【教学资料精创】概率专题练习-高三数学一轮复习

1、概率专题1心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，统计情况如下表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对他们的答题进行研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望 附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.879

2、10.8282.某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，第六组，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图（1）求该学校高三年级男生的平均身高；（2）求这50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（3）从这50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为，求的数学期望（附：参考数据：若服从正态分布，则，）

3、3中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的传统习俗，如过大年吃饺子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道，某家庭过大年时包有大小和外观完全相同的肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子，一家4口人围坐在桌旁吃年夜饭，当晚该家庭吃饺子时每盘中混放8个饺子，其中肉馅饺子4个，蛋馅饺子和素馅饺子各2个，若在桌上上一盘饺子大家共同吃，记每个人第1次夹起的饺子中肉馅饺子的个数为，若每个人各上一盘饺子，记4个人中第1次夹起的是肉馅饺子的人数为，假设每个人都吃饺子，且每人每次都是随机地从盘中夹起饺子（1）求随机变量的分布列；（2）若,的数学期望分别记为、，求4某市举行

4、“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150内，其频率分布直方图如图（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(110,130与(130,150各抽取多少人?（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设表示得分在区间(130,150中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望5（本小题满分12分）西成高铁的开通极大地方便了汉中人民的出行。开通之前必须检测轨道中某新技术的三项不

5、同的指标、是否合格。假设该新技术的指标、独立检测合格的概率分别为、，指标、检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响。（1）求该新技术检测得8分的概率；（2）记该新技术的三项指标中被检测合格的个数为随机变量，求的分布列与数学期望。6.【2018天津卷16】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡

6、眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.7.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示(1)求这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间

7、的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；(2)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；(3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量，求的分布列与数学期望8.某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需的时间(单位:分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为(1)求直方图中的值；(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)从

8、学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于 40分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)9. 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣（1）完成下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男55女合计（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随

9、机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差附表：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635参考公式：10自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示：（1）采用分层抽样的方式从年龄在内的人中抽取人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？（2）在（1）中选出人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在全市18岁到

10、80岁的市民中抽取4人，其中男性使用的人数记为，求的分布列.11.随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”的赞成人数如下表：年龄（单位：岁）15,25）25,35）35,45）45,55）55,65）65,75）频数510151055赞成人数51012721（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成的人数不赞成的人数合计（2）若从年龄在25,35）和

11、55,65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在55,65）的概率.参考公式：，.参考数据：12（本小题满分12分）第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时）收看人数1430162282012（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：男女合计体育达人40非体育达人30合计并判

12、断能否有的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 .13.针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持保留不支持岁以下岁以上（含岁）（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“不支持”态度的

13、人中抽取了人，求的值；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取人看成一个总体，从这人中任意选取人，求岁以下人数的分布列和期望；（3）在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过概率.14.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况

14、好评对车辆状况不满意合计（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中.152018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一

15、支球队，现有三人参与竞猜.（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为，男球迷选择德国队的概率为，记为三人中选择德国队的人数，求的分布列和数学期望.16. 为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发国家学生体质健康标准（2014年修订），要求各学校每学期开展覆盖本校各年级学生的标准测试工作，并根据学生每个学期总分评定等级.某校决定针对高中学生，每学期进行一次体质健康测试，以下是小明同学六个学期体质健康测试的总分情况.学期123456总分（

16、分）512518523528534535（1）请根据上表提供的数据，用相关系数说明与的线性相关程度，并用最小二乘法求出关于的线性回归方程（线性相关系数保留两位小数）；（2）在第六个学期测试中学校根据 标准，划定540分以上为优秀等级，已知小明所在的学习小组10个同学有6个被评定为优秀，测试后同学们都知道了自己的总分但不知道别人的总分，小明随机的给小组内4个同学打电话询问对方成绩，优秀的同学有人，求的分布列和期望. 参考公式： ，；相关系数；参考数据：，.17. 为创建文明城市，我市从年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作.为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民

17、抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.组别频数（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布， 近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求；（2）在（1）的条件下,市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励:（）得分不低于的可以获得2次抽奖机会，得分低于的可以获得1次抽奖机会；（）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元）概率现有市民甲要参加此次问卷调查，记 (单位：元)为该市民参加问卷调查所

