式确立:待定系数;(附:f(x)keax的算子法)由已知解反求方程.3.欧拉方程(数一):ax2ybxycyf(x),令xetx2yD(D1)y,xyDy.应用(注意初始条件):几何应用(斜率,弧长,曲率,面积,体积);注:切线和法线的截距积分等式变方程(含变限积分);x可设f(x)dxF(x),F(a)0a导数定义立方程:含双变量条件f(xy)L的方程114.变化率(速度)5.dvd2xFmadt2dtQP6.路径没关得方程(数一):xy级数与方程:(1)幂级数乞降;(2)方程的幂级数解法:ya0a1xa2x2L,a0y(0),a1y(0)弹性问题(数三)

22、第五讲:多元微分与二重积分.二元微分学观点极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续(必需条件与充分条件),(1)ff(x0Vx,y0Vy),xff(x0Vx,y0),yff(x0,y0Vy)(2)limf,fxlimxffylimyf,yx(3)fxVxfyVydf,limfdf(鉴别可微性)(Vx)2(Vy)2注:(0,0)点处的偏导数与全微分的极限制义:fx(0,0)limf(x,0)f(0,0),fy(0,0)limf(0,y)f(0,0)x0 xy0y特例:xy(0,0)(1)f(x,y)x2y2(0,0)点处可导不连续;:0,(0,0)xy(0,0)f(x,y)x2y2(0,0

23、)点处连续可导不行微;(2):0,(0,0)二.偏导数与全微分的计算:1.显函数一,二阶偏导:zf(x,y)注:(1)xy型;(2)zx(x0,y0);(3)含变限积分2.复合函数的一,二阶偏导(要点):zfu(x,y),v(x,y)12娴熟掌握记号f1,f2,f11,f12,f22的正确使用3.隐函数(由方程或方程组确立):(1)形式:*F(x,y,z)0;F(x,y,z)0*(存在定理)G(x,y,z)0(2)微分法(娴熟掌握一阶微分的形式不变性):FxdxFydyFzdz0(要求:二阶导)注:(x0,y0)与z0的实时代入会变换方程.二元极值(定义?);二元极值(显式或隐式):必需条件(

24、驻点);充分条件(鉴别)条件极值(拉格朗日乘数法)(注:应用)(1)目标函数与拘束条件:zf(x,y)(x,y)0,(或:多条件)(2)求解步骤:L(x,y,)f(x,y)(x,y),求驻点即可.有界闭域上最值(要点).(1)zf(x,y)MD(x,y)(x,y)0实例:距离问题.二重积分计算:观点与性质(“积”前工作):d,D(2)对称性(娴熟掌握):*D域轴对称;*f奇偶对称;*字母轮换对称;*重心坐标;(3)“分块”积分:*DD1UD2;*f(x,y)分片定义;*f(x,y)奇偶计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(变换):以“D”为主;交换积分序次(娴熟掌握).极坐标使用(变

25、换):f(x2y2)附:D:(xa)2(yb)2R2;D:x2y21;a2b2双纽线(x2y2)2a2(x2y2)D:xy14.特例:13(1)单变量:f(x)或f(y)(2)利用重心求积分:要求:题型(k1xk2y)dxdy,且已知D的面积SD与重心(x,y)D无界域上的失常二重积分(数三)五:一类积分的应用(f(M)d:D;L;):1.“尺寸”:(1)dSD;(2)曲面面积(除柱体侧面);D质量,重心(形心),转动惯量;为三重积分,格林公式,曲面投影作准备.第六讲:无量级数(数一,三)一.级数观点1.定义:(1)an,(2)Sna1a2Lan;(3)limSn(如n)n1(n1)!n注:(

26、1)liman;(2)qn(或1);(3)“伸缩”级数:(an1an)收敛an收敛.ann2.性质:(1)收敛的必需条件:liman0;n加括号后发散,则原级数必发散(交织级数的议论);(3)s2ns,an0s2n1ssns;二.正项级数1.正项级数:(1)定义:an0;(2)特色:SnZ;(3)收敛SnM(有界)1lnkn12.标准级数:(1)np,(2)n,(3)nlnkn3.审敛方法:(注:2aba2b2,alnbblna)k1P(n)(1)比较法(原理):an:(预计),如nf(x)dx;npQ(n)0(2)比值与根值:*limun1*limnun(应用:幂级数收敛半径计算)unnn三

