几种特殊代数系统

1、关于几种特殊的代数系统1第1页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四6.1 半群和独异点定义6.1.1半群 设V=是代数系统, 为二元运算如果是可结合的,则称V为半群2第2页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例6.1是半群。,都是半群，其中+表示普通加法。是半群,其中表示矩阵乘法。是半群,其中表示集合的对称差运算是半群,其中Zn =0,1,n-1, 表示模n加法。3第3页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四因为半群V=中的运算是可结合的,可以定义运算的幂对任意的xS,规定xn是 x1=x, xn+1= xnx , n为正整数。易

2、证x的幂遵从以下规律： xn xm= xn+m , (xn)m= xnm ,n为正整数半群中运算的幂4第4页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例5第5页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定理 6.1.1 定理6.1.1若V=是半群, S为有限集合，则S中必含有幂等元。证明：设=是半群,对任何aS,有a2 ,a3. S,.由于S为有限集合，所以必存在ji,使得ai aj。 令p=j-i,便有 aiaj ap *ai 所以，am ap *am （mi)令m=kp, akp ap *akp ap *(ap *akp )= a2p *akp =akp *

3、akp令b= akp ,有b= b* b, 即S中含有幂等元6第6页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定义6.1.2 可交换半群 如果半群V=中的二元运算*是可交换的,则称V为可交换半群.定义6.1.3 独异点 如果半群V=中的二元运算含有幺元,则称V为含幺半群,也可叫做独异点. 为了强调幺元的存在,有时将独异点记为。7第7页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例6.2是可交换半群。,都是可交换半群和独异点，其中+表示普通加法。幺元是0。,是半群和独异点,其中表示矩阵乘法。矩阵乘法的幺元是n阶单位矩阵E. 是半群和独异点,其中表示集合的对称差运算对

4、称差运算的幺元是.是半群和独异点,其中Zn =0,1,n-1, 表示模n加法。模n加法的幺元是0. .8第8页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四在独异点V=中,如果规定x0=e(x是S中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可以变成 x0=e xn+1= xn x n为非负整数而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是非负整数就可以了。独异点中运算的幂9第9页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四在独异点V=中,如果规定x0=e(x是S中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可以变成 x0=e xn+1= xn x n为非负整数而关于幂的两个运算公式

5、不变,只要其中的m和n是非负整数就可以了。独异点中运算的幂10第10页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四注意： 此定理对半群不成立。定理6.1.2 一个有限独异点 的运算表中不会有任何两行或两列元素相同。11第11页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四独异点的子代数叫做子独异点.对独异点V=, 构成V的子独异点，需要满足： T是S的非空子集， T要对V中的运算封闭， eT，即可。子独异点12第12页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四13第13页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四半群同态定义6.3 设V

6、1 =, V2=为半群, : S T，且对任意x,yS有 (xy)= (x)* (y)则称为半群V1到V2的同态14第14页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例 半群V=,其中S=.是矩阵乘法。令 : S S,那么有 = = =这说明 是半群V的自同态,但不是满自同态15第15页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四V1= , V2=是独异点,设 : S1 S2 ,如果对任意x,yS1都有 (xy)= (x)* (y) (e1)=e2,则称为独异点V1到V2的同态补充： 独异点的同态16第16页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期

7、四例 独异点V= 其中S= ， .是矩阵乘法。令 : S S,那么对任意x,yS都有 17第17页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四但是而 不是独异点V的么元,因此,不是独异点V 的自同态。这就是说,如果把V看作半群,则是V的自同态 ;如果把V看作独异点,则就不是它的自同态了。18第18页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定理：设V1 =, V2=为半群, f为 S 到 T的半群同态，则对半群同态有（1）同态象为一半群。（2）若为独异点，则 也为独异点19第19页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四群定义 设G,。是代数系统

8、, 。为二元运算如果 。是可结合的, 存在幺元eG, 并且G中的任意元素x,都有x-1G,则称G是群.20第20页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例 ,都是群; 是群,其中表示集合的对称差运算元素的逆元是自身； 是群,其中Zn =0,1,n-1, 表示模n加法。0的逆元是0,非0元素的逆元是n-x.不是群; 是群;21第21页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例 设Ge,a,b,c, 。为G上的二元运算,它由以下运算表给出不难证明G是一个群. e为G中的幺元,。是可交换的.任何G中的元素与自己运算的结果都等于e.在a,b,c三个元素中,任何两个

