陕西省延安市黄陵中学高新部2021届高三数学上学期期中试题文含解析

1、PAGE 陕西省延安市黄陵中学高新部2021届高三数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知a为实数，若复数为纯虚数，则（ ）A. 1B. 0C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合纯虚数的定义，可得，从而可求出的值，进而求出的值即可.【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得.所以.故选：D.【点睛】本题考查纯虚数，考查学生对基础知识的掌握.2. 下列命题中错误的是（ ）A. 命题“若，则”的逆否命题是真命题B. 命题“”的否定是“”C. 若为真命题，则为真命题D. 使“”是“”的必要不充分条件

2、【答案】C【解析】【分析】.利用原命题和其逆否命题的真假一致原理可以判断该命题是正确的；.利用特称命题的否定可以判断该命题是正确的；.中至少有一个是真命题，则不一定是真命题，所以该命题是错误的；.里哟红必要不充分的定义可以判断该命题是正确的.【详解】.命题“若，则”是真命题，所以它的逆否命题是真命题，所以该命题是正确的；.命题“”的否定是“”,所以该命题是正确的；.若为真命题，中至少有一个是真命题，则不一定是真命题，所以该命题是错误的；.，不一定有“”，如：，所以是非充分条件；“”,一定有，所以是必要条件.所以该命题是正确的.故选：C【点睛】本题主要考查四种命题和特称命题的否定，考查复合命题的

3、真假，考查充分条件和必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3. 已知定义在上的奇函数满足，当时， ，则的值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由得到的周期为，从而，再利用奇偶性得到，利用给定的函数的解析式可求.【详解】由得到，所以的周期为，所以，又为奇函数，故，而，故，所以即，选A.【点睛】一般地，如果上的奇函数满足，那么的一个周期为，并且的图像关于直线对称.4. 已知等比数列的前n项和为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果.【详解】因为等比数列的前n

4、项和为，且，所以，因此.故选：D.5. 等差数列中，则数列的公差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由可知，结合可求出【详解】， 即故选：B点睛】本题考查等差中项、等差数列通项解决等差数列基本量计算问题利用方程的思想.等差数列中有五个量一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量和；成等差数列.6. 函数的图象的相邻两个对称中心间的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：相邻两个对称中心间的距离是半周期，为.考点：三角函数图象与性质.7. 已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由于，结合，

5、且与的夹角为，求得将它们代入求值即可【详解】向量，满足，且与的夹角为则故选：A【点睛】本题考查了向量的数量积，根据已知向量的模、夹角求目标向量的模8. 函数的图像可由函数的图像（ ）A. 向左平移个单位得到B. 向右平移个单位得到C. 向左平移个单位得到D. 向左平移个单位得到【答案】A【解析】【分析】先将转化为，然后再利用三角函数图象的平移变换求解.【详解】因为,所以将向左平移可得到故选：A9. 中，角所对的边分别为，已知向量，且共线，则的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由向量共线的坐标表示得一等式，然后由

6、正弦定理化边为角，利用诱导公式得展开后代入原式化简得，分类讨论得解【详解】共线，即，整理得，所以或，或或（舍去）三角形为直角三角形或等腰三角形故选：D.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查向量共线的坐标表示，考查正弦定理，两角和的正弦公式，考查三角函数性质解题时不能随便约分漏解10. 已知函数的最大值为，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列判断正确的是（）A. 函数在上单调递增B. 函数的图像关于直线对称C. 当时，函数的最小值为D. 要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】根据题意求出函数f（x）的解析式，再判断四个选项中的命题是否正

7、确即可【详解】函数f（x）Asin（x+）中，A，T，2，又f（x）的图象关于点（，0）对称，x+2（）+k，解得k，kZ，；f（x）sin（2x）；对于A，x，时，2x，f（x）是单调递减函数，错误对于B，x时，f（）sin（2）0，f（x）图象不关于x对称，错误；对于C，x，时，2x，sin（2x），1，f（x）的最小值为，C错误；对于D，ycos2x向右平移个单位，得ycos2（x）cos（2x）的图象，且ycos（2x）cos（2x）sin（2x），正确；故选D【点睛】本题考查了由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，以及正弦函数的图象和性质的应用问题，是中档题确定yAsin(x)

8、b(A0，0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A，b；(2)求，确定函数的最小正周期T，则可得；(3)求，常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)特殊点法：确定值时，往往以寻找“最值点”为突破口具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时x；“最小值点”(即图象的“谷点”)时x.11. 已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把函数交点有两个零点转化为函数图象与直线有两个交点，作出对应函数

