浙江省杭州高级中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题含解析

1、外装外装订线请不要在装订线内答题内装订线PAGE PAGE 19浙江省杭州高级中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题1.已知集合 P=x|1x4 ， Q=x|2x3 ，则 PQ= （ ） A.x|1x2B.x|1x4C.x|2x3D.x|3x0) 上两点， PO （ O 为坐标原点）的延长线与抛物线 C 的准线交于点 M ，且 MQx 轴，则抛物线 C14.将函数 f(x)=sin2x 的图像向右平移 6 个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 y=g(x) ，则 g(x) 的解析式 g(x)= _，若对于任意 a12,1215.某市安排

2、5名医疗专家去支援3家定点医院，要求每个专家只能去1家医院，每家医院至少分到1名专家，则不同的分配方案有_种（用数字作答） 16.点 P 在函数 y=ex 的图像上，若满足到直线 y=x+a 的距离为2的点 P 有且仅有3个，则实数 17.在 RtABC 中，已知 BC=4 ， AC=3 ， D 是斜边 AB 上任意一点（如图沿直线 CD 将 ABC 折成直二面角 BCDA （如图若折叠后 A ， B 两点间的距离为 d ，则 d 的最小值为_ 三、解答题18.已知函数 f(x)=2sin（1）求 f(x) 的单调递增区间和最值； （2）若函数 g(x)=f(x)a 在 0,219.如图，在四

3、棱锥 PABCD 中， PB 底面 ABCD ，底面 ABCD 为梯形， ADBC ， ADAB ，且 PB=AB=AD=3 ， BC=1 （1）若点 F 为 PD 上一点且 PF=13PD ，证明： CF（2）求直线 PA 与平面 BPD 所成角的正弦值 20.已知首项为 32 的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn （ nN（1）求数列 a（2）求 Sn ，并求 S21.已知函数 f(x)=x2+axb（1）当 a=1 时，求 b 的值，并求 f(x) 的单调递增区间； （2）设 a0 ，若对任意 x0,3 ，使得 f(x)0) 的直线 l1 ，交拋物线于 A ， B 两点（点 A 在第

4、一象限），直线 l 交 x 轴于点 M ，过点 A 作斜率为 k2 的直线 l2 交抛物线于另一点 C ，且交 x 轴于点 N ，且满足 （1）若 k1=1 ，求 （2）求 S1答案解析部分一、选择题1.已知集合 P=x|1x4 ， Q=x|2x3 ，则 PQ= （ ） A.x|1x2B.x|1x4C.x|2x3D.x|3x4【答案】 C 【考点】子集与交集、并集运算的转换 【解析】【解答】解：根据题意，结合交集的定义得 PQ=x|2x3.【分析】根据交集的定义直接求解即可.2.i(1+2i)= （ ） A.1+2iB.2+iC.12iD.2i【答案】 B 【考点】复数代数形式的混合运算 【解

5、析】【解答】解：由题意得i(1+2i)=i+2i2=-2+i， 故答案为：B 【分析】根据复数的运算直接求解即可.3.若 AP=14PB ， A.45B.45C.54D.-【答案】 D 【考点】向量加减混合运算及其几何意义，向量数乘的运算及其几何意义，向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】解：AB=【分析】根据向量的线性运算直接求解即可.4.某几何体的三视图如图，正视图和侧视图是两个全等的半圆，俯视图中圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ） A.43B.23C.4【答案】 B 【考点】由三视图求面积、体积，球的体积和表面积 【解析】【解答】解：由三视图易知该几何体是半球，且球的半径为1

6、， 则该几何体的体积为V=12【分析】根据三视图的性质，结合球的体积公式求解即可.5.已知实数 x ， y 满足 x+2y0 xy00y3 ，设 z=x+yA.6B.3C.0D.-3【答案】 A 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】解：由题意作出 x+2y0 xy00y3所表示的可行域，如图所示， 令z=0，得初始直线l0：y=-x，平移直线l0 ， 当直线l0经过点A（3,3）时，z=x+y取得最大值，且最大值为6.【分析】根据线性规划的定义，数形结合求解即可.6.在 ABC 中， C=60 ， a+2b=8 ， sinA=6sinBA.31B.35C.5D.6【答案】 A 【考点】正弦定

7、理，余弦定理，正弦定理的应用，余弦定理的应用 【解析】【解答】解：由正弦定理及 sinA=6sinB得a=6b，又 a+2b=8 ， 所以a=6,b=1 又因为C=60， 所以c2=a2+b2-2abcosC，即c2=6【分析】根据正弦定理及余弦定理直接求解即可.7.函数 y=xsinA.B.C.D.【答案】 D 【考点】函数的图象 【解析】【解答】解：当x=0时，y=1，可排除AC； 又当x0,2【分析】利用特殊值法可判断AC，利用导数研究函数的单调性可排除B.8.已知双曲线 C:x2a2y2b2=1 （ A.2B.332C.6D.22【答案】 C 【考点】点到直线的距离公式，双曲线的简单性

