多元函数微分学复习(精简版)

1、可编辑修改WORD版本可编辑修改WORD版本 10/10可编辑修改WORD版本多元函数微分学复习(精简版) 高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（） 条件极值拉格朗日乘数法（） 无条件极值（） 曲面切平面、曲线切线（） 隐函数（组）求导（） 一阶偏导数、全微分计算（） 方向导数、梯度计算（） 重极限、累次极限计算（） 函数定义域求法（） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?2及. 解 y x e f x f x z +?

2、+?=?31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z +?+-?+?+-?=?=?)sin (cos )sin (333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +=,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f 是),cos ,(sin ),cos ,(si

3、n 31y x y x e y x f e y x f +的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f 对y 求导数为 z u v w x x y y y x e f y f y f +?+-?=? ?1312 1)sin (. 所以求导过程中要始终理清函数结构，确保运算不重、不漏. 3）f 具有二阶连续偏导数，从而y x z x y z ?22, 连续，所以y x z x y z ?=?22. 练 1. 设),2(22 x y x f x z =其中f 具有二阶连续偏导数，求22x z ?. 2. 设),sin ()2(2 2y x y

4、 e g y x f z x +-=其中f 二阶可导，g 具有二阶连续偏导数， 求y x z ?2. 2. 多元函数极值 例1. 求函数)2(e ),(22y x y x f y x -=-的极值. 解 （1）求驻点.由 ?=+-=0e 4)2(e ),(, 0e 2)2(e ),(2222y x y x y y x y x x y y x y x f x y x y x f 得两个驻点 )0,0(，)2,4(-， （2）求),(y x f 的二阶偏导数 )242(e ),(22+-=-x y x y x f y x xx ，)422(e ),(22y x x y y x f y x xy =

5、-， )482(e ),(22-+-=-y y x y x f y x yy ， （3）讨论驻点是否为极值点 在)0,0(处，有2=A ，0=B ，4-=C ，082 =-B AC ，而 0 析 1）这是二元函数无条件极值问题. 2）解题步骤：第一步是求出驻点一阶偏导数为零的点；第二步求目标函数的二阶导 数；第三步求出驻点的判别式2 B A C -，判断是否为极值点以及极大极小. 2. 将正数12分成三个正数z y x ,之和 使得z y x u 2 3=为最大. 解：令)12(),(2 3 -+=z y x z y x z y x F ，则 ?=+=+=+=+=. 12,0, 02,032

6、33 22z y x y x F yz x F z y x F z y x 解得唯一驻点)2,4,6(，故最大值为.69122462 3max =?=u 析 1）题目是为了熟悉条件极值的求法拉格朗日乘数法.这里拉格朗日函数也可写成 )12(ln ln 2ln 3),(-+=z y x z y x z y x F . 2）由于目标函数是乘积形式，而其和为常数，可以利用均值不等式 6 2362 233342722433327? ? ? ?+?=z y y x x x z y y x x x z y x 691224276=?=. 方法较为简单，但没有拉格朗日乘数具有一般性. 3. 求函数2 2y

7、x z +=在圆9)2()2(22-+-y x 上的最大值与最小值. 解 先求函数在圆内部可能的极值点.令 ? ?=02, 02y z x z y x 解得点)0,0(，而0)0,0(=z . 再求函数在圆周上的最值.为此做拉格朗日函数 9)2()2(),(2222-+-+=y x y x y x F ， ? ?=-+-=-+=-+=. 9)2()2(,0)2(22, 0)2(222 2y x y y F x x F y x 解之得)22,22(),225,225( -，而1)2 2 ,22(,25)225,225(=-=z z . 比较)2 2,22(),225,225( ),0,0(-z

8、z z 三值可知，在圆9)2()2(2 2-+-y x 上函数最大值为25=z ，最小值为0=z . 析 1）在闭域上求函数最值只需找出在开区域和边界上的可疑点，最后比较函数值即可.而不需要判断是否为极值点. 2）在求方程组的解时，要注意方程的对称性，必要时也可做换元处理，以简化计算. 3）本题在边界上的最值也可考虑写出圆周的参数方程，将问题转化为一元函数的最值问题. 练 1. 求y x xy x y x f 12153),(2 3 -+=的极值. 2. 证明函数y y ye x e y x f -+=cos )1(),(有无穷多个极大值，但无极小值. 3. 在椭球面122 2222=+c z

