苏教版九年级全册知识点梳理

1、第一章一元二次方程一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a0)，它的特色是：等式左侧十一个关于未知数x的二次多项式，等式右侧是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(xa)2b的一元二次方程。依照平方根的定义可知，xa是b的平方根，当b0时，xab，xab，当b0时，方程没有实数根。2、配方法配方法是一种重要的数学

2、方法，它不但在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论依照是完满平方公式a22abb2(ab)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x22bxb2(xb)2。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式：xbb24ac(b24ac0)2a4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。三、一元二次方程根的鉴识式根的鉴识式一元二次方程ax2bxc0(a0)中，b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a

3、0)的根的鉴识式，平时用“”来表示，即b24ac四、一元二次方程根与系数的关系若是方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1，x2，那么x1x2b，ax1x2c。也就是说，关于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方a程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。第二章圆一、圆的相关看法1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”二、弦、弧等与圆相关的定义1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

4、（如图中的AB）2）直径经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）直径等于半径的2倍。3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，而且均分弦所对的弧。推论1：（1）均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧。（3）均分弦所对的一条弧的直径垂直

5、均分弦，而且均分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心直径垂直于弦均分弦均分弦所对的优弧均分弦所对的劣弧知二推三四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角极点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，若是两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距

6、中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量都分别相等。六、圆周角定理及其推论1、圆周角极点在圆上，而且两边都和圆订交的角叫做圆周角。2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论3：若是三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。七、点和圆的地址关系设O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：dr点P在O外。八、过三点的圆1、过三点的圆不在同素来线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆经过三角形的三个极点的圆叫

7、做三角形的外接圆。3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直均分线的交点，它叫做这个三角形的外心。4、圆内接四边形性质（四点共圆的判断条件）圆内接四边形对角互补。九、反证法先假设命题中的结论不成立，尔后由此经过推理，引出矛盾，判断所做的假设不正确，从而获取原命题成立，这种证明方法叫做反证法。十、直线与圆的地址关系直线和圆有三种地址关系，详尽以下：（1）订交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆订交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。若是O的半径为r，

8、圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与O订交dr；十一、切线的判断和性质1、切线的判判定理经过半径的外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。十二、切线长定理1、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线均分两条切线的夹角。十三、三角形的内切圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角均分线的交点，它叫做三角形的内心。十四、圆和圆的地址关系、圆和圆的地址关系若是

9、两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。若是两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。若是两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆订交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆地址关系的性质与判断设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆订交R-rdr）两圆内含dr）4、两圆相切、订交的重要性质若是两圆相切，那么切点必然在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；订交的两个圆的连心线垂直均分两圆的公共弦。十五、正多边形和圆、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形

10、和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。十六、与正多边形相关的看法、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。十七、正多边形的对称性、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对

11、称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法先用量角器或尺规均分圆，再做正多边形。十八、弧长和扇形面积、弧长公式n的圆心角所对的弧长l的计算公式为lnr1802、扇形面积公式S扇nR21lR3602其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积S1l?2rrl2其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。2、弦切角定理弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即：BAC=ADC3、切割线定理PA为O切线，PBC为O割线，PA2PB?PC补充知识点：5定义：圆是定点的距离等于定长的点的会集。其中，定点叫做圆心，定

12、长叫做半径。圆相关的看法：1、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。3、定点在圆上的角叫做圆心角。4、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。可以互相重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，可以互相重合的弧叫做等弧。与圆的地址关系：在平面内，点与圆有3中地址关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。若是设O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么“点P在圆内dr;点P在圆上d=r；点P在圆外dr”5.2圆的对称性圆是中心对称图形，圆心是对称中心。

13、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。圆心角、弧、弦之间的关系（等同等定理）：在同圆或等圆中，若是两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量都分别相等。5.3圆周角看法：极点在圆上，而且两边都和圆订交的角叫做圆周角。定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。（圆心与圆周角的地址关系分为三种情况：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外面）推论：1、直径（或半圆）所对的圆周角是直角。、90的圆周角对的弦是直径。5.4确定圆的条件条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。三角形的外接圆：三角形的三个极点确定一个圆，这个圆叫做三角形

