自动控制原理课程设计倒立摆系统控制器设计样本

1、一、引言支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。倒 立摆控制系统是一个复杂的、 不稳定的、 非线性系统，是进 行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。1.1问题的提出倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级 倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其 它驱动设备）。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许 多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动 问题以及跟踪问题等。经过对倒立摆的控制，用来检验新的控 制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，而且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。

2、当摆杆到达期望 的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。1.2倒立摆的控制方法倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信 号，与期望值进行比较后，经过控制算法得到控制量，再经数 模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机经过皮 带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上， 能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力 u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平 面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处 于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者 达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上 被往前或朝后拉动

3、。本次设计中我们采用其中的牛顿一欧拉方法建立直线型一级 倒立摆系统的数学模型，然后经过开环响应分析对该模型进行分 析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对 系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比 例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。2直线倒立摆数学模型的建立直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最 常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组 件，直线运动模块有一个自由度，小车能够沿导轨水平运动，在 小车上装载不同的摆体组件。系统建模能够分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是 经过在研究对象上加上一系列的研究

4、者事先确定的输入信号，激 励研究对象并经过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建 立起系统的输入一输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输 出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。鉴于小车倒立摆系统是不稳定系统，实验建模存在一定的困 难。因此，本文经过机理建模方法建立小车倒立摆的实际数学模型,可根据微分方程求解传递函数。2.1微分方程的推导（牛顿力学方法）微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直 线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。 做以下假设：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置摆杆与垂直向上方向的夹角摆杆与垂直向下方

5、向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向 下）图2-1直线一级倒立摆模型系统中小车和摆杆的受力分析图是图2。其中，N和P为小车与 摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量正方向。图2-2小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，能够得到以下方程:M X = F - 统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量正方向。图2-2小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，能够得到以下方程:M X = F - bx- N(2-1)由摆杆水平方向的受力进行分析

6、能够得到下面等式:d 2N = m d- (x +1 sin 0)(2-2)即:2 八N = m x + ml 0 cos 0 - ml 0 sin 0(2-3) 把这个等式代入式(1)中，就得到小车运动方程(第一个运动方 程):(2-4)2八(2-4)(M + m)x + bx + ml。cos0 一ml0 sin0 = F为了推出摆杆的运动方程(第二个运动方程)，对摆杆垂直方向上的合力进行分析，能够得到下面方程：d 2P -mg = md(lcos0)(2-5)(2-6)2(2-6)P 一 mg = -ml 0 sin 0 一 ml 0 cos 0力矩平衡方程如下:-Pl sin0 - N

7、l cos0 = 10(2-7)注意：方程中力矩的方向，由于0 =兀 +8 , cos8 = -cos0 , sin8 = -sin0(6)和(3)代入(7),约去P和N,得到摆杆运动方程(第二个运动(2-8)方程) :(2-8)(I + ml 2) 0+ mgl sin 0 = -ml x cos 0设0=k+8 ( 8是摆杆与垂直向上方向之间的夹角)，假设8与1(单位是弧度)相比很小，即8 1,则能够进行线性化近似处理：d0cos 0 = -1 , sin 0 = -8 ,()2 = 0dt用K来代表被控对象的输入力F ,线性化后两个运动方程如下:(I + ml 2)可-mgl8 = ml

8、 x (M + m) X+ bx-ml 8)= u进行拉氏变换，得：I (I + ml 2 )以s)s 2 - mglQ(s) = mlX (s)s 2(M + m)X(s)s 2 + bX (s)s - mlQ(s)s 2 = U(s)(2-9)由于输出为角度n ,求解方程组的第一个方程，能够得到：X(s)(52)-旦中(s),即：丝二世|_ mls 2 JX (s) (I + ml 2 )s 2 - mgl(2-10)式称为摆杆角度与小车位移的传递函数如令v = x,则有：中(s)mlV (s) (I + ml 2) s 2 - mgl(2-11)式称为摆杆角度与小车加速度间的传递函数，由

9、于伺服电 机的速度控制易于实现在实验中常采用此式。把(10)式代入(9)式的第二个方程中，得到：(M + m)|(1 + ml2)- lo(s)s2 + b(1 + ml2 -旦；中(s)s -ml(s)s2 = U(s)I ml s II ml s 2 ImlsU(s) s 3+ b(I + ml 2) s 2 (M + m)mgl s bmgl qq q(2-12)其中,q = M + m)(I + ml 2) - (ml) 2其中,式称为摆杆角度与外加作用力间的传递函数2.2实际系统的模型参数M:小车质量1.096kgm:摆杆质量0.109kgb:小车摩擦系数0.1N/secl:摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mI:摆杆惯量0.0034kgm22.3实际数学模型把上述参数代入，能够得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数：中(s) _0.02725s2X (s) - 0.0102125s2 0.26705(2-13)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：中(s) _0.027