怎样将一条线段任意黄金分割

1、怎样将一条线段任意黄金分割必-1在数学王国里有一个“数”像 诗一样美妙，它就是美 的密码一一 2（准确值）=0.618（近似值）.两千多年前，古希腊的数学家欧克多索斯发现：将一条线段AB分割成大小两条线段PB _APAP、PB,若小段PB与大段AP的长度之比等于大段AP与全段AB的长度之比，即如,扃1如图1所示.此时线段AP叫做线段AP、PB的比例中项，则可得出这一比值为 2 ，这 种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点.AP8图1那么，应该怎样把一条线段进行黄金分割呢？或者说怎样作出已知线段的黄金分割点 呢？下面提供一种作法：如图2，已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点.图2过点

2、 B 作 BDLAB，使 BD=2 AB；连结AD，在AD上截取DE=DB；在线段AB上截取AP=AE.则点P是线段AB上的一个黄金分割点.那么，为什么点P是线段AB上的一个黄金分割点呢?ax + 事实上，若设AB=a，AP=x，由作图过程可知AP=2 .在RtAABD中，由勾股定理（x+-）2 =2+（-）2可得 22 .整理可得X=a（a-x）.因此点P是线段AB上的一个黄金分割点.实际上，我们不仅可以把一条线段进行黄金分割，而且还可以把一条线段任意进行黄金 分割，如何把一条线段任意进行黄金分割呢？为此我们先看一个与黄金分割有趣的数量关 系.如图3,点C是线段AB的一个黄金分割点（其中点C

3、靠近端点B），由于对称性，在线 段AB上必然还有另一个黄金分割点D （其中点D靠近端点A）. eJi,，AD C*图375-1 AD _BC _ V5-1若设AB=a，由黄金分割的定义，得AC=BD=2 a,而ED AC 2（宇AD=BC=2 a.CD=BD-BC=与a-件匕捋4 =与七穿LCD _ V5-1 :AD C F 3图4于是点C是线段DB的一个黄金分割点（靠近端点D）.利用对称性，再作出线段DB的 另一个黄金分割点E（靠近端点B），则点E 一定是线段CB的一个黄金分割点（靠近端点B）, 如图4所示,这样我们就可以不断地利用对称性对线段AB进行黄金分割.我们不但可以利用与黄金分割有趣

4、的数量关系对一条线段任意进行黄金分割，还可以 利用与黄金分割有关的几何图形对一条线段任意进行黄金分割.黄金矩形如果一个矩形的两边之比具有黄金分割比值，则称这种矩形为黄金矩形，它 是由一个小正方形和另一个小黄金矩形组成的.a _ V5-1事实上，如图5,设大黄金矩形的两边分别为a、，则一 2 ，分出一个正方形后，所余小矩形的两边分别为（a-b）和b，它们的比为.这样我们可以将一个黄金矩形无限分割下去，就可以得到无限多个黄金矩形.黄金三角形 顶角为36的等腰三角形叫做黄金三角形.其底与腰之比为黄金分割比值， 底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点,如图6，AABC中，/A=36，AB=AC，ZACBAB _ BC的平分线 CP 交腰 AB 于 P，则 BC=CP=AP，且ABCACBP，：.眈 BP，即 AP2=BPAB，再作ZABC的平分线交CP于P1,作/BPC的平分线交BP1于P2,得到 BPP/PP1P2, 均为黄金三角形.如此