9、 b y a x 的第一卦限求一点，使该点的且平面与三坐标面围成的四 面体的体积最小. 4. 求抛物线2 x y =与直线02y x 之间的距离. 3. 偏导数的几何应用 例1. 求曲面21322 2 2 =+z y x 平行于平面064=+z y x 的切平面方程. 解 令 2132),(2 2 2 -+=z y x z y x F ， 曲面在点),(z y x 处的法向量为 )6,4,2(),(z y x F F F n z y x = ， 已知平面的法向量为)6,4,1(1=n ，而切平面与已知平面平行，所以1/n n ，从而有 6 64412z y x = =， （1） 又因为点在切面

10、上，应满足曲面方程 2132222=+z y x （2） (1)、（2）联立解得切点为)2,2,1(及)2,2,1(，所以所求切平面方程为： 0)2(6)2(4)1(=-+-+-z y x ， 或 0)2(6)2(4)1(=+z y x . 析 1）由于已经给出平面的法向量，关键是求出切点，直接利用平面的点法式方程即可. 2） 法向量的求法:由曲面方程0),(=z y x F 得 ),(z y x F F F n = . 如果曲面方程为 ),(y x f z =,那么),(),(y x f z z y x F -=,或=),(z y x F z y x f -),(. 对应的法向量就 为 )1

11、,(y x f f n -= 或 )1,(-=y x f f n . 3）注意不要把 1/n n 写成 1n n =，它们的分量是对应成比例而不一定相等，否则将得出错误结论. 4）两个平面要独立写出，千万不要用大括号联立.还有就是万万不可把平面方程写成了直线啊. 2. 求曲线62 2 2 =+z y x ，0=+z y x 在点)1,2,1(0-P 处的切线及法平面方程. 解 曲线方程为 ? ?=+=+0 6 222z y x z y x ， 取x 为自变量，则y 和z 看作x 的函数，即)(),(x z z x y y =.那么曲线的切向量 )(),(,1(x z x y = . 方程组两边

12、对x 求导，得 ? ?=+=+0 16 222z y z z y y x ， 解得 z y y x z z y x z y -=-= ,. 将点)1,2,1(0-P 代入，得切向量为 )1,0,1(-= . 所以曲线在点)1,2,1(0-P 处的切线为 1 10211-=+=-z y x ， 法平面为 0)1()1(=z x . 析 1）曲线方程为参数形式 ? ? ?=),(),(),(t z z t y y t x x 在点),(0000z y x P 处对应参数为0t ，那么曲线在0P 处的切向量为 )(),(),(000t z t y t x = . 由直线的对称式（点向式）方程可得切线

13、方程为 ) ()()(00 0000t z z z t y y y t x x x -=-=-， 法平面方程为 0)()()(000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x . 2）若曲线方程是一般式(隐函数形式) ? ?=0 ),(, 0),(z y x G z y x F ， 则，那么曲线在0P 处的切向量为 ,P y x y x z z x z z y z y G G F F G G F F G G F F ? ?=. 由于此公式较为复杂，我们经常从z y x ,三个变量中选取一个作为参数，剩余两个看作其函 数例题中的解法就是如此. 练 1. 设曲线? ?=+0,

14、 122322z y x 绕y 轴旋转一周得到一旋转曲面，求该曲面在点 )2,3,0(指向外侧的单位法向量. 2. 求椭球面21322 2 2 =+z y x 上某点M 处的切平面的方程，使过已知直线 2 1 21326: -= -=-z y x L . 3. 在曲线 3 2 ,x z x y =上求点，使该点处的切线平行于平面42=+z y x . 4. 求曲线?=-+-=-+0 4532, 03222z y x x z y x 在点)1,1,1(处的切线方程. 4. 隐函数(组)导数 例1. 设 0e 2e =+z xy z ，求 x z ? ，y z ?. 解 方程两端对x 求偏导数，得