9、元素运算的结果都等于另一个元素.一般称这个群为Klein四元群.22第22页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四群的术语 若群G中的二元运算是可交换的,则称群G为交换群,也叫做阿贝尔(Abel)群 ,都是群,也是阿贝尔(Abel)群; 是群, ,也是阿贝尔(Abel)群; 是群, ,也是阿贝尔(Abel)群.Klein四元群也是阿贝尔群23第23页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定理 设为一个群， 为阿贝尔群的充分必要条件是对任意x,y G,有(x*y)*(x*y)=(x*x)(y*y)24第24页，共109页，2022年，5月20日，10点51

10、分，星期四无限群 有限群 若群G中有无限多个元素,则称G为无限群,否则称为有限群.例如,都是无限群.是有限群.Klein四元群也是有限群.25第25页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四群的阶 对于有限群G,G中的元素个数也叫做G的阶,记作|G|.是有限群,其阶是n.Klein四元群也是有限群,其阶是4.26第26页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四在群G中,由于G中每个元素都有逆元，所以可以定义负的幂，对任意 xG, n为正整数,那么有关群中幂的定义可以变成 x0=e xn+1= xn *x n为非负整数 x-n= (x-1) n, n为正整数而

11、关于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是任意整数就可以了。群中运算的幂27第27页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四群的性质定理 设G为群,则G中的幂运算满足 xG, (x-1)-1x x,yG, (x*y)-1y-1*x-1 x1,x2,xnG,(x1 * x2 * xn)-1xn-1x2-1x1-1 xG, xn * xmxn+m xG,(xn)mxnm. m,n是整数28第28页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定理6.1.6 设 为群，则（1）G有唯一的幺元，G的每个元素恰有一个逆元；（2）G为群,a,bG,方程a*xb和y*ab在G

12、中有解,且有唯一解（3）当G不等于e时，G无零元29第29页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四c=ec30第30页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例 设G=,其中为集合的对称差运算,求下列群方程a X=, Y a,b=b解 X=a-1 =a =aY=b a,b-1 =b a,b=a31第31页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四消去律定理6.1.7 G为群,则G中适合消去律,即对任意a,b,cG有 (1)若a*ba*c,则bc. (2)若b*ac*a,则bc.32第32页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，

13、星期四定理 设为有限独异点,适合消去律，证明为群。定理6.1.8 设为一群,则幺元是G的唯一的幂等元。33第33页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四 设为群, 用aG和Ga分别表示下列集合 Ga=g*a| g G aG=a*g| G则有定理6.1.9 设为一群,a为G中任意元素,那么 aG=G=Ga34第34页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四通过运算表判断哪些代数系统不是群设S是一个非空集合,从集合S到S的一个双射称为S的一个置换.例如:对于集合S=a,b,c,d,将a映射到b,b映射到d,c映射到a,d映射c是一个从S到S的一对一映射,这个置

14、换可以表示为:a b c db d a c35第35页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定理 G为有限群,则G的运算表中的每一行(每一列)都是G中元素的一个置换,且不同的行(或列)的置换都不相同。或者说 G为有限群,则G的运算表中的每一行(每一列)都是G中元素的一个全排列判断方法36第36页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四元素x的阶 设G是群,xG,使得xke成立的最小的正整数k叫做x的阶(或周期) 如果不存在正整数k,使xke,则称x是无限阶的. 对有限阶的元素x,通常将它的阶记为|x|. 在任何群G中幺元e的阶都是137第37页，共109页

15、，2022年，5月20日，10点51分，星期四例在Klein四元群中,|a|=?,|b|=?,|c|=?,|e|=?38第38页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四39第39页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四下面一些结论：定理6.1.10. 设是有限群，|G |n，则G中每个元素的阶 n。定理6.1.11. 设是群，aG，a的阶为r，即|a|r.若ane当且仅当 r整除n。定理6.1.12. 设是群，gG，则g与g1有相同的阶。40第40页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例. 设是n阶有限群，证明 1) G中阶大于2的元

16、素的个数一定是偶数。 2)若n是偶数，则G中阶等于2的元素个数一定是奇数。41第41页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定理6.1.13 设为一个群， 为阿贝尔群的充分必要条件是对任意x,y G,有(x*y)*(x*y)=(x*x)(y*y)42第42页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四第6章 几个典型的代数系统6.1 半群与群6.2 子群6.3 循环群和置换群6.4 陪集与拉格朗日定理6.5 正规子群、商群和同态基本定理6.6 环与域43第43页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四子群定义6.2.1 设群,H是G的非空子集