27、.交织级数(含一般项):(1)n1an(an0)1.“审”前观察:(1)an0?(2)an0?;(3)绝对(条件)收敛?14注:若liman11,则u发散nannn11n11n112.标准级数:(1)(1)n;(2)(1)np;(3)(1)lnpn莱布尼兹审敛法(收敛?)(1)前提:an发散;(2)条件:an,an0;(3)结论:(1)n1a条件收敛.n增补方法:(1)加括号后发散,则原级数必发散;(2)s2ns,an0s2n1ssns.5.注意事项:对照a;(1)na;a;a2之间的敛散关系nnnn四.幂级数:1.常有形式:(1)anxn,(2)an(xx0)n,(3)an(xx0)2n阿贝

28、尔定理:(1)结论:xx*敛Rx*x0;xx*散Rx*x0(2)注:当xx*条件收敛时Rxx*收敛半径,区间,收敛域(乞降前的准备)注(1)nanxn,anxn与anxn同收敛半径n(2)anxn与an(xx0)2n之间的变换幂级数睁开法:前提:熟记公式(双向,注明敛域)ex1x1x21x3L,R2!3!(ex(exsinx1xln(1ln(1ex)11x21x4L,R2!4!ex)x1x31x5L,R3!5!x1x31x5L,Rcosx11x21x4L,R;3!5!12!4!1xx2L,x(;xx2L,x(1,1)1x21x31xx)xL,x(1,123x)x1x21x3L,x1,1)231

29、5arctanxx1x31x5L,x1,1351(2)分解:f(x)g(x)h(x)(注:中心挪动)(特别:bxax2(3)观察导函数:g(x)f(x)f(x)xg(x)dxf(0)0g(x)xf(x)g(x)(4)观察原函数:f(x)dx0幂级数乞降法(注:*先求收敛域,*变量替代):(1)S(x),S(x)L,(注意首项变化)(3)S(x)(),S(x)S(x)的微分方程(5)应用:ananxnS(x)anS(1).方程的幂级数解法经济应用(数三):复利:A(1p)n;(2)现值:A(1p)n.傅里叶级数(数一):(T2)1.a0ancosnxbnsinnx傅氏级数(三角级数):S(x)2

30、n12.Dirichlet充分条件(收敛定理):(1)由f(x)S(x)(和函数)c,xx0)(2)S(x)1f(x)f(x)2an11f(x)cosnxdx3.系数公式:f(x)dx,na0bn1f(x)sinnxdx4.题型:(注:f(x)S(x),x?)(1)T2且f(x)L,x(,(分段表示)1,2,3,L16(2)x(,或x0,2x0,正弦或余弦*(4)x0,(T)*5.T2l6.附产品:f(x)a0ancosnxbnsinnxS(x)2n1a0ancosnx0bnsinnx01S(x0)f(x0)f(x0)2n12第七讲:向量,偏导应用与方导游(数一)一.向量基本运算rrvv1.k

31、1ak2b;(平行ba)ruuv1v2.a0,cos,cos)a;(单位向量(方向余弦)va(cosarrvvvvvvvvvvv3.ab;0;ab)ab;(投影:(b)avv垂直:abab夹角:S(a,b)vvaabrrvvvvv面积:SYvv4.ab;(法向:naba,b;ab)二.平面与直线1.平面vM0(x0,y0,z0)(1)特色(基本量):n(A,B,C)(2)方程(点法式):A(xx0)B(yy0)C(zz0)0AxByCzD0(3)其余:*截距式xyz1;*三点式abc2.直线Lv(1)特色(基本量):M0(x0,y0,z0)s(m,n,p)xx0yy0zz0(2)方程(点向式)

