幻方递推构造法

1、 HYPERLINK / 第12卷第2Vol.12 No.1995年6重庆师范学院学报（自然科学版Journal of Chongqing Teachers Colle,ge(NaturalScience HYPERLINK / 第12卷第2Vol.12 No.1995年6重庆师范学院学报（自然科学版Journal of Chongqing Teachers Colle,ge(NaturalScience 四勹）幻方的递推构造法O)千潘林（重庆师范学院数学系，篮庆介 要井给出具体算法关键花难林凶中团法滔可芦了引行、每列及两条对角线上各元素之和都等于号i!+1入当刃值较小时，很容易构造出满足条件

2、的d阶方阵，且构造方法也不唯一，但当冗值较大时，要直接构造满足条件的霓阶方阵就比较麻烦了。能否根据已知的低阶幻方，构造出某些高阶幻方呢？回答是肯定的。下面给出一种1算法实设已知n阶幻方A= a;1.x和m阶幻方B = blJ一x.，则可构造出Xm阶幻方m,-11（其中k. lll xm)。具体有下两种算法，(l)输人A= a;Jx和B=如删气喇，计算k=瓦X (2)将方阵M分成功行冕列的飞2个对M中每个块按A重新编号，即将A的每个元紊值分别填入对应的块，作为该块的块号，为1994-12-26言- MsiM M M” lM HYPERLINK / 第2潘林森幻方的递推构造(t=1, 2. ,j

3、= 1, 2, HYPERLINK / 第2潘林森幻方的递推构造(t=1, 2. ,j = 1, 2, ，召M.尸-(3)将M中的每个块再细划分成m行，正列的，n2个小格，对块中的每个小格按B编号即将B的各元素值分别填人对应的小格，作为该格的编号，记为(i=1, j = 1. 2, ，召M, (4)计算M中每个元素屯e + (s 1)又其中e为所有块编号，s为块中小格编号(5)输出方阵M =-tn.,Jil(1)输入A=化，.x_,.和D = b,.，画，计算将方阵M分成叮五列的冗2个块，对M中每块按A重新编号，即将A分别填入对应的块，作为该块的编号，记为e.将M中的每个块再细划分成，几行，n

4、列的，沪个小格，对块中的每个小格按B即将B的各元素值分别填入对应的小格，作为该格的编号，记为计算M 输出方阵M=算法结束定理对任意已知的冗阶幻方和m阶幻方由算法1构造的K阶方阵M满足每行、列及每条对角线上各元素之和都k一（炉（其中扣:ri X 2证设扣如.心为A的一行元素，扣扣.心，为B的一行元素于是有tiA= -乒江-由算法l,M的每个元素由e.s唯一表示，因此，M中每一行的各元素之和都为勹二坏妇 HYPERLINK / 第12重庆师范学院学报（自然科学版区i+(j,l)-l=l fl+冥3区位一一=m HYPERLINK / 第12重庆师范学院学报（自然科学版区i+(j,l)-l=l fl

5、+冥3区位一一=m （让 1) 霓3皿(m2 + I)一九22,n 2 2k（炉十2同理可证M(fZ + k2又M的两条对角线元素都是分别由九个m阶幻方B的对角线元素组成，设凡历Ii_M对角线上九个块的编号，如)2,.心为B的对角线上元素由于块号是按A编号的，故有立，竺(1n2+ 江上（九z 22山t 一所以，MI; I;i,._缸 I J-1)“+ 一2(i:2 +k2定理对任意已知的凋阶幻方和m阶幻方，由算法2构造的K阶幻方M满足每行、列及每条对角线上各元素之和都(l:2+ （其中k一刃X 2证与定理1证明相似由算法2，方阵M的每个元素是按公m,.s +(el)构造的，所以M HYPERL

6、INK / HYPERLINK / HYPERLINK / 笫12重庆师范学院学报（自然科学版由算法 HYPERLINK / 笫12重庆师范学院学报（自然科学版由算法2构造的12阶幻方为4算法1和算法2解决了一大类高阶幻方的构造方法，对任意已知的刀阶和m阶幻方可构造出一个nXm阶，仅l阶和旷阶(l为正整数）的幻方实际上，算法1和算法2是把高阶幻方的构造转化为低级幻方的构造这种方法简单易行，具有很强的规律性和可操作性，具体应小格的数字递增，按算法1每次增1按算法2每次培参考文潘林森幻方的分层计算法，重庆师范学院学报（自然科学版），1993,10(2), O奥尔有趣的数论北京：北京大学出版社，1985、The Method of Recursive construction for-沁gic Pan (Dept. of Mathematics,Chongq呕T竺chers College,Otongqi戊 . Th这paper presen区a new method of recursive construction of a high虹order square with tw