湖南省长沙市三湘名校教育联盟五市十校2020-2021学年高二数学下学期期末考试联考试题含解析

1、PAGE 湖南省长沙市三湘名校教育联盟五市十校2020-2021学年高二数学下学期期末考试联考试题（含解析）一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1已知集合Sx|x2x0，Tx|x2+x0，则ST（）A0B1，0C0，1D1，0，12已知，则（）AB1CD3当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的67.90%，则该遗址距今约（）年（参考数据：log20.67900.5

2、585）A3000B3100C3200D33004已知3sin4cos0，则sin2（）ABCD5已知alog62，blog124，clog186，则（）AcbaBabcCcabDacb6为庆祝建党一百周年，长沙市文史馆举办“学党史，传承红色文化”的主题活动，某高校团委决定选派5男3女共8名志愿者，利用周日到该馆进行宣讲工作已知该馆有甲、乙两个展区，若要求每个展区至少要派3名志愿者，每个志愿者必须到两个展区中的一个工作，且女志愿者不能单独去某个展区工作，则不同的选派方案种数为（）A252B250C182D1807在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为S1，不过球心的任

3、意非圆面的截面的面积为S2，则（）AS1S2BS1S2CS1S2DS1、S2的大小关系不定8若A是圆C所在平面内的一定点，P是圆C上的一动点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9下列关于函数f（x）|sin2x|的结论正确的是（）A函数f（x）是偶函数B函数f（x）的最大值为2C函数f（x）在单调递增D函数f（x）的最小正周期是10已知正三棱锥PABC中，M为PA的中点，PBCM，则（）APBCA

4、BPBPAC该三棱锥的体积是D该三棱锥的外接球的表面积是311已知直线l：ax+y20与C：（x1）2+（ya）24相交于A、B两点，若ABC为钝角三角形，则满足条件的实数a的值可能是（）AB1C2D312设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则（）A当n2时，B当n4时，C当nk（k2且kN*）时，D当n2k（k2且kN*）时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设等差数列an的前n项和为Sn，S42，a63，则Sn的最小值为 14宽与长的比为0.618的矩形叫做黄金矩形它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，

5、令人赏心悦目在黄金矩形ABCD中，BC，ABBC，那么的值为 15已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|4，则|AB| 162020年底，我国已正式对外宣布，实现了全面脱贫的伟大胜利某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，AQQPPB，则PQ （用表示）；据调研发现，当OP最长时该奖杯比较美观，此时的值为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18如图，在平面四边形ABCD中，BC2，ABC90，BCD60，BAD75，求四边形ABCD的面积

6、19为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：超过1小时不超过1小时男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（3）若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校随机调查60名学生，记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为X，求X的数学期望附：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820如图所示，在三棱柱ABCA1B1

7、C1中，底面ABC是正三角形，侧面AA1C1C是菱形，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点D，过点B1，B，D的平面与棱A1C1交于点E（1）证明：四边形BB1ED是矩形；（2）求二面角ABB1E的余弦值21双曲线C的中心在原点O，焦点在x轴上，且焦点到其渐近线y2x的距离为2（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，与其渐近线分别交于M，N（从左至右）两点（）证明：AMBN；（）是否存在这样的直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由22已知函数f（x）xaeax+b（其中e是自然对数的底数），曲线yf（x）在点

8、（1，f（1）处的切线方程是y6e3x5e3（1）求a，b；（2）设函数，若g（x）1在（0，+）上恒成立，求m的取值范围参考答案一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1已知集合Sx|x2x0，Tx|x2+x0，则ST（）A0B1，0C0，1D1，0，1【分析】先分别求出集合S，T，然后由集合并集的定义求解即可解：因为集合Sx|x2x00，1，又Tx|x2+x00，1，所以ST1，0，1故选：D2已知，则（）AB1CD【分析】由已知利用求解解：，|z|2，故选：B3当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.202

9、1年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的67.90%，则该遗址距今约（）年（参考数据：log20.67900.5585）A3000B3100C3200D3300【分析】设生物体死亡后，碳14每年衰减为原来的p，则，解出t的值解：设生物体死亡后，碳14每年衰减为原来的p，依题意，有，设距今约t年，碳14衰减为原来的（1p）t（2）t67.90%，结合参考数据：，可得t3200故选：C4已知3sin4cos0，则sin2（）ABCD【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式和二倍角公式，即可求解解

10、：3sin4cos0，sin，sin2+cos21，解得cos， 或，sin22sincos故选：C5已知alog62，blog124，clog186，则（）AcbaBabcCcabDacb解：由对数运算公式得，易知log23log43log63，cba故选：A6为庆祝建党一百周年，长沙市文史馆举办“学党史，传承红色文化”的主题活动，某高校团委决定选派5男3女共8名志愿者，利用周日到该馆进行宣讲工作已知该馆有甲、乙两个展区，若要求每个展区至少要派3名志愿者，每个志愿者必须到两个展区中的一个工作，且女志愿者不能单独去某个展区工作，则不同的选派方案种数为（）A252B250C182D180【分析】

