2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第3章 命题探秘1 第2课时　利用导数解决函数的零点

1、 第2课时利用导数解决函数的零点 考点一判断、证明或讨论函数零点的个数 eq avs4al(典例1)(2021新高考卷节选)已知函数f(x)(x1)exax2b.从下面两个条件中选一个，证明：f(x)恰有一个零点 eq f(1,2)2a；0a eq f(1,2)，b2a.四字解题读想算思f(x)(x1)exax2b.证明：f(x)恰有一个零点(1)函数f(x)的单调性；(2)函数零点存在定理(1)解 f(x)0,(2)验证极值的正负分类讨论；函数方程；数形结合规范解答证明：f(x)xex2axx(ex2a若选，令f(x)0，可得x0或xln (2a eq f(1,2)a eq f(e2,2)，

2、当xln (2a)时，f(x)0当0 xln (2a)时，f(x)0f(x)在(，0)上单调递增，(0，ln (2a)上单调递减，(ln (2a)，注意到f eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(b,a) eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(b,a)1)e eq r(f(b,a)2a10.f(x)在 eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(b,a)，0) 上有一个零点；又f(ln (2a)ln (2a)12aaln2a ln (2a)2aa ln2(2a)2aa ln (2a由 eq f(1,2)a eq f(e2,2)得00当x0 时，f(x)f(ln (

3、2a)0此时f(x)无零点综上：f(x)在R上仅有一个零点若选，令f(x)0，可得x0或xln (2a0a eq f(1,2)，ln (2a)0或x0当ln (2a)x0时，f(x)0f(x)在(，ln (2a)上单调递增，在(ln (2a)，0)上单调递减，在(0，又f(ln (2a)(ln (2a)1)2aa ln2a ln (2a)2aa ln2(2a)2aa ln (2a0a eq f(1,2)，ln (2a)0，a ln (2a)2ln (2a)0，f(ln (2a)0当x0时，f(x)f(ln (2a)0 时，f(x)单调递增，注意到f(0)b12a10取c eq r(2（1b）2

4、)，b2a eq r(2)1，又易证ecc1，f(c)(c1)ecac2b(c1)(c1)ac2b(1a)c2b1 eq f(1,2)c2b11b1b110，f(x)在(0，c)上有唯一零点，即f(x)在(0，)上有唯一零点综上，f(x)在R上有唯一零点答题模板第一步依据参数的范围，解f(x)0第二步判断函数f(x)的单调性第三步借助函数的图象走势及函数零点存在定理证明函数的零点情况跟进训练1已知函数f(x)ln xkx2，讨论yf(x)2的零点个数解由yf(x)20得ln xkx，因为x0，所以k eq f(ln x,x)，令h(x) eq f(ln x,x) eq blc(rc)(avs4

5、alco1(x0)，则 h(x) eq f(1ln x,x2)，当xe时，h(x)0，h(x)单调递增，当0 xe时，h(x)e时， eq f(ln x,x)0，所以 eq f(ln x,x)0，所以h(x) eq f(ln x,x) eq blc(rc)(avs4alco1(x0)的图象如图所示，所以当k eq f(1,e)时，yf(x)2无零点；当k eq f(1,e)或k0时，yf(x)2只有一个零点；当 eq f(1,e)k0时，yf(x)2有两个零点 考点二已知函数零点个数求参数的取值范围 eq avs4al(典例2)(2020全国卷)已知函数f(x)exa(x2).(1)当a1时，

6、讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围思维流程解(1)当a1时，f(x)exx2，则f(x)ex1.当x0时，f(x)0时，f(x)0.所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)f(x)exa.当a0时，f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增，故f(x)至多存在1个零点，不合题意当a0时，由f(x)0可得xln a当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增故当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a(1ln a).()若0 eq f(1,e)，则f(ln a)0，所以f(

7、x)在(，ln a)存在唯一零点由(1)知，当x2时，exx20，所以当x4且x2ln (2a)时，f(x)e eq f(x,2)e eq f(x,2)a(x2)eln (2a) eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)2)a(x2)2a0.故f(x)在(ln a，)存在唯一零点从而f(x)在(，)有两个零点综上，a的取值范围是 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e)，).与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数

8、图象的交点问题跟进训练2已知函数f(x) eq f(1,2)x2a ln x，若a0，函数f(x)在区间(1，e)上恰有两个零点，求a的取值范围解f(x) eq f(1,2)x2a ln x的定义域为(0，)，f(x)x eq f(a,x) eq f(x2a,x).因为a0，由f(x)0，得x eq r(a)，f(x)0，得0 x eq r(a).即f(x)在(0， eq r(a)上单调递减，在( eq r(a)，)上单调递增若 eq r(a)1，即0a1时，f(x)在(1，e)上单调递增，f(1) eq f(1,2)，f(x)在区间(1，e)上无零点若1 eq r(a)e，即1ae2时，f(

9、x)在(1， eq r(a)上单调递减，在( eq r(a)，e)上单调递增，f(x)minf( eq r(a) eq f(1,2)a(1ln a).f(x)在区间(1，e)上恰有两个零点， eq blc(avs4alco1(f（1）f(1,2)0，,f（r(a)）f(1,2)a（1ln a）0，,f（e）f(1,2)e2a0，)ea0，f(e) eq f(1,2)e2a0)有两个不同的解，即方程 eq f(ln x,x) eq f(ln a,a)有两个不同的解设g(x) eq f(ln x,x)(x0)，则g(x) eq f(1ln x,x2)(x0)，令g(x) eq f(1ln x,x2)0，得xe，当0 x0，函数g(x)单调递增，当xe