8、质 【解析】【解答】解：由e=ca=1+ba2=3得ba=2, 则双曲线的渐近线为y=bax ， 即2【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.9.如图，在棱长为2正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E ， F ， G 分别是棱 AB ， BC ， CC1 的中点， A.2B.5C.3D.6【答案】 D 【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题 【解析】【解答】作 AA1 中点 H ， H 面 EFG ， HG 的中点设为 M ， EF 的中点设为 N ，所以面 BDD1B1 面 EFGH=MN ；设 BD 中点为 O ，所以 D1OMN ，过点 O 做 EF 平行线

9、，即为 AC ，所以面 D1AC 面 EFGH ， P 点的轨迹即为线段 AC ， P故选D【分析】根据题意由正方体的几何性质以及中点的性质即可得出线线平行，再由面面平行的性质定理即可得出当P 点的轨迹即为线段 AC ， PB10.已知 f(x)=aexxx ， x(0,+) ，对任意的 x1 ， x2A.(,e12B.2e,+)【答案】 B 【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】由题意 f(x1)x2f(x2)x10 x1f(x1)x2f(x2)0 ，令 g(x)=xf(x)=aex【分析】首先整理已知条件得到x1f(x1)x2f(x2)0) 上两点， PO （

10、 O 为坐标原点）的延长线与抛物线 C 的准线交于点 M ，且 MQx 轴，则抛物线 C【答案】(32【考点】斜率的计算公式，抛物线的定义，抛物线的标准方程 【解析】【解答】解：由点P（6,6）在抛物线C:y2=2px(p0)，得12p=36，则p=3，所以抛物线C:y2=6x， 则抛物线C的焦点坐标为(32,0)， 又易知点M为直线y=x与直线x=32的交点， 则点M为32，32 把y=32代入y2=6x，得【分析】根据抛物线的定义，结合直线的斜率公式求解即可.14.将函数 f(x)=sin2x 的图像向右平移 6 个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 y=g(x

11、) ，则 g(x) 的解析式 g(x)= _，若对于任意 a12,12【答案】sin(x【考点】正弦函数的单调性，函数y=Asin（x+）的图象变换，正弦函数的零点与最值 【解析】【解答】 f(x)=sin2x 的图像向右平移 6 个单位得 y=sin2(x6故填 sin(x3【分析】根据三角函数的图象变换可求解g(x)，根据正弦函数的性质，运用数形结合思想课求解m的最小值.15.某市安排5名医疗专家去支援3家定点医院，要求每个专家只能去1家医院，每家医院至少分到1名专家，则不同的分配方案有_种（用数字作答） 【答案】 150 【考点】排列与组合的综合 【解析】【解答】每家医院至少分到1名专家

12、，共有5名专家，3家医院 (1)当5=1+1+3时， 即一家医院有三名专家，另外两家各有一 名专家共有C51C41C33A22=10种情况 (2)当5=1+2+2时， 即一家医院有一名专家，另外两家各有两名专家共有【分析】本题考查了排列与组合的综合运用，运用先分组后排列的方法求解即可.16.点 P 在函数 y=ex 的图像上，若满足到直线 y=x+a 的距离为2的点 P 有且仅有3个，则实数 【答案】1+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，点到直线的距离公式 【解析】【解答】先求斜率为1的切线，设切点为 (x0,ex0) ， y=ex故填 1+22【分析】由导函数的几何性质得到切线的斜率

13、，从而求出直线的方程，然后由点到直线的距离公式计算出a的值，经检验得到a的最后取值。17.在 RtABC 中，已知 BC=4 ， AC=3 ， D 是斜边 AB 上任意一点（如图沿直线 CD 将 ABC 折成直二面角 BCDA （如图若折叠后 A ， B 两点间的距离为 d ，则 d 的最小值为_ 【答案】13【考点】三角函数的最值，与二面角有关的立体几何综合题，余弦定理 【解析】【解答】因为二面角 BCDA 是直二面角，即平面 BCD 平面 ACD ，故 BCD 是 BC 与平面 ACD 所成的线面角设 BCD= ，故 ACD=2 ，由三余弦定理得： cosACB=coscos(2)=【分析

14、】根据题意由已知条件即可得出面面垂直，结合面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，由此得出故 BCD 是 BC 与平面 ACD 所成的线面角，设BCD= ， 结合诱导公式以及余弦定理整理得到AB三、解答题18.已知函数 f(x)=2sin（1）求 f(x) 的单调递增区间和最值； （2）若函数 g(x)=f(x)a 在 0,2【答案】 （1）因为 f(x)=2=令 2+2k2x+所以 f(x) 的单调递增区间为 3+k,6+k （以上 kZ ），易知 （2）因为函数 g(x)=f(x)a 在 0,故函数 f(x)=sin(2x+6)+由（1）可知当 x0,2 时， f(x) 在 0,而 f(0)=