9、图象和直线，利用导数求出相应切线的斜率，由图象观察出的范围【详解】，所以函数的图象与直线有两个交点，作出函数的图象，如下图，由得，设直线与图象切点为，则，所以由得，与在原点相切时，由得，与在原点相切时，所以直线，与曲线相切，由直线与曲线的位置关系可得：当时有两个交点，即函数恰有两个零点.故选：C.【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把函数零点转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，作出函数图象与直线通过数形结合思想求解12. 已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意,

10、建立平面直角坐标系.令.为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为的最大值.【详解】根据题意,设,则由代入可得即点的轨迹方程为又因为,变形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示:所以的最小值即为到直线的距离最小值根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大值设切线的方程为,化简可得由切线性质及点到直线距离公式可得,化简可得 即 所以切线方程为或所以当变化时, 到直线的最大值为 即的最大值

11、为故选:B【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13. 将函数，图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则_.【答案】【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式，可得的值【详解】解：将函数，图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得的图象，再向右平移个单位长度得到的图象，且，解得，函数，故答案为：【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题14. 函数（且）的图象过定点，则点

12、的坐标为_.【答案】【解析】【分析】根据指数函数的性质,令幂指数为,进行求解即可求出定点坐标.详解】由得,此时,即函数过定点，故答案为: .【点睛】本题考查指数函数恒过定点问题,难度容易.15. 已知函数，对于，且当时，恒有，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】依题意，构造函数，则函数在上单调递减，利用导数研究函数的单调性，则恒成立，再根据参变分离，即可得解.【详解】解：由，可知，则函数在上单调递减.，.，实数a的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查函数的求导、构造函数、根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.16. 给出以下四个结论：函数的对称中心是；若关于的方程在没有

13、实数根，则的取值范围是；在中，“”是“为等边三角形”的充分不必要条件；若的图象向右平移个单位后为奇函数，则最小值是.其中正确的结论是_【答案】【解析】【分析】对四个结论逐个分析，可选出答案.【详解】对于，其图象由的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，故的对称中心为，即正确；对于，由，可得.令，且，显然函数在上单调递减，则，又因为时，故在的值域为，所以当时，关于的方程在没有实数根，即错误；对于，先来判断充分性，当时，可得，所以，即，所以为等腰三角形，不能推出为等边三角形，即充分性不成立；再来判断必要性，当为等边三角形时，可得，则，故，即必要性成立，故不正确；对于，的图象向右平移个单位后

14、，得到，由为奇函数，可得，则，解得，当时，取得最小正值为，故不正确.所以，正确的结论是.故答案为：.【点睛】本题考查函数的对称中心，考查三角函数的平移变换及奇偶性的应用，考查利用参变分离法解决方程的解的存在性问题，考查充分性与必要性的判断，考查学生的推理论证能力与计算求解能力，属于中档题.三、解答题：（17题10分，其余都是12分，共70分）17. 在中，内角所对的边分别为，已知（1）求角大小；（2）已知，面积为6，求边长的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式把降次，再用两个角的和的余弦公式求，由三角形三内角和定理可求得，从而求得角；（2）根据三角形的面积公式求

15、出边，再由余弦定理求边.【详解】试题分析：（1）由已知得，化简得，故，所以，因为，所以.（2）因为，由，所以，由余弦定理得，所以.【点睛】本题主要考查了两角和差公式的应用及利用余弦定理解三角形，属于基础题.18. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图的的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月用水量的中位数.【答案】(1) ； (2)36000；（3）.【解析】【分析】

16、本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（）问，由高组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（）问，利用高组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率样本容量=频数，计算所求人数；第（）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2x2.5，再估计月均用水量的中位数.【详解】（）由频率分布直方图，可知：月均用水量在0,0.5）的频率为0.080.5=0.04.同理，在0.5,1），1.5,2），2,2.5），3,3.5），3.5,4），4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0

17、.25，0.06，0.04，0.02.由1（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5a+0.5a，解得a=0.30.（）由（）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 0000.12=36000.（）设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.730.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5所以2x2.5.由0.50（x2）=0.50.48，解得x=2.04

18、.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础19. 已知向量，函数（1）求的单调递增区间；（2）在中，分别是角，的对边且，求，的值【答案】（1）单调递增区间是，（2）【解析】【分析】（1）根据函数利用向量坐标关系即可求解化简，结合三角函数性质即可求解的单调递增区间（2）根据，求解，结合余弦定理，即可求解，的值【详解】解：（1）由；令，得：，的单调递增区间

19、为，（2）由（1）可得（C）即，可得：由余弦定理：，可得：，由解得：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，向量坐标的运算，余弦定理的应用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键20. 已知函数（，为常数），点的横坐标为0，曲线在点处的切线方程为（1）求，的值及函数的极值；（2）证明：当时，【答案】（1），极小值为；无极大值（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求得，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论【详解】（1）由已知代入切线方程得，令得，当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，即为极小值；无极大值（2）令，则，由（1）知在上为增函数，即.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式属于中档题.21. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线（）与直线和曲