15、 0e 2)(e =?-?x z x z y z xy 即 x z ?=z xy y -+-e 2e ； 方程两端对y 求偏导数，得 0e 2)(e =?-?y z y z x z xy 即 y z ?=z xy x -+-e 2e . 析 当然题目也可用公式法求隐函数的偏导数，那是将),(z y x F 看成是三个自变量x ，y ， z 的函数，即x ，y ，z 处于同等地位. 方程两边对x 求偏导数时，x ，y 是自变量，z 是 x ，y 的函数，它们的地位是不同的. 2. 设 ?=+-+-=-+0 1, 0222xy v u y x v u ，求y v x v y u x u ?,. 解

16、 方程组两端对x 求导，得 ? ?=-+-=-+. 0, 0222y v u x vv uu x x x x 即 ? ? ?=+-=+y v u x vv uu x x x x , 222 则 v u yv x v u y v x x u +-=-= ?1122122，v u yu x v u y x u x v += -= ?1 1 22122. 同样方程组两端对y 求导，得 v u xv y u 2221+-=?, v u xu y v 2221+=?. 析 1) 方程组确定的隐函数个数等于方程的个数,而每个函数自变量的个数为“方程组中所有变量个数”减“方程的个数”. 2) 大家解线性方程

17、组时可以用代入法或直接使用求解公式. 练1. 设方程xyz e z =确定隐函数()y x f z ,=，求x z ?和22y z ?. 2. 设函数 ()y x f z ,=由方程0),(=+x z y y z x F 确定,求x z ?和x y z ?2. 3. 设 ),(t x f y =,而),(y t x x =是由方程0),(=t y x F 所确定的函数,其中F f ,都具有一阶连续偏导数.求 t x d d . 4. 设 ? ? ?-=+=),(),(2 y v x u g v y v xu f u ，,其中g f ,都具有一阶连续偏导数.求 y u ?，和y v ?. 5.

18、偏导数及全微分 例1. 设)2(ln 22 y x y x z -=，求 x z ?，y z ?. 解 x z ?) 2(2)2(ln 22 2 2y x y x y x y x -+-=， =?y z ) 2()2(ln 3222 2y x y x y x y x . 析 1) 利用一元函数求导即可.对其中变量求导,其余的自变量都看作常数. 2) 也可利用多元复合函数求导公式求导. 2. 已知)ln(e ),(23sin xy x y x f x y +?=，求 )0,1(x f . 解 )0,(x f x ln 3=.于是x x f x 3 )0,(= ，3)0,1(=x f . 析 1)

19、 此类题目“先代后求”,或“先求后代”.对于确定一点的一般选后一种方法. 2) 另外分段函数在分界点处要用偏导数定义来求. 3. 设)ln(2 2 y x z +=，求11 d x y z = 解 设 u y x =+22 ，则 u z ln =， 所以 d 1 2d z z u x x u x u ?=?， d 12d z z u y y u y u ?=?， 从而 1 1 d x y z = 111 1 d d x x y y z z x y x y =?+?=d d x y + 练 1. 设?=+=0, 0,0,),(22222 2y x y x y x xy y x f ，求(0,0)

20、,(0,0)x y f f . 2. 求 x y z cos ln = 在点)4 ,1( 处的全微分. 3. 求 2 sin z u xy e =?的全微分. 4. 证明函数? ? ?=+=0,00,1sin )(),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但偏导数在)0,0(不连续，而f 在)0,0(可微 6. 方向导数级梯度 例 求 3 2 yz xy u += 在)1,1,2(0-P 的梯度及沿)1,2,2(-=l 方向的方向导数. 解 k z u j y u i x u u ?+?+?=grad , 而 2323,2,yz z u z xy y u y x u =?+=?=? 故 k z u j y u i x u u ?+?+?=grad k yz j z xy i y ?2 323)2(+=, 则在)1,1,2(0-P 处的梯度为 k j i