18、获得的所有奖券面值和,求的分布列与数学期望.附：参考数据与公式，若，则；.答 案1. 】（1）有的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）答案见解析【解析】（1）由表中数据得的观测值，3分所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关5分（2）由题可知可能取值为0，1，2，6分，7分，8分，9分故的分布列为：01210分12分2. 【答案】（1）；（2）10人；（3）【解析】（1）由直方图可知该校高三年级男生平均身高为3分（2）由频率分布直方图知，后两组频率为，人数为，即这名男生身高在以上（含）的人数为人5分（3），而，6分所以全省前名的身高在以上（含），这人中以上（含）的有人7分随机变量可

19、取，8分于是，11分12分3. 【答案】（1）见解析；（2）4【解析】（1）随机变量的可取值为0，1，2，3，41分；2分；3分；4分；5分6分故随机变量X的分布列为:X01234P7分(2)随机变量X服从超几何分布：，9分随机变量，11分12分4.【答案】（1）20；（2）5，2；（3）见解析【解析】（1）由题意知之间的频率为：，2分，获得参赛资格的人数为4分（2）在区间与，在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人分在区间与各抽取5人，2人结果是5，26分（3）的可能取值为0，1，2，则：7分；8分；9分；10分故的分布列为：01212分5. 解:(1)记“该新技术的三项指标、独立检

20、测合格”分别为事件A，B，C，则P(A)eq f(2,3)，P(B)eq f(2,3)，P(C)eq f(1,2)，所以事件“该新技术检测得分为8分”可表示为AC.所以该新技术量化检测得分为8分的概率为P(AC)P(A)P()P(C).-4分(2)的所有可能取值为0，1，2，3.由题意结合(1)知，P(0)P()eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,18)，-5分P(1)P(ABC)eq f(2,3)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(5,18).

21、P(2)P(ABACBC)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(4,9).P(3)P(ABC)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(2,9). -8分所以随机变量的分布列为0123Peq f(1,18)eq f(5,18)eq f(4,9)eq f(2,9)所以E()0eq f(1,18)1eq f(5,18)2eq f(4,9)3eq f(2,9)eq f(11,6).-12分6.解：（）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为

22、322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=k）=（k=0，1，2，3）所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=BC，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=所以，事件A发生的概率为7.【解析】(1)由，得，则平均数为岁.设

23、中位数为，则，故(2)第1,2组抽取的人数分别为2，3设第2组中恰好抽取2人的事件为，则(3)从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为，的所有可能取值为0，1,2,3，所以的分布列为：，8.【答案】( 1 )；(2)；(3)见解析.(3)的可能取值为0，1，2，3，4. 9.【答案】（1）见解析；（2）见解析.（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生，对冰球有兴趣的概率是，由题意知，从而X的分布列为：X012345， .10.【答案】（1）男性、女性人数分别为6,4；（2）；（3）见解析. ,所以分布列为：01234

24、P 11.【解析】（1）根据条件得列联表：年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成的人数102737不赞成的人数10313合计203050根据列联表所给的数据，计算得到的观测值为.所以有的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关. （2）由分层抽样可知：55,65）（岁）抽取（人）；25,35）（岁）抽取（人）.年龄在55,65）（岁）记为，年龄在25,35）（岁）记为，则从6人中任取3人的所有情况为：、，共20种情况， 其中至少有一人年龄在55,65）岁的情况有： 、，共16种情况. 记至少有一人年龄在55,65）岁为事件，则.故至少有一人年龄在55,65）岁的概率为.12.（

25、1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以的可能取值为0，1，2.计算概率值得到分布列与数学期望.试题解析：（1）由题意得下表：男女合计体育达人402060非体育达人303060合计7050120的观测值为 .所以有的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以的可能取值为0，1，2.且 ， ， ，所以的分布列为012 .13.解：（1）参与调查的总人数为，其中从持“不支持”态度的人数中抽取了人，所以.（2）在持“不支持”态度的人中，岁以下及岁以上人数之比为，因此抽取的