行列式的计算方法总结

1、行列式的计算方法总结:利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式.行列式按一行（一列）展开，或按多行（多列）展开（Laplace定理）.几个特别的行列式：:0=:腭啊0C B 0 BB? = D A = (-1)mAB,其中A,B分别是m,n阶的方阵.D B 0abab .ab例子：D =,2 nbababa2 n利用Laplace定理按第n,n+1彳亍展开除2级子式b，卜其余由第n，n+1彳亍所得的2级子式均为零.a bb(一1)n+n+1+n+n+1 D2 2 = (a2 -b2)D2 2,此为递推公式，应用可得= (a2 - b2)n .xaa. axaaa123n= (a2 - b2

2、)n .xaa. axaaa123n123naxa-aaxx a00123n1122aax. a=ax0 x a -0123n1133 aaa. xax00-x a123n11nn例:a 3a nD2 = （a2 - b2）D2 2 = （a2 - b2）2D2 43.箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式.a 2i=1x - a（第一行的-1倍加到其余各行）（每一列提出相应的公因子Xj - a）上(x厂a,) .i=1+2 x, - a0a2x - aa3x - a1an气0 an0（将第2,3, ,n列加到第一列）).H .a,).i=1101101111+&i-n1101-b1-b2.-

3、bn丈h J a b1+b-b-ba1100i ii121a1010i=0(j11020001a1001.n00001 + ai 丈h -J a bi=1-n1 + Ebii=1其它的例子：特点是除了主对角线，其余位置上的元素各行或各列都相同.a + xaa. ax + aaaa1123naa + xa- aax+aaa2123naaa+x. a,aax+aa3，123naaa-a + xaaax+an123n逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行（列）之间有许多元素相同.用逐行（列）相减可以化出零.升阶法（或加边法，添加一行一列，利于计算,但同时保持行列式不变）.100001 + a + b

4、 a + b a + b01-b-b.b11121n12na + b 1 + a + b a + ba01 + a + ba +b a + b例子.21222n=111121n:a0a + b1 + a + b a + b221222na + ba + b 1 + a + b.n1n2nna0a +ba +b1 + a + bnn 1n 2n n-bn00=(1+ 乙)(1 + Eb )-Eab=1+乙i i=1+b+EEb (aji- aj ) .i i=1i i=1ii i=1i=1j=1 i=1 i丰ja + x 1a例子：aaa + x2a.a.a.a + x 3.aaa =1000a

5、a + x1aaaaa+x2aaaaa + x3aaaaaaa.a + xn0.a.a.a a + x1-1 x1-1 0-1 00 x2000 x3-1000aE a1 +乙一aaa0 x01 ix000 _010 x00 =0020 x.3.xn0000=x x . xEa、一).i=1 xi6.利用范德蒙德行列式.111xxx 123x 2x2x 2计算行列式：D =123xn-2xn-2xn-2123xnxnxn1231111xxx y12nx 2x2x2 y212n解：令：D=xn-2xn-2xn - 2yn-212nxn-1xn-1xn-1yn-112nxnxnxnyn12n一方面

6、，由范德蒙德行列式得D=n (x.-1 j i n1xnX 2nnXnn，这是一个n +1级范德蒙德行列式.)-(y - x )(y - x )(y - x ).可看做是关于y的一个n次多项式.j12n另一方面,将气按最后一列展开,可得一个关于y的多项式。尸Pnyn + Pn-1 yn-1 + piy + p0,其中yn-1的系数P与所求行列式D的关系为D=-p .n-1n-1由D1= n(x x ) - (y x )(y x )(y x )来计算 yn-1 的系数 p得：pi j12nn-1n-11 j i n=-n (x - x) .x,1 j i ni=1故有 D = -p= n (x

7、一 x ) . Exn - 1i1 j i njii = 1其它的例子：anan-1b111ana n-1b, an- b11an- b22 a bn-1bna bn-1bn, 每一行提公因子an ,ann+1an-1bn+1 n+1an - 2b 2n+1 n+1a bn-1n+1bnn +1=anan ,. an1 2n+1a(t)a2a()2an-1a() n-1an a (b ()n a2. .2 .2 .2 b 、bn 1 1 )(f! )2.(n+1) n-1(n 11 ) naaan+1n+1n+1n +1n,bb(t-)aa1 jinijn+1=anan an1 27.利用数学

8、归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳)证明当a P时,D = na + P10aP a+P 10 aP a + P000000a n+1 P n+1a - P ,000 a + PaP0001a + P证明时，将D按第一行(或第一列)展开得D = (a nn+ P) Dn-1 - a。D2,利用归纳假设可得.8.利用递推公式.a + PaP0001a + PaP00例子：计算行列式D =n01 a+P00,000 a + PaP0001a + P解：按第一行展开得：D = (a + P)DaP D，将此式化为：nn-1n - 2(1)D -aD 1 = P(D 1 -aD 2)或(2) D

9、-D 1 =a(D 1 -PD 2)利用递推公式(1)得：D -aD 1 = P(D 1 -aD 2) = P2(D 2 -aD 3)=Pn-2(D2 -aD ) = Pn ,即D =aD + Pn.(3)利用递推公式(2)得：D -P D 1 =a (D 1 -P D 2) = a 2( D 2 -P D 3)=a n-2 (D2 -P D=a n ,即 D =PD 1 +a n. (4)由(3)(4)解得:DD = sa n+1 P n+1a P ,a = Pa-P ,(n + 1)a n,其它的例子a bc a0 cD =n 0 00 00 - b a 0 0 -0 0-0 0-0 0，

10、按第一行展开可得 -a b- c anD = aD -bcD ，此时令 a + P =a,aP= bc,则D = (a + P)D -aPD 2,变形为D-aDn _ = P (Dn-1 -a) D 2,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果.这里a + P = a,aP = bc,即a, P是方程x2 -ax + bc = 0的两个根.9.分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和，将行列式分解成两个容易求的行列式的和.acc例子:D =n cba c.ccb b a c c b b b.acb b b.bac + a - cccccb a c.c cb.b.a.c.c.b b b.acb b bbaccbbbba 一 cbb.bbcabbb0ab.bbccabb+0ca.bb=V + V2ccc ab. 0.c.c.a.bcccca0cc.ca匕：除第一行外,其余各行加上第一行的-1倍,所得行列式按第一列展开,匕按第一列展开.V =1c00b a - b c - b.b0a - b.b.0.b.b0b.=c(a - b) n-10c - bc - b a b00c - bc - b c - ba - bV = (a - c)D ,故 D = c(a - b) n-1 + (a - c)D ,由