15、1 ， f(6)=32 ， f(【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数中的恒等变换应用，函数的零点 【解析】【分析】（1）先对函数f(x)进行三角恒等变换与化简，再根据正弦函数的单调性与最值求解即可； （2）利用函数的零点的几何意义，将函数的零点个数问题，等价转化为两函数的交点问题，运用数形结合的思想求解即可19.如图，在四棱锥 PABCD 中， PB 底面 ABCD ，底面 ABCD 为梯形， ADBC ， ADAB ，且 PB=AB=AD=3 ， BC=1 （1）若点 F 为 PD 上一点且 PF=13PD ，证明： CF（2）求直线 PA 与平面 BPD 所成角的正弦值 【答案】

16、 （1）解1：（利用平行四边形证明直线平行） 证：在 PA 上作点 E 使得 PE=13PA ，连 BE因为点 F 为 PD 上一点且 PF=13PD ，所以 EFAD又由已知可得 ADBC ，且 BC=13AD 所以 EFBC所以四边形 BCFE 是平行四边形，所以 BECF 又 CF 平面 PAB ， BE 平面 PAB ，所以 CF 平面 PAB.解2（利用面面平行证明线面平行）在 AD 上取点 G 使得 AG=13AD ，连 FG因为点 F 为 PD 上一点且 PF=1所以 FGPA ，又 FG 平面 PAB ， PA 平面 PAB ，所以 FG 平面 PAB 又由已知可得 ADBC

17、，且 BC=13AD 所以 AGBC所以四边形 BCGA 是平行四边形，所以 CGAB 又 CG 平面 PAB ， AB 平面 PAB ，所以 CG 平面 PAB 而直线 FG 和 CG 是平面 CFG 内的相交直线，所以平面 CFG 平面 PAB 又 CF 平面 PAB ，所以 CF 平面 PAB 证完解3（利用比例关系证明线线平行）证：延长 AB 和 CD ，设它们的交点为 H ，连 PH 由已知可得 ADBC ，且 BC=13AD因为点 F 为 PD 上一点且 PF=13PD又 CF 平面 PAB ， PH 平面 PAB ，所以 CF 平面 PAB（2）解1：（直接画出线面角） 取 BD

18、 的中点 M ，连 AM 和 PM 因为 ADAB ，且 AB=AD=3 ，所以 AMBD ，且 AM=3因为 PB 底面 ABCD ， AM 底面 ABCD ，所以 AMPB 又 BD 、 PB 是平面 BPD 内的相交直线，所以 AM 平面 BPD 所以 APM 就是直线 PA 与平面 BPD 所成角，且 sinAPM=又 PB=AB=3 ， PB 底面 ABCD ，可得 PA=32所以 sinAPM=AMPA=12 即直线 解2：（等体积法求距离）因为 PB=AB=3 ， PB 底面 ABCD ，可得 PA=32 设点 A 到平面 BPD 的距离为 直线 PA 与平面 BPD 所成角为

19、，则 sin=PA 由已知易得 V由已知条件， PB 底面 ABCD ，底面 ABCD 为梯形， ADBC ， ADAB ，且 PB=AB=AD=3 ，得 SBPD=922 ， SABD=92 得 =解3：（空间向量法）（1）证：依题意，可如图建立空间直角坐标系则B(0,0,0) ， A(0,3,0) ， C(1,0,0) ， D(3,3,0) ， P(0,0,3) ， PF=进而得 CF=CP+PF=(0,1,2) 显然，平面 PAB又 CF 平面 PAB ，所以 CF 平面 PAB（2）由（1）知， PA=(0,3,3) ， PD=(3,3,3) ， 设平面 BPD 的法向量为 m=(x,

20、y,z) ，并记直线 PA 与平面 BPD 所成角为 则 3x+3y3z=0,3z=0, 取 x=1 ，得 y=1 ， z=0 ，故 所以 sin=|PAm|【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，平面与平面平行的性质，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】（1）解法一：先利用平行四边形证明直线平行，再根据线面平行的判定定理求证即可； 解法二：先根据线面平行的判定定理，再结合面面平行的判定定理及性质定理求证即可； 解法三：先利用比例关系证明线线平行，再根据线面平行的判定定理求证即可；（2）解法一：运用几何法直接求解即可； 解法二：运用等体积法直接求解即可； 解法三：运用向量法直接求解即可.20.已知首项为 32 的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn （ nN（1）求数列 a（2）求 Sn ，并求 S【答案】 （1）设等比数列 an 的公比为 q 因为 2S2 ， S即 S4S3=S2所以等比数列 an（2）Sn=1故当 n 为偶数时，