信号与系统-公式总结

1、第一章 信号分析的理论基础t2 g t)g t)dt ,i j1周期信号的判断：x(t)x(tT)信号正交判断：t1ijt2 g2t)dt Kt1ii2 (1) f (t) (t) f(0)(t)(2) t2 (t) f (t)dt0,ift ttt0201(3)u(n)u(n1) (n)t10f (t 0ift0 t t12信号的时域分析与变换信号的翻转：f(t) f(t)平移：f(t) f(tt )展缩：f (t) f (at)0卷积g(t) f1* f2(t) tf ( ) f1(t )dg (n) f (n)*f (n)12f (t与奇异函数的卷积f (t)* (t) f (t)nmf

2、 (m) f (n m)12 f (t)* (t t0) f (t t )0几何级数的求值公式表1 an 1 an an 1n2,a 11, a112 an 1a2 an 1aan , a 1n0n21, a nn1 n2 n 1, a 1n01 a第二章 傅立叶变换1 F f (t)edtf(t 1 F ()e jt d2 2 傅立叶变换的性质性质时移时域f (t t 0频域F()e01a时频展缩f (at) a 0f (at b) a 0F()a1ae jba频移f (t)e j0tF()aF )0对称性时域微分F (t)dnf (t) dtnf ()( j)n F()d n频域微分( j

3、t)nf (t)dnF ()f (t)* f(t)F () F()卷积定理12123 抽样定理：fmf fs 2 fm时，抽样信号通过理想低通滤波器后能完全恢复。其中， 2 fm称为奈奎斯特抽样率。11抽样间隔Ts满足条件T s2fm时，抽样信号能够完全恢复。其中Ts成为奈奎斯特抽样间隔。2 fm4 典型信号的傅里叶变换及频谱图信号F() F() e j()名称f(t)波形图频谱图 矩形脉冲Eu(t)u(t)Sa()2冲激脉冲 (t)E直流EE()函数冲激(t) ()11T11序列1 2T1第三章 拉普拉斯变换定义双边拉普拉斯变换F(s f (t)estdt拉普拉斯反变换 f (t) 1 F(

4、s)est ds单边拉普拉斯变换F(s 0f (t)e st dt2 j jlim f (t)ett 0 0称为收敛域。公式序号公式序号12f (tt (t)u(t)F(s3t f (t)11s16costs2 2ss2 2s24eat15sin ts a性质性质1 时间平移2 频率频移3 时域微分时域f (t)t 0f (t t )u(t t)F (s， 000F(s)est0f (t)es tF (s s )0sF (s) f (0 4 复频域微分0df (t) dttf (t)5 复频域积分6 时域卷积f (t)tf (t)* f (t)12dF(s)ds F (s)dssF (s)F

5、(s)124. 拉普拉斯反变换b sb sm ba (s p )(s p )mm1sm1 b s b(s p )n10n12F (s)k1k2kkn(s p )k (s p )F (s)kn(s p )iispi(s pn)n)(s p )2n拉氏变换的基本形式： 1s z变换的基本形式zan(n)z a留数法zaan(n)z a留数法是将拉普拉斯反变换的积分运算转换为求被积函数各极点上留数的运算，即f (t) 12 j j F (s)est ds n ji1Re s pi其中Re s(s p )F(s)est（p 为一阶极点）或Re s p ii1 d rs pi(s p ) p F(s)e

6、st i（p 为 阶极点）i(r 1)! dsrspii第四章 Z 变换Z 变换定义正变换： 双边： X (z) nx(n)zn单边：X(z)n0 x(n)z nZ 变换收敛域ROCnx(n)z n 的所有z 值 ROC内不包含任何极点（以极点为边界； 右边序列的ROC 为 z R1 左边序列的ROC 为z R1的圆外；的圆内； 双边序列的ROC 为 R1 z R2的圆环。 有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z= 0 和z=；典型信号的Z变换(1)x(n) (n), X (z) 1，z 0(2)x(n) u(n), X (z)z, z 1z 1z(3)x(n) anu(n) , X

7、(z), z az aZ变换性质特性名称特性名称时间序列Z 变换f (n m)u(n)zm F(z)m1 xi)zi位移性i0f(nm)u(nm)zmF(z)时间反转f (n)F(z1)尺度变换an f (n)F(z)a卷积定理f (n)* f (n)F (z)F (z)12125 Z 反变换幂级数展开法（长除法）bzM bzM ba z N aNMM zM 1 b z b10N zN a z a10部分分式展开法F(z)D(z)F(z)F(z)单极点时，将展开为部分分式zz根据收敛域给出反变换NAiz pii0iA：ifzR，则f(n)为因果序列（右边序列，即f(n)A pnu(n)iii1