11、根据题意，分2步进行分析：将8人分为2组，要求每组至少3人且3名女志愿者不能单独成一组，将分好的2组安排到两个展区，由分步计数原理计算可得答案解：根据题意，分2步进行分析：将8人分为2组，要求每组至少3人且3名女志愿者不能单独成一组，有（+1）90种分组方法，将分好的2组安排到两个展区，有2种安排方法，则有902180种选派方法，故选：D7在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为S1，不过球心的任意非圆面的截面的面积为S2，则（）AS1S2BS1S2CS1S2DS1、S2的大小关系不定【分析】根据题意画出图形，结合图形求出不过球心的任意非圆面的截面面积S2和过球心的截面

12、面积S1，比较即可解：如图所示，设球心O到不过球心的任意非圆面的截面的距离为d，则该截面的面积为S2（22d2）（12d2）3，而过球心O的截面的面积为S1（2212）3，所以S1S2故选：A8若A是圆C所在平面内的一定点，P是圆C上的一动点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线【分析】分点在圆上，圆内，圆外三种情况分别讨论即可求出Q的轨迹【解答】设圆C的半径为r，若点A在圆C内不同于点C处，如图（1）所示，则有|QA|+|QC|r|AC|，故点Q的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，所以B正确；若点A与C重合，则有，故点Q的轨迹是以C为圆心，为

13、半径的圆，所以A正确；若点A在圆C上，如图（3）所示，则由垂径定理，线段AP的垂直平分线必过点C，故Q与C重合，故点Q的轨迹是一个点；点A在圆C外，如图（4）所示，则|QA|QP|PC|+|QC|r+|QC|，所以|QA|QC|r|AC|，故点Q的轨迹是以A、C为焦点的双曲线右支，当AP的垂直平分线交CP的延长线于点Q时，Q的轨迹是以A、C为焦点的双曲线左支，所以C正确；故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9下列关于函数f（x）|sin2x|的结论正确的是（）A函数f（x）是偶函数

14、B函数f（x）的最大值为2C函数f（x）在单调递增D函数f（x）的最小正周期是【分析】直接利用函数的图象和性质的应用判断A、B、C、D的结论解：作出函数f（x）的图像如下：由图像易知，函数为偶函数，故A正确；函数的单调性在单调递增，故C正确；函数的最大值为1，故B错误；函数的最小正周期为，故D错误；故选：AC10已知正三棱锥PABC中，M为PA的中点，PBCM，则（）APBCABPBPAC该三棱锥的体积是D该三棱锥的外接球的表面积是3【分析】取AC中点N，连接PN，BN，可得AC平面PBN，得PBAC判断；进一步证明PB平面PAC，得PBPA判断B；求解三角形得PC，求得三棱锥体积判断C；然后

15、求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式判断D解：取AC中点N，连接PN，BN，三棱锥PABC为正三棱锥，PNAC，BNAC，又PNBNN，AC平面PBN，得PBAC，故选项A正确；又PBCM，且ACCMC，PB平面PAC，得PBPA，故选项B正确；又三棱锥PABC为正三棱锥，PAPC，且PAPBPC，在RtPMC中，设PC2x，则PMx，而CM，由勾股定理解得PC1，故三棱锥的体积为，故C错误；其外接球半径为，外接球表面积为3，故D正确故选：ABD11已知直线l：ax+y20与C：（x1）2+（ya）24相交于A、B两点，若ABC为钝角三角形，则满足条件的实数a的值可能是（）AB1C2D3

16、【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，结合题意，可得圆心到直线的距离小于，由此列式求得a的范围，结合选项得答案解：圆C的圆心为（1，a），半径为r2，由于ABC为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则CAB45，设圆心C到直线l的距离为d，则，则，整理可得a24a+10，解得，直线l不过圆心C，则2a20，解得a1结合选项可得满足条件的实数a的值可能是ACD故选：ACD12设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则（）A当n2时，B当n4时，C当nk（k2且kN*）时，D当n2k（k2且kN*）时，【分析】利用随机变量的概率，结合相

17、互独立事件的概率公式，对四个选项依次分析判断即可解：对于A，当n2时，故选项A正确；对于B，当n4时，因为XY，且X+Y4，可得X3，Y1或X2，Y2，所以，故选项B错误；对于C，当nk（k2且kN*）时，则，故选项C正确；对于D，故选项D正确故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设等差数列an的前n项和为Sn，S42，a63，则Sn的最小值为 3【分析】设等差数列an的公差为d，根据S42，S63即可计算出Sn再结合二次函数的性质即可得到Sn的最小值解：设等差数列an的公差为d，由S42，得4a1+d2，即2a1+3d1，又a63，得a1+5d3，联立解得a12，d

18、1，所以Sn2n+1n2n，由于nN+，根据二次函数性质可知当n2或3时Sn有最小值，且最小值为S2S33故答案为：314宽与长的比为0.618的矩形叫做黄金矩形它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目在黄金矩形ABCD中，BC，ABBC，那么的值为 1【分析】由黄金矩形ABCD的定义，可得AB，再由向量数量积的定义，计算可得所求值解：由黄金矩形的定义，可得AB1，BC，（）+1，故答案为：115已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|4，则|AB|【分析】设过F（1，0）的直线方程为xmy+1，联立直线与抛物线方程，可得y24my40，再结合