32、:L:npm(3)一般方程(交面式):A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD2017xa1(a2a1)t(4)其余:*二点式;*参数式;(附:线段AB的参数表示:yb1(b2b1)t,t0,1)zc1(c2c1)t适用方法:(1)平面束方程:A1xB1yC1zD1(A2xB2yC2zD2)0Ax0By0Cz0D(2)距离公式:如点M0(x0,y0)到平面的距离d对称问题;投影问题.曲面与空间曲线(准备)曲面A2B2C2(1)形式:F(x,y,z)0或zf(x,y);(注:柱面f(x,y)0)vv(2)法向n(Fx,Fy,Fz)(cos,cos,cos)(或n(zx,zy1)曲线xx(t)

33、0(1):yF(x,y,z)形式y(t),或;zG(x,y,z)0z(t)rvuvuuv(2)切向:sx(t),y(t),z(t)(或sn1n2)应用交线,投影柱面与投影曲线;旋转面计算:参式曲线绕坐标轴旋转;锥面计算.常用二次曲面圆柱面:x2y2R22.球面:x2y2z2R2变形:x2y2R2z2,zR2(x2y2),x2y2z22az,(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2183.锥面:zx2y2变形:x2y2z2,zax2y2抛物面:zx2y2,变形:x2y2z,za(x2y2)5.双曲面:x2y2z216.马鞍面:zx2y2,或zxy五.偏导几何应用1.曲面vv(1)法向:F(x,y

34、,z)0(fx,fy1)n(Fx,Fy,Fz),注:zf(x,y)n切平面与法线:曲线v(1)切向:xx(t),yy(t),zz(t)s(x,y,z)(2)切线与法平面F0vuvuuv3.综合:,sn1n2G0六.方导游与梯度(要点)v方导游(l方向斜率):v(1)定义(条件):l(m,n,p)(cos,cos,cos)(2)计算(充分条件:可微):uuycosuzcosuxcoslurz附:zf(x,y),l0cos,sinfysinrfxcosl2f22fxysincosfyysin2(3)附:fxxcosl2ur2.梯度(获得最大斜率值的方向)G:19(1)计算:uv(fx,fy);(a

35、)zf(x,y)Ggradz(b)uf(x,y,z)uvgradu(ux,uy,uz)G(2)结论urur(a)uGl0;lurv(b)取lG为最大变化率方向;ur(c)G(M0)为最大方导游数值.第八讲:三重积分与线面积分(数一).三重积分(fdV)域的特色(不波及复杂空间域):对称性(要点):含:对于坐标面;对于变量;对于重心(2)投影法:Dxy(x,y)x2y2R2z1(x,y)zz2(x,y)(3)截面法:D(z)(x,y)x2y2R2(z)azb其余:长方体,四周体,椭球f的特色:(1)单变量f(z),(2)f(x2y2),(3)f(x2y2z2),(4)faxbyczd选择最合适方

36、法:(1)“积”前:*dv;*利用对称性(要点)(2)截面法(旋转体):Ibdzfdxdy(细腰或中空,f(z),f(x2y2)aD(z)(3)投影法(直柱体):Idxdyz2(x,y)fdzDxyz1(x,y)(4)球坐标(球或锥体):I2sindR)2d,df(000(5)重心法(faxbyczd):I(axbyczd)V应用问题:同第一类积分:质量,质心,转动惯量,引力Gauss公式20二.第一类线积分(fds)L“积”前准备:(1)dsL;(2)对称性;(3)代入“L”表达式L计算公式:增补说明:xx(t)ta,bfdsf(x(t),y(t)x2(t)y2(t)dtbyy(t)La(1

37、)重心法:(axbyc)ds(axbyc)L;Luvvuvv(2)与第二类交换:AdsAdrLL应用范围第一类积分(2)柱体侧面积zx,ydsL.第一类面积分(fdS)“积”前工作(要点):(1)dS;(代入:F(x,y,z)0)对称性(如:字母轮换,重心)分片计算公式:(1)zz(x,y),(x,y)DxyIf(x,y,z(x,y)1z2xz2ydxdyDxy与第二类交换:第二类曲线积分(1):uvvuvuvAndSAdS(,)dx(,)dy(此中L有向)PxyQxyL1.直接计算:xx(t),t:t1t2It2Qy(t)dtyy(t)Px(t)t1常有(1)水平线与垂直线;(2)x2y21

