概率与统计(一)概率论的基本概念课件

1、第一章 概率论的基本概念第一节 样本空间、随机事件第二节 概率、古典概型第三节 条件概率、全概率公式第四节 独立性第一节 样本空间 随机事件在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果的现象称随机现象。1、随机试验概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门基础学科。上一页下一页返 回则把这一试验称为随机试验，常用E表示。对随机现象进行的观察或实验称为试验。（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验的所有可能结果。（3）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个结果。若一个试验具有下列三个特点：（1）在相同条件下可重复进行。上一页下一页返 回下面举一些随机试

2、验的例子.E1：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况.E2：掷两颗骰子，观察出现的点数.E3：在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿命.E4：城市某一交通路口，指定一小时内的汽车流量. E5：记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度. 上一页下一页返 回2、样本空间与随机事件随机事件（简称事件）：在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。通常用大写字母A、B,表示。基本结果：（1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本结果。（2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，每个基本结果称样本点。上一页下一页返 回表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生.3、事件之

3、间的关系及其运算事件A1，A2，An 的和记为 ,或A1 A2 An 表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事件为事件A与事件B的和（并）事件,或记为A+B.上一页下一页返 回表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B的积（交）事件，记为AB。积事件AB是由A与B的公共样本点所构成的集合。可列个事件A1 , A2 , , An 的积记为A1 A2 An 或A1A2 An ，也可简记为 。在可列无穷的场合，用 表示事件“A1、A2 、 诸事件同时发生。”上一页下一页返 回则称A和B互为对立事件，或称A与B互为逆事件。事件A的逆事件记为 , 表示“A不发生”这一事件。对于任意的事件A，

4、B只有如下分解：上一页下一页返 回ABBAA BBAAB BAA上一页下一页返 回事件的运算律（1）交换律：AB=AB，AB=BA（2）结合律（AB）C=A（BC）（3）分配律：A （BC）= （AB）（ A C ）（AB）C=A（BC）A（B C）=（AB）（AC）（4）德摩根律（De Morgan）：上一页下一页返 回第二节 概率、古典概型1、频率定义1.1: 在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发生了k次，则比值 称为事件A在n次试验中发生的频率，记为频率具有下列性质：(1)对于任一事件A，有 (2)上一页下一页返 回上一页下一页返 回定义1.2: 设事件A在n次重复

5、试验中发生了k次, n很大时,频率 稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为上一页下一页返 回定义1.32、概率的公理化定义上一页下一页返 回概率的性质：上一页下一页返 回上一页下一页返 回3、古典概型定义1.4： 设随机试验E满足如下条件:试验的样本空间只有有限个样本点，即(2) 每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为古典概型，也称为等可能概型。古典概型 中事件A的概率计算公式为上一页下一页返 回例1.5 将一枚硬币抛掷三次，求： （1） 恰有一次出现正面的概率； （2） 至少有一次出现正面的概率.上一页下一页返 回解 将一枚硬

6、币抛掷三次的样本空间=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同.（1） 设A表示“恰有一次出现正面”，则 A=HTT，THT，TTH，故有 P（A）=3/8.例1.9 12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：（1） 每班各分配到一名优秀生的概率； （2） 3名优秀生分配到同一个班的概率.上一页下一页返 回解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为 （1） 设A表示“每班各分配到一名优秀生”上一页下一页返 回（2） 设B表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到同一班共有3种分法，其

7、他9名学生分法总数为 ，故由乘法原理，B包含样本总数为 例1.11 两人相约在某天下午200300在预定地方见面，先到者要等候20分钟，过时则离去.如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面的概率. 上一页下一页返 回解 设x,y为两人到达预定地点的时刻，那么，两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内，这个正方形就是样本空间,而两人能会面的充要条件是x-y20，即x-y20且y-x20.第三节 条件概率、全概率公式1、条件概率的定义上一页下一页返 回考察有两个小孩的家庭，其样本空间为bb,bg,gb,gg（1）事件A=“家中至少有一个女孩“发生的概率？(2

8、)若已知事件B=“家中至少有一个男孩”，再求事件A发生的概率？ 上一页下一页返 回例1.13 某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的概率. 上一页下一页返 回解 ：设A表示“活到20岁以上”的事件，B表示“活到25岁以上”的事件，则有P（A）=0.7,P(B)=0.56，且B A.设P(A)0,则有 P(AB)=P(A)P(BA)同样,当P(B)0时,有： P(AB)=P(B)P(AB) 2、乘法定理乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:上一页下一页返 回例1.16 设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放

9、入k只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率. 上一页下一页返 回解 设Ri(i=1,2,3,4)表示第i次取到红球的事件， (i=1,2,3,4)表示第i次取到白球的事件.则有3、全概率公式与贝叶斯公式上一页下一页返 回定理1.2 全概率公式上一页下一页返 回定理1.3 贝叶斯公式上一页下一页返 回例1.19 设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现在从一批产品中检查出1个次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大？ 上一页下一页返 回解 设A1，A2

10、，A3表示产品来自甲、乙、丙三个车间，B表示产品为“次品”的事件，易知A1，A2，A3是样本空间的一个划分，且有 P（A1）=0.45，P(A2)=0.35，P(A3)=0.2，P(BA1)=0.04，P(BA2)=0.02，P(BA3)=0.05. 上一页下一页返 回由此可见，该次品由甲车间生产的可能性最大. 例1.20 由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.98，现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率. 上一页下

11、一页返 回解 设A表示“患有癌症”， 表示“没有癌症”，B表示“试验反应为阳性”，则由条件得 上一页下一页返 回由贝叶斯公式得 根据以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，试验反应为阳性的概率为95%，没有患癌症的被诊断者，试验反应为阴性的概率为98%，都叫做先验概率.而在得到试验结果反应为阳性，该被诊断者确有癌症重新加以修正的概率0.193叫做后验概率. 第四节 独立性1、事件的独立性定理1.4定义1.7上一页下一页返 回定理1.5定义1.8上一页下一页返 回定义1.9:例1.23 设高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门这种高射炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95%以上.解 设需要n门高射炮，A表示飞机被击中，Ai表示第i门高射炮击中飞机（i=1,2,n).则 上一页下一页返 回令1-（1-0.2）n0.95,得0.8n0.05，可得 n14.即至少需要14门高射炮才有95%以上把握击中飞机. 2、 伯努利试验上一页下一页返 回上一页下一页返 回例1.25 设在N件产品中有M件次品，现进行n次有放回的检查抽样，试求抽得k件次品的概率. 解 由条件，这是有放回抽样，可知每次试验是在相同条件下重复进行，故本题符合n重贝努里试验的条件，令A表示“抽到一件次品”的事件.则 P（A）=p=M/N, 上一页下一页返 回以Pn(k)表示n次有放回抽样中，