19、韦达定理和抛物线的定义，即可求解解：设过F（1，0）的直线方程为xmy+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线方程，可得y24my40，由韦达定理，可得y1y24，则，由抛物线的定理，可得|FA|x1+14，x13，故答案为：162020年底，我国已正式对外宣布，实现了全面脱贫的伟大胜利某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，AQQPPB，则PQ10sin（用表示）；据调研发现，当OP最长时该奖杯比较美观，此时的值为 【分析】作OMQP交QP于M，交AB于C，且OCAB，则AOC，由扇形的半径为10

20、可得AB，OC的值，设设AQQPBPx，作QEAB交AB于E，PFAB交AB于F，再由，可得AB的值，求出PM的值，进而求出PQ的值，再求出OP的表达式，由三角函数的辅助角公式化简可得OP取到最大值时的值解：作OMQP交QP于M，交AB于C，且OCAB，则AOC，则AB20sin，OC10cos设AQQPBPx，作QEAB交AB于E，PFAB交AB于F，因为PBAQAB60，所以，EFQPx，所以AB2x，所以AB20sin2x，即x10sin所以，所以，因为sin21，1，所以当sin21，即时，OP2最大，故答案为：10sin，四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过

21、程或演算步骤。18如图，在平面四边形ABCD中，BC2，ABC90，BCD60，BAD75，求四边形ABCD的面积【分析】连接BD，将四边形分割为ABD和BCD，设CBD，通过正弦定理构建方程组求解，从而判断ABD、BCD的形状，进而求面积解：如图，连接BD，设CBD（090）在ABD中，由正弦定理得，即，在BCD中，同理有，即从而有，化简得，因此有，60于是知四边形ABCD是由边长为2的正BCD和腰长为2，顶角ABD30的等腰ABD构成，所以四边形ABCD的面积为19为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取

22、了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：超过1小时不超过1小时男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（3）若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校随机调查60名学生，记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为X，求X的数学期望附：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）结合分层抽样同比例的定义，即可求解（2）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解（3）计算参加社区服务时间超过1小时的概率，用频率估计概率，计算所求的

23、频数即可解：（1）由已知，该校有女生400人，故，得m8，从而n20+8+12+848（2）作出列联表如下：超过1小时的人数不超过1小时的人数合计男20828女12820合计321648，所以不能有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关（3）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率，所以XB（60，），且，k0，1，2，60故X的数学期望20如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是正三角形，侧面AA1C1C是菱形，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点D，过点B1，B，D的平面与棱A1C1交于点E（1）证明：四边形BB1ED是矩形；（2

24、）求二面角ABB1E的余弦值【分析】（1）连接B1E，DE，利用线面平行的判定定理证明B1B平面A1ACC1，由线面平行的性质定理证明B1BDE，即可证明四边形BB1ED为平行四边形，利用线面垂直的判定定理证明BD平面ACC1A1，从而得到BDDE，即可证明四边形BB1ED为矩形；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面DBB1E和平面ABB1A1的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可解：（1）连接B1E，DE，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ABB1为平行四边形，所以B1BA1A，因为B1B平面A1ACC1，A1A平面A1ACC1，所以B

25、1B平面A1ACC1，因为B1B平面BB1D，且平面BB1D平面A1ACC1DE，所以B1BDE，因此A1ADE，因为点D是AC的中点，所以E为A1C1中点，所以B1BDE，所以四边形BB1ED为平行四边形，在正ABC中，因为D是AC的中点，所以BDAC，由题意可知，A1D平面ABC，又BD，BC平面ABC，所以A1DBD，A1DAC，又ACA1DD，所以BD平面ACC1A1，又DE平面ACC1A1，则BDDE，故四边形BB1ED为矩形；（2）由（1）可知，DB，AC，A1D两两垂直，以DB，AC，A1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设AD1，则，在AA

26、1D中，AA12AD，A1DA90，所以，故D（0，0，0），A（0，1，0），所以，设平面DBB1E的法向量为，则，即，令c1，则，设平面ABB1A1的法向量为，则，即，令x1，则，设二面角ABB1E的大小为，由图可知，则，故所求二面角ABB1E的余弦值为21双曲线C的中心在原点O，焦点在x轴上，且焦点到其渐近线y2x的距离为2（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，与其渐近线分别交于M，N（从左至右）两点（）证明：AMBN；（）是否存在这样的直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【分析】（1）设双曲线的标准方程，利用点到直线的距离公式求出b，由渐近线方程可得，从而求出a的值，即可得到答案；（2）（i）设出直线l的方程，联立方程组（0或1），分1时和0时，由韦达定理求出AB和MN的中点坐标，由此确定线段AB，MN的中点重合，即可证明结论；（ii）利用（i）中的结论，得到韦达定理，然后由弦长公式结合韦达定理求出|MN|，|AB|，将，转化为|MN|与|A