38、2.Green公式:(1)?PdxQdy(QP)dxdy;LDxy(2):*PQ换路径;*PQ围路径L(AB)yyyy21(3)?(QxPy但D内有奇点)蜒(变形)LLL*PQ3.推行(路径没关性):yy(1)PdxQdydu(微分方程)BuA(道路变形原理)L(AB)(2)P(x,y)dxQ(x,y)dy与路径没关(f待定):微分方程.L4.应用vvuvvvuv功(环流量):IFdr(有向,F(P,Q,R),drds(dx,dy,dz)五.第二类曲面积分:1.定义:PdydzQdzdxRdxdy,或R(x,y,z)dxdy(此中含侧)计算:(1)定向投影(单项):R(x,y,z)dxdy,此

39、中:zz(x,y)(特别:水平面);注:垂直侧面,双层分开vzx,zy,1)(2)合一投影(多项,单层):n(PdydzQdzdxRdxdyP(zx)Q(zy)Rdxdy(3)化第一类(不投影):vn(cos,cos,cos)PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dSGauss公式及其应用:(1)uvPQR散度计算:divAxyz(2)Gauss公式:关闭外侧,内无奇点uvPdydzQdzdxRdxdydivAdv(3)注:*增补“盖”平面:0;*关闭曲面变形(含奇点)4.通量与积分:uvvuvuvvuv(dydz,dzdx,dxdy)AdS(有向n,AP,Q,R,dSnd

40、S六:第二类曲线积分(2):P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz1.参数式曲线:直接计算(代入)22uvv可任选路径;(2)功(环流量):Iuvv注(1)当rotA0时,Fdr2.Stokes公式:(要求:为交面式(有向),所张曲面含侧)(1)旋度计算:uvuv(,)(P,Q,R)RAxyzF0vFx,Fy,Fz或Gx,Gy,Gz;(2)交面式(一般含平面)关闭曲线:0同侧法向nGuvvuvv(3)Stokes公式(选择):?Adr(A)ndS(a)化为PdydzQdzdxRdxdy;(b)化为R(x,y,z)dxdy;(c)化为fdS23高数要点知识总结1、基本初等函

41、数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(yax)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。3、无量小：高阶+低阶=低阶比如：limx2xlimx1x0 xx0 x4、两个重要极限：(1)limsinx11x1(2)lim1xxelim1ex0 xx0 xxx0,f(x)0,g(x)f(x)g(x)limf(x)g(x)经验公式：当x，lim1exx0 xx01lim3xxe3比如：lim13xxex0 x05、可导必然连续，连续未必可导。比如：y|x|连续但不行导。6、导数的定义：limf(xx)f(x)f(x)lim

42、f(x)f(x0)fx0 x0 xxx0 xx0dfg(x)fg(x)?g(x)7、复合函数求导：dx112x2x1比如：yxx,y4x22xxxx8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dxx2y21比如：解：法(1),左右两边同时求导,2x2yy0yxy法(2),左右两边同时微分,2xdx2ydydyxdxy9、由参数方程所确立的函数求导：若yg(t)，则dydy/dtg(t)，其二阶导数：xh(t)dxdx/dth(t)d2yddy/dxd(dy/dx)dg(t)/h(t)dtdtdx2dxdx/dth(t)10、微分的近似计算：f(x0 x)f(x0)x?

43、f(x0)比如：计算sin312411、函数中断点的种类：(1)第一类：可去中断点和跳跃中断点；比如：ysinx（x=0是x函数可去中断点），ysgn(x)（x=0是函数的跳跃中断点）(2)第二类：振荡中断点和无量中断点；比如：11f(x)sin（x=0是函数的振荡中断点），yxx（x=0是函数的无量间断点）12、渐近线：水平渐近线：ylimf(x)cx铅直渐近线：若，limf(x)，则xa是铅直渐近线.xa斜渐近线：设斜渐近线为yaxb,即求alimf(x),blimf(x)axxxxx3x2x1比如：求函数yx21的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f(x0)=0，称x0是驻点。14、极值点：令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,),对于随意xu(x0,)，都有f(x)f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；不然，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。16、拐点的判断定理：令函数y=f(x)，若f(x0)=0，且x0；xx0时，f(x)0或xx0,f(x)x0时，f(x)0，称点(x0，f(x0)为f(x)的拐点。17、极值点的必需条件：令函数y=f