14、的外接圆。外接圆的圆心是三角形的三边的垂直均分线的交点，这个点叫做三角形的外心。这个三角形叫做圆的内接三角形5.5直线与圆的地址关系1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆订交。（dr）2、直线与圆有唯一的公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。（d=r）3、直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。（dr）直线与圆的地址关系可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区分，它们的结果是一致的。切线的性质与判断：判断：经过半径的外端而且垂直于这条半径的直线式圆的切线。性质：（圆的切线垂直于过切点的半径）经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点。

15、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线与圆只有一个公共点；切线与圆心的距离等于半径；切线垂直于过切点的半径。内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角均分线的交点。这个三角形叫做圆的外切三角形。5.6圆与圆的地址关系性质与判断：若是两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆订交R-rdR+r（Rr）两圆内切d=R-r(Rr)两圆内含0dR-r（Rr）连心线的性质：圆是轴对称图形，从上表中可以看出它们都是轴对称图形。沿O1、O2所在直线（连心线）对折，发现：两圆相切，直线O1O2必过切点；两圆订交，连心线

16、垂直均分它们的公共弦。5.7正多边形与圆正多边形看法：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。性质：正多边形都是对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，没条对称轴都经过n边形的中心。一个正多边形若是有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。若是一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。边数相同的正多边形相似。任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。友情提示：（1）边数相同的正多边形相似，这是解与正多边形相关问题常用到的知识。2）任何三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆。过正多边形任意三个极点的圆就是这个正多边形的外接圆。作正

17、多边形：作半径为R的正n边形的要点是n均分圆。这就要学习两种方法：用量角器均分圆，可以作任意正多边形，这是近似作法。详尽地说先计算出极点在圆心的角的度数，即正n边形的圆心角为将圆均分，按次连接各分点，就作出正n边形。，尔后依次用量角器用尺规均分圆，作正方形和正六边形。详尽地说：先作出两条互相垂直的直径，将圆四均分，按次连接各分点，就做出正方形；用圆规从圆上一点按次截取等与半径的弦，将圆六均分，按次连接各均分点，就作出正六边形。友情提示：在作正多边形时，要从圆周上某一点开始连续截取等弧，否则，易产生误差。5.8弧长及扇形的面积圆周长公式:圆周长C=2R(R表示圆的半径)2.弧长公式:弧长lnR(

18、R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)1803.扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4.弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5.圆的面积公式.圆的面积SR2(R表示圆的半径)6.扇形的面积公式:扇形的面积S扇形nR2表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)(R360弓形的面积公式:(如图5)ABOOOABABCCC5当弓形所含的弧是劣弧时,S弓形S扇形S三角形当弓形所含的弧是优弧时,S弓形S扇形S三角形(3)当弓形所含的弧是半圆时,弓形12S扇形SR25.9圆锥的侧面积和全面积1.圆锥可以看作是一个直角三角形绕着

19、直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.2.圆锥的侧面张开图与侧面积计算:圆锥的侧面张开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的极点.若是设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l,底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:S侧11rlrlcl222S表S侧S底面rlr2r(rl)与圆相关的辅助线如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.圆内接四边形若四边形的

20、四个极点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特色:圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.第三章数据的集中趋势和失散程度知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特色数，可是描述的角度不相同，其中平均数的应用最为广泛。知识点2：表示数据失散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反响这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。极差=最大值最小值，一般来说，极差小，则说明数据的颠簸幅度小。知识点3：生活中与极差相关的例子在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的失散程度，

21、比方一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。一家公司成中最高收入与最低收入的差。知点4：平均差的定在一数据x1，x2，xn中各数据与它的平均数的差的的平均数即T=叫做数据的“平均差”。“平均差”能刻画一数据的失散程度，“平均差”越大，明数据的失散程度越大。知点5：方差的定在一数据x1，x2，xn中，各数据与它的平均数差的平方，它的平均数，即S2=来描述数据的失散程度，并S2叫做数据的方差。知点6：准差方差的算平方根，即用S=来描述一数据的失散程度，并把它叫做数据的准差。知点7：方差与平均数的性若x2，有，x，x的方差是S，平均数是12nx1+b，x2+bxn+b的方差S2，平均数是+bax1，