17、如果H关于G中的运算*构成群,则称为的子群,记作HG.例如,在群中,取 2Z2x|xZ则2Z关于加法构成的子群.同样,0也是的子群.44第44页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例在Klein四元群中,G=e,a,b,c中,有5个子群,它们是:e,e,a,e,b,e,c,G平凡子群是真子群是45第45页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四判定定理定理 设为群, 为的子群的 充要条件是 (1) G的幺元e H (2) 若a,bH,则a*bH (3) 若aH,则a-1H定理 设为群, H是G的非空有限子集， 且H对*运算封闭，那么为 的子群。46第46

18、页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四子群的性质定理6.2.3 设为群,H是G的非空子集.那么 是的子群的充分必要条件是对任意x,yH都有x*y-1H47第47页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例 设G为群,(1)对任何aG,令 Hak|kZ,即x的所有幂的集合不难判定H是G的子群因为任取H中的元素am,al,都有 am(al)-1ama-lam-lH.称这个子群是由元素x生成的子群,记作注意：由a生成的子群是包含a的最小子群。48第48页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例49第49页，共109页，2022年，5月20日

19、，10点51分，星期四群G的中心 设G为群,令C是与G中所有的元素都可交换的元素构成的集合,即Ca|aGxG(ax=xa),称C为群G的中心. 50第50页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四群G的应用群在计算机科学中有十分重要的应用，下面以图书国际标准书号ISBN号的校验位为例，说明其应用。可以发现错误或顺序颠倒。例1：书ISBN号为7-5053-8708-1（中国-电子工业出版社-书编号-校验码），由10位数字组成。 x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10,校验位通过下列余式计算 1x1 + 2 x2 + 3x3 + 4x4 + 5 x5 + 6 x6 + 7 x

20、7 + 8 x8 + 9 x9 =x10 （ mod 11) 221= x10 （ mod 11) 1=x10 （ mod 11)现有错误书号7-5053-8705 计算 194= x10 （ mod 11) 7=x10 （ mod 11) 发现错误。例2：书号7-5062-0335-7和7-5062-0353-7。前一个错，因为141= 7（ mod 11)9= 7（ mod 11)；后一个139= 7（ mod 11)，7= 7（ mod 11) 正确。说明有组数据顺序错了。 51第51页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四第6章 几个典型的代数系统6.1 半群与群6

21、.2 子群6.3 循环群和置换群6.4 陪集与拉格朗日定理6.5 正规子群、商群和同态基本定理6.6 环与域52第52页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四循环群定义6.3.1 在群G中如果存在aG使得 G=ak|kZ而称G为循环群,记作G=,称a为G的生成元.（约定a0=e) 所谓循环群，就是群中的每个元素都可表示成某个固定元素a的整数次幂。53第53页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四54第54页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四 是循环群,1或-1为生成元; 是循环群,其中2为生成元； 是循环群,其中1,3为生成元；5

22、5第55页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四 在循环群G=中,生成元a的阶与群G的阶是一样的.如果a是有限阶元,|a|n,则称G为n阶循环群.如果a是无限阶元,则称G为无限阶循环群.n阶循环群56第56页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定理6.3.2 设是由a生成的有限群，则有 G=e,a1 ,a2 an-1,其中n=|G|,也是a 的阶。 n阶循环群必同构于证明：设a的阶为k，则H=e,a1 ,a2 ak-1为G的子群，H G。现证明G H。任取amG,如果不属于H，则m=kt+r rkam= akt+r= akt*ar = ar H 矛盾。

23、设有映射： Zn ，任意f(ai）=i 证明该映射是同构映射。57第57页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定理6.3.3. 设为无限循环群，且G=,则G 只有两个生成元a和a-1。且同构 于证明：（1）证明a-1 是生成元（2）证只有这两个。假设还有一个b, aG,有a= bt,又因bG, b= ak, a= bt= akt akt-1=e kt=1,t=1或t=-1 设有映射：，任意f(ai）=i 证明该映射是同构映射。 58第58页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四 例1：在 群中取1 I,由于010,n=1n,-n=(-1)n=1-n 故

24、I中的每个元素都可表示成1的整数次幂。 由循环群的定义知是循环群，1是循环群的生成元。 例2： 1,-1,i,-i, 是循环群，生成元为i和-i。59第59页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例3：生成元为c, d结论：循环群的生成元可以不唯一60第60页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定理：任何一个循环群必定是阿贝尔群。61第61页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四62第62页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定理6.3.4 循环群的子群都是循环群。定理6.3.5 设为a生成的循环群，（1）若G

