函数奇偶性在解题中的应用优秀获奖科研论文

1、函数奇偶性在解题中的应用优秀获奖科研论文 函数奇偶性是函数的基本性质之一,在中学数学教学中起到举足轻重的作用.若能熟练掌握,灵活运用,对于一些题目具有独特的功效.下面就笔者的一些实践体会,举例加以说明. 一、求函数的解析式 例1已知x（-1,1）,且f（x）是偶函数，g（x）是奇函数,若f（x）+g（x）=2lg（1+x）,求f（x）与g（x）的解析式. 解: 由f（x）+g（x）=2lg（1+x），得f（x）=2lg（1+x）-g（x）（1） f（x）是偶函数,g（x）是奇函数， f（-x）=-f（x）,g（-x）=-g（x）. 故f（-x）=2lg（1-x）-g（-x），即f（x）=2lg

2、（1-x）+g（x）.（2） 由（1）+（2）得2f（x）=2lg（1+x）+2lg（1-x）， f（x）=lg（1-x）. 二、求值 例2已知关于x的方程x-2arcsin（cosx）+a=0有唯一解,求a的所有值. 解: 考察函数f（x）=x-2arcsin（cosx）+a,则其定义域为R,且为偶函数.由题设知f（x）=0有唯一解,而由于偶函数的图像关于y轴对称,故此解必为0 三、求函数的周期 例3设f（x）为偶函数,g（x）为奇函数,且f（x）= -g（x+c）（c0）,则f（x）是以_为周期的函数. 解: f（x）=f（-x）= -g（-x+c）=g（x-c）=-f（x-2c）， f（

3、x+4c）=-f（x+4c-2c）=-f（x+2c）=f（x+2c-2c）=f（x）， f（x）是以4c为周期的周期函数. 四、求函数的值域 例4已知x，yR，且f（x+y）=f（x）+f（y），当x0时，f（x）0，f（1）=2，求f（x）在-5,5上的值域. 解: 令y=x=0,则有f（0）=0，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0. f（x）为奇函数,而f（5）=f（4+1）=f（4）+f（1）=f（3+1）+f（1）=5f（1）=10，f（-5）=-f（5）=-10，故f（x）在-5,5上的值域为-10,10. 五、求函数的单调区间 ）；当1xx0时，g（x）g（x）.由g

4、（x）是偶函数知，g（x）在-,-1上递减,在-1,0上递增. 六、比较函数值的大小 例6已知奇函数f（x）的定义域为R，它在0,1上是增函数,且f（x+1）是偶函数,试比较f（3），f（4），f（5）的大小. 解: f（x）在0,1上递增， f（1）f（0）又 f（x）为奇函数， f（x）在-1,0上递增，即f（0）f（-1） f（1）f（0）f（-1）. 而f（x+1）是偶函数,即f（x+1）=f（-x+1）则f（3）=f（2+1）=f（-2+1）=f（-1）=-f（1） f（4）=f（3+1）=f（-3+1）=f（-2）=-f（1+1）=-f（-11）=-f（0） f（5）=f（4+1）

5、=f（-4+1）=f（）=-f（3）=-（-1）. f（5）f（4）f（3）. 七、证明命题 例7已知f（x）是定义在R上的奇函数,若f（x）=0有n个实根,证明n必为奇数. 证明:f（x）是R上的奇函数， f（-x）=-f（x），则f（0）=-f（0），即f（0）=0，即0是f（x）的一个实根.若f（x）=0除了x=0这个实根外,还有实根x，x，x，x（kN）.而f（x）是奇函数，可知-x，-x，-x，-x也必为f（x）=0的实根,即f（x）=0的非零实根必成对出现,故f（x）=0的实根个数n必为奇数. 八、证明条件等式 例8已知k+，k（kZ），且2（tg+ctg）+ctg+2tg+2ctg=0.求证：tgtg=-1. 证明:构造函数f（x）=x+x（xR），则有f（2tg+ctg）+f（ctg）=0. 而f（x）显然为奇函数,且是严格递增的,则f（2tg+ctg）=-f（ctg）=f（-ctg），由f（x）是严格递增函数知2tg+ctg=-ctg.整理即有tgctg=-1. 九、证明不等式 例9求证:当x0时，f（x）=0. 证明:f（x）+f（-x）=0,则f（x）为奇函数. 当x0时，0，即f（x）0. 十、解方程 例10解方程l