图像变换及其应用课件

1、数字图像处理第四章图像变换及其应用CH4 图像变换及其应用一、一维连续傅立叶变换二、二维连续傅立叶变换三、一维离散傅立叶变换四、二维离散傅立叶变换五、傅立叶变换性质六、数字图像处理和傅立叶变换背景傅立叶变换提出傅立叶（Fourier） ：法国数学家，1768年生1822年出版“热分析理论”，1878年翻译成英文。提出傅立叶级数傅立叶级数：周期函数表示为不同频率的正弦和/或余弦和傅立叶变换：非周期函数表示为正弦和/或余弦乘以加权函数的积分逆变换可以重建原函数应用信号处理等（快速傅立叶变换FFT算法出现）1 一维连续傅立叶变换引子频域世界与频域变换任意波形可分解为正弦波的加权和 y1 = Sin(

2、x + /2) A=1, = /2, f=1/ 2y2=0.5sin(2x+ ) A=0.5, = , f=1/ y3=0.25sin(4x+ 3/2) A=0.25,= 3/2 , f=2/ y= Sin(x + /2) + 0.5sin(2x+ ) + 0.25sin(4x+ 3/2) x0,41 一维连续傅立叶变换波形的频域表示y= Sin(x + /2) + 0.5sin(2x+ ) + 0.25sin(4x+ 3/2) x0,4幅频特性Af0.250.510.751/23/21/2/相频特性f/223/21/23/21/2/1 一维连续傅立叶变换一维傅立叶变换及其逆变换 正变换： 逆

3、（反）变换：1 一维连续傅立叶变换1）正变换频谱的平方称为能量谱或功率谱1 一维连续傅立叶变换例:窗函数的傅立叶变换E/2-/2f(t)t旁瓣旁瓣主瓣辛克函数，记为Sinc(u)1 一维连续傅立叶变换例：对高斯函数G(t)，求其傅立叶变换F(u)。 高斯函数的傅立叶变换同样是高斯函数。1 一维连续傅立叶变换1 一维连续傅立叶变换2）加快运算2 二维连续傅立叶变换二维傅立叶变换及其逆变换（1）连续函数正变换：逆（反）变换：频谱（幅度）相位角功率谱（能量谱）2 二维连续傅立叶变换例：为下图所示的二维函数f(x,y)，求其傅立叶变换F(u,v)。2 二维连续傅立叶变换3 一维离散傅立叶变换1）一维离

4、散傅立叶变换对 离散函数：N个数据组成的序列 1-D正变换对1个连续函数 f (x) 等间隔采样 1-D反变换 变换表达 频谱（幅度） 相位角 功率谱3 一维离散傅立叶变换3 一维离散傅立叶变换2）DFT的矩阵表示法3 一维离散傅立叶变换例：一维离散函数如下,求其离散傅立叶变换.3 一维离散傅立叶变换步进法3 一维离散傅立叶变换N=8时W各元素3 一维离散傅立叶变换3）常用一维DFT的几个性质4 二维离散傅立叶变换离散函数：MN大小变换对公式频谱（幅度）相位角功率谱（能量谱）频率域由傅立叶变换和频率变量( u, v)定义的空间基本性质（1）变化最慢的频率成分(u=0, v=0)对应一幅图像的平

5、均灰度（2）低频（原点附近）对应图像灰度变化慢的像素（3）高频（远离原点）对应图像灰度变化快的像素 如果 是一幅图像，在原点的傅立叶变换即等于图像的平均灰度级。5 傅立叶变换性质1 位移定理函数位移不改变傅立叶变换的幅值。二维： 变换对： 用 乘以 可将 原点变换到频率坐标的5 傅立叶变换性质频谱的频域移中 傅立叶变换以零点为中心，导致谱图像最亮点在图像的左下角， 为符合正常习惯，将 的原零点从左上角移到显示屏的中心。5 傅立叶变换性质 2、旋转性质 令： 将： 代入傅立叶变换对得到：如果空间域函数旋转的角度为0,那么在变换域中此函数的傅立叶变换也旋转同样的角度5 傅立叶变换性质例： 傅立叶变换旋转性质示例5 傅立叶变换性质3、尺度定理（相似定理：similarity theorem） （1）对 f(x, y) 在空间尺度方面的放缩导致对其傅立叶变换F(u, v)在频域尺度方面的相反放缩。（2）对f(x, y)的收缩(对应a1, b1)不仅导致F(u, v)的膨胀，还使F(u, v)的幅度减小。5 傅立叶变换性质例4.7 ：傅立叶变换尺度变化性质示例正方形收缩导致其傅立叶频谱网格