8、B： ifzR，则f(n)为非因果序列（左边序列，即f(n)A pnu(n 1)围线积分法（留数法）iii11f (n) 1 jF (z)zn1dz=ResF(z)zn1, p iiz p F (z)zn1 的极点。i式中围线C F(z的收敛域内且包围坐标原点。对 F 对 F (z) 的收敛域为圆内部分或环形区域时，序列 f (n) 中将出现左边序列，可以使用留数辅助定理（当p 为单极点）iA：C 内极点： f (n) ResF(z)zn1,Cp iz pi(z p )F(z)zn1iz piB：C f (n) ResF(z)zn1,Cp iz pi(z p )F(z)zn1iz pif (n

9、) 时，要分别计算n 0 和n0 两种情况下的极点。第六章 第七章 第八章 连续系统时域、频域和复频域分析线性和非线性、时变和非时变系统判别线性和非线性先线性运算，再经系统先经系统，再线性运算f C1C11f C2C22f t1f 2H1f C11f 2f t1H Hff t1H Hf 1CC H f t 111f t2H Hf 2C2C H f t 22C H f11C H ft22若 H f C f C H f C H fH 否则是非线性系统。1 1221122时变系统与时不变系统统。时不变性：先时移，再经系统先经系统，再时移ee(t)e(t t )H0r(t)r(t t )0延迟 个单位

10、fH HfytDEy tfDEf fDEf H若 H f y ，则系统是非时变系统，否则是时变系统。对线性时不变系统，响应r(t) rzi(t) rzs(t) ，其中rzi(t) 为零输入响应， rzs为零状态响应。响应可分解为：零输入响应零状态响,r(t) rzi(t) rzs(t) 。零输入响应零输入响应r (t) ：zi1Step1 特征方程，特征根；1Step2 解形式rt)iC ea t 或 rit)Ctiea t iC ea t ；izii1zii1ii K 1Step3 初始条件代入确定系统C ；i零状态响应零状态响应r (t：zs1：时域分析法rzs2：变换域分析法(t) =

11、e(t)*h(t)Step1:根据电路图，求H(s) Step2:Rzs (s) H(s)E(s)Step3:rzs(t) L1 Rzs零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。0zs0zse0zs0zse(t)2e(t)h(t)r (t)zs2r (t)e(t)e(t t )h(t)r (t)r (t tzsCe(t)CrzsCe(t t )0Cr (t t )zs0零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。r(0 ),r(0 ),2 r(0 ),r(0 ),h(t)r (t)zizi),r(0 ),Cr zi冲激响应h(t) 的计算已知电路图

12、，求h(t)Step1明确系统输入（激励，系统输出（响应）L LsStep2:电气元件L 和 C，变成变换域C1或 1Step3: H() R()E()jWCCSR(s)或 H (s)E(s)Step4:h(t(s)h(tF1(w)已知e(t)和零状态响应rzs(t) ，求h(t)已知微分方程，求h(t)已知各分支子系统hi(t),根据系统连接方式确定总系统h(t)无失真传输条件判断定义：任意波形信号通过线性系统不产生波形失真。r(t) Ke(t t )0 H) K常数)H ) Kej t0 等价于)t0t即系统的幅频特性为一常数，相频特性是一通过原点的直线。零输入响应(t) ：zi1Step

13、1：特征方程，特征根；1Step2：解形式rt)iC ea t 或 it)Ctiea t iC ea tizii1zii1iiK Step3：初始条件代入确定系统Ci第九章 第十章 离散系统时域、Z 域分析差分方程的一般形式前向差分：a y(ni)M b x(n j)a1i0ijNj 0后向差分：a y(ni)b x(n j)a1ij0i0j0卷积法 y(n) y (n) y(n)zizs（1）零输入响应 y (n) ：激励 x(n) 0 时初始状态引起的响应ziStep1 特征方程，特征根；Step2 解形式 y(n)Can 或(n)C ni1an C an ；zii i1zii11i iiK Step3 初始条件y (0), y (1),y (N 1)代入y (n)，确定系统C ；zizizizii（12）y(n)：初始状态为零时外加激励引起的响应zs1yzs(n) x(n)* h(n) mx(m)h(n m)方法2：变换域分析法y(n)zs左移位性质Step1:差分方程两边Z变换（注意初始状态为零；左移位性质已知Zx(nu(n) X(z)，则Zx(nmu(n) zmX(