22、ax2，axn的方差a2s2，平均数是aax1+b，ax2+b，axn+b的方差a2s2，平均数是a+b第四章等条件下的概率第五章二次函数1、定：一般地，若是yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数。自量的取范是全体数。2、二次函数yax2的性：（1）抛物yax2的点是坐原点，称是y；（2）函数yax2的像与a的符号关系：当a0抛物张口向上点其最低点；当a0抛物张口向下点其最高点。（3）点是坐原点，称是y的抛物的剖析式形式yax2（a0）。23、二次函数yaxbxc的像是称平行于（包括重合）y的抛物。24、二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中hb

23、4acb2，k4a。2a5、二次函数由特别到一般，可分为以下几种形式：yax2；yax2k；yaxh2；yaxh2k；yax2bxc。6、抛物线的三要素：张口方向、对称轴、极点。a的符号决定抛物线的张口方向：当a0时，张口向上；当a0时，张口向下；a相等，抛物线的张口大小、形状相同。平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0。7、极点决定抛物线的地址。几个不相同的二次函数，若是二次项系数a相同，那么抛物线的张口方向、张口大小完满相同，可是极点的地址不相同。8、求抛物线的极点、对称轴的方法2b2（1）公式法：yax2bxcaxb4ac，极点是2a4a（b4acb2b。（P26-

24、9），）2a4a，对称轴是直线x2a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的剖析式化为yaxh2k的形式，获取极点为(h,k)，对称轴是直线xh。（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直均分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是极点。注意：用配方法求得的极点，再用公式法或对称性进行考据，才能做到万无一失。题11：抛物线yx2x4的极点坐标是()6A(3，-5)B(-3，-5)C(3，5)D(-3，5)9、抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用（1）a决定张口方向及张口大小，这与yax2中的a完满相同。（2）b和a共同决定抛物线对称轴的地址。由

25、于抛物线yax2bxc的对称轴是直线。xb，故：b0时，对称轴为y轴；b0（即a、b同号时，对2aa称轴在y轴左侧；b0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。a（3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的地址。当x时，c，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，0yc）：c0，抛物线经过原点；c0,与y轴交于正半轴；c0,与y轴交于负半轴。以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b0。a10、几种特其他二次函数的图像特色以下：函数剖析式张口方向yax2yax2k0时当ayaxh2张口向上yaxh2k当a0时张口向下yax2bxc对称轴极点坐标x0（y

26、轴）（0,0）x（y轴）(0,k)0 xh(h,0)xh(h,k)(b4acb2b，x2a4a2a)11、用待定系数法求二次函数的剖析式（1）一般式：yax2bxc。已知图像上三点或三对x、y的值，平时选择一般式。（2）极点式：yaxh2k.已知图像的极点或对称轴，平时选择极点式。（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，平时采用交点式：yaxx1xx2。题：已知关于x的一元二次方程x2mx2，有两个实数根x1、m-1)12-2(-1)(0 x2，且x12x224求m的值。题13：先化简，再求值：x25x61312，其中x33x23xx1x3题B31，0)，点A在第一象限内，且AOB1

27、4：在平面直角坐标系中，(60，ABO。45求点A的坐标；求过A、O、B三点的抛物线剖析式；动点P从O点出发，以每秒2个单位的速度沿OA运动到点A止，若POB的面积为S，写出S与时间t(秒)的函数关系；可否存在t，使POB的外心在x轴上，若不存在，请你说明原由；若存在，央求出t的值。12、直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)。（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc)。（3）抛物线与x轴的交点。二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根。抛物线与x轴的交点

28、情况可以由对应的一元二次方程的根的鉴识式判断：有两个交点0抛物线与x轴订交；有一个交点（极点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离。（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点：同（3）相同可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根。（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图ykxn像G的交点，由方程组yax2bxc的解的数目来确定：方程组有两组不相同的解时l与G有两个交点；方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点。（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故：x1x2b,x