25、是无限循环群，则G有无限多个子群， 它们分别由e,a1 ,a2 an-1生成。（2）若G是有限循环群，阶为n，则G的子群 的阶都是n的因子。对于n的正因子d，在G 中只有一个d阶子群，就是由an/d生成的 子群。63第63页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四置换群定义6.3.3 置换 有限集上的双射函数称为置换64第64页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四置换群定义6.3.3 设S1,2,n,S上的任何双射函数:SS构成了S上n个元素的置换,称为n元置换. 例如，S=1,2,3，令:SS ，且有: (1)=2, (2)=3, (3)=1,65第6

26、5页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四则将1,2,3分别置换成2,3,1,此置换常被记为 =采用这种记法,一般的n元置换可记为66第66页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四n个不同元素有多少种排列的方法?n!种排列的方法,所以,S上有n!个置换.例如,上有3!=6种不同的置换,即 67第67页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四对于n元置换也可以用不交的轮换之积来表示.=(a1a2am), mn那么的映射关系是a1a2,a2a3,am-1am,ama1,而其他的元素都有aa. 称为m次轮换.任何n元置换都可表成不交的轮换之积

27、.68第68页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例如, 是1,2,6上的置换,且 =那么的映射关系是1 6, 25, 33, 44, 52, 61.去掉3和4这两个保持不变的元素,可得 1 6 , 61 , 25,52 所以=(1 6) (2 5) (3) (4)69第69页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四又如, 也是1,2,6上的置换,且 =则有 = (1 4 3 2 5) (6) 为使表达式简洁,可以去掉1次轮换那么有 =(1 6) (2 5) = (1 4 3 2 5)70第70页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四

28、根据这种表法,1,2,3 上的置换可记为： 1= (1), 2= (12), 3= (13), 4= (23), 5= (123), 6=(132)71第71页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四设S = 1,2,n ,S上的n!个置换构成集合S,其中恒等置换Is=(1)Sn在Sn上规定二元运算,对于任意n元置换, Sn, 表示与的复合.显然也是S上的n元置换,所以,Sn对运算是封闭的,且是可结合的.任取Sn中的置换,有 Is= Is = n元对称群、 n元置换群72第72页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四所以,恒等置换Is=(1)是Sn中的幺元

29、且的逆置换 -1 =就是的逆元。即:Sn关于置换的复合构成一个群,称之为S上的n元对称群.Sn的任何子群称为S上的n元置换群.73第73页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定义6.3.4 置换群 将n个元素的集合A上的置换全体记为Sn,那么称群 Sn,*为n次对称群，它的子群又称为n次置换群。74第74页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例如S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132),S3的运算表如表6.1所示75第75页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四从表6.1可以看到 (13)。(12)(12

30、)。(13)所以, S3不是阿贝尔群,在 S3中,(12),(13)和(23)都是2阶元,而(123)和(132)是3阶元.76第76页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四S3有6个子群,即 =(1), =(1),(12), =(1),(13), =(1),(23), =(1),(123),(132),所以, S3 =(1),(12),(13),(23),(123),(132).其中(1)和S3是平凡的,除S3自己以外,都是S3的真子群77第77页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四上面讲了由有限集合X到X的双射即置换，以及置换群；下面不再限于X是有

31、限集，换言之，它可以是个无穷集。这时从集合X到X的双射，称之为一一变换或变换。因而，可证构成群，在代数中称为变换群，显然，置换群是变换群的特例。请注意，由TX中的一些变换与运算o构成的群，都称为变换群，而只不过是个特殊情形而已。78第78页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四第6章 几个典型的代数系统6.1 半群与群6.2 子群6.3 循环群和置换群6.4 陪集与拉格朗日定理6.5 正规子群、商群和同态基本定理6.6 环与域79第79页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定义6.4.1 设为群，A,B G, ，且A,B非空，AB =a*b| a A,

32、 b B ,称为A,B的乘积。性质（AB)C=A(BC) eA=Ae=A80第80页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定义6.4.2 设为的子群，那么对任一g G ,称gH为H的左陪集，称Hg为H的右陪集，这里 gH =g*h| h H Hg =h*g| h H81第81页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定理6.4.1 设为的子群，那么（1）对任意g G , |gH|=|H| （ |Hg|=|H|）（2）当g H 时， gH（ Hg ）82第82页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四（1）证明：令f：HaH 即f(h)=a

33、*h, 其中hH则f是双射。满射是显然的，下面再证它是单射。若a * h1=a * h2，h1,h2H，则根据群的可约律知h1=h2，即f(h1)=f(h2)导出h1=h2。所以 |gH|=|H| (2) 含义，若为群的子群，则H为中的左陪集。因为若e是的幺元，则e*H=e*h|hH|=H。83第83页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定理6.4. 设为的子群，有（1） H （2）若H ，则 H证明:(1)因为eH，故a=a*eaH。 (2)若H ,b=ah, bH=(ah)H=a(hH)=aH84第84页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定理6

34、.3 6. 若是群的子群，则或者aHbH=或者aH=bH。定理6.4.4 若是群的子群，对任意a,b G,则a,b属于H的同一左陪集b-1*aH 即aH=bHb-1*aH85第85页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四推论 左陪集aH中的任何元素a1均可决定该陪集，或者说，陪集中的每个元素都可作为陪集的代表。因为若a1aH，则存在h1H，使得a1=a*h1，于是a-1*a1=h1H。再根据定理6.4.4 知，a1H=aH。86第86页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四由于G中每个元素a必在H的左陪集aH中，从定理6.4.3又知道，G中每个元素恰好能

35、属于H的某个左陪集中。因此H的左陪集簇构成G的划分，而且划分中每个块与H具有相同的元素个数。因此可得下面结论。 若是群的子群，则中的H的左陪集簇构成G的一种划分。并且称它为G的对于H的左陪集划分。87第87页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四假若群为有限群，其子群是，且|G|=n，|H|=m，则G的对于H的左陪集划分可表为G=a1Ha2HakH，其中k为不同的左陪集个数，称为H在G中的指标，由于每个左陪集皆有m个元素，故G具有km个元素，即n=mk，这便得到著名拉格朗日(J.L.Lagrange)定理：88第88页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期

36、四定理6.4.6 若是有限群的子群，那么 |H| | |G| (H的阶整除G的阶）。即：任何有限群的阶均可被其子群的阶所整除。 。89第89页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四推论1: 有限群中任何元素的阶均为G的阶因子。推论2: 质数阶的群没有非平凡子群。推论3：4阶群同构于4阶循环群或 Klein四元群90第90页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定理6.4.5 若是群的子群，则R=|a,b H ， a-1*bH是G上的一个等价关系，且aR=aR, 称R为群G上H的左陪集等价关系。91第91页，共109页，2022年，5月20日，10点51分

37、，星期四6.6 环与域定义6.6.1 环 设是代数系统,R为集合,+,为二元运算,如果 (1)为阿贝尔群（加群）, (2)为半群, (3)乘法对加法+适合分配律,则称是环约定：定义中的+,表示一般二元运算，称为环中的加法和乘法运算，不一定是数乘和数加92第92页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四 例 如,和都是环,+和表示普通加法和乘法.是环,其中Mn (R)是n阶实矩阵的集合,+,分别是矩阵加法和乘法.是模n的整数环,其中Zn0,1,n1, 和分别表示模n的加法和乘法.是环，其中Mnn 是 nn阶实矩阵的全体，与是矩阵的加法和乘法.93第93页，共109页，2022年

38、，5月20日，10点51分，星期四定理6.6.1 设是环,0为加法幺元, -a为a的逆元，那么对 (1) aR, a00a0. (2) a,bR, (-a)ba(-b)-(ab). (3) a,bR, (-a)(-b)ab. (4) a,b,cR, a(b-c)=abac, (b-c)abaca.94第94页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四 (1) aR,a00a0.证明 a0a(0+0)a0+a0,由加法消去律得 0a0.同理可证 0a0.(2) a,bR,(-a)ba(-b)-(ab).证明 (-a)b+ab=(-a+a)b0.b0类似地有 ab+(-a)b0,所

39、以(-a)b是ab的加法逆元,即-(ab). 同理可证 a(-b)=-(ab)95第95页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四(3) a,bR,(-a)(-b)ab.证明: (-a)(-b)-(a(b)-(-(ab)ab,(4) a,b,cR,a(b-c)=ab-ac, (b-c)abaca.证明: a(b-c)=a(b+(-c)=ab+a(-c)=ab-ac 同理有 (b-c)a=ba-ca96第96页，共109页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定义6.6.2 ：交换环、含幺环 在环中,如果乘法适合交换律,则称R是交换环. 如果对于乘法有幺元,则称R是含幺环. 为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元,通