初中数学华东师大八年级上册第章 全等三角形全等三角形教案

1、第13章 全等三角形本章的内容包括命题、定理与证明、三角形全等的判定、等腰三角形、尺规作图、逆命题与逆定理几部分内容相对独立，也有相互间的内在联系本章研究了命题、定理的条件与结论，以及原命题与它的逆命题、原定理与它的逆定理之间的关系，这些术语在今后的学习中会经常遇到对于全等三角形的判定方法，判定三角形全等的三个基本事实是我们进行演绎推理的重要依据，它们是静态的角度探索发现的依据三角形的基本元素判定三角形全等的方法实质上，它们和动态的全等三角形定义是一致的，在这些条件下的两个三角形一定可以通过图形的基本变换(轴对称、平移与旋转)而相互重合本章对等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线都通过“探索发

2、现演绎证明”的过程进行研究与应用本章在中考中主要考查全等三角形的判定和性质；等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质定理【本章重点】1命题、定理与证明2全等三角形的判定与性质3等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质定理4掌握五种基本的尺规作图方法【本章难点】三角形全等的判定方法的选择【本章思想方法】1体会和掌握分类讨论思想如：在不明确两个全等三角形的对应边时，运用分类讨论的思想方法2体会和掌握数形结合的思想如：在全等三角形的应用问题中，常用到数形结合的思想方法命题、定理与证明 2课时三角形全等的判定 6课时等腰三角形 2课时尺规作图 2课时逆命题与逆定理 3课时命题、定理与证明1 命题

3、(第1课时)一、基本目标了解命题的含义，会区分命题的题设和结论，会判断真命题和假命题，会把命题改写为“如果，那么”的形式二、重难点目标【教学重点】分清命题的题设和结论，熟悉命题的表达式【教学难点】将一个命题改写为“如果，那么”的形式环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P54P55的内容，完成下面练习【3 min反馈】1表示判断的语句叫做命题2许多命题是由条件和结论两部分组成的条件是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题通常可写成“如果，那么”的形式用“如果”开始的部分就是条件，而用“那么”开始的部分就是结论3如果条件成立，那么结论一定成立像这样的命题，称为真命题条件成立

4、时，不能保证结论总是成立，也就是说结论不成立像这样的命题，称为假命题4要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只有举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了在数学中，这种方法称为“举反例”环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】下列句子中，不是命题的是()A三角形的内角和等于180B对顶角相等C过一点作已知直线的平行线D两点确定一条直线【互动探索】(引发学生思考)什么是命题？【分析】C不是可以判断真假的陈述句，不是命题；A、B、D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句，都是命题【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了命题的定义：

5、一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题【例2】将下列命题改写成“如果，那么”的形式(1)能被2整除的数也能被4整除；(2)相等的两个角是对顶角；(3)若xy0，则x0；(4)角平分线上的点到这个角两边的距离相等【互动探索】(引发学生思考)一个命题中，哪部分是条件？哪部分是结论？怎样进行改写？【解答】(1)如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除. (2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角(3)如果xy0，那么x0.(4)如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等【互动总结】(学生总结，老师点评)判断命题的条件和结论时要仔细，条件是已知事项，结论

6、是由已知事项推出的事项活动2 巩固练习(学生独学)1下列语句不是命题的是(C)A两点之间，线段最短B不平行的两条直线有一个交点Cx与y的和等于0吗D对顶角不相等2下列命题是真命题的是(A)A邻补角是两个互补的角B同位角相等C经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行D两条直线相交，有两个角相等，则两条直线互相垂直3命题“同角的余角相等”改写成“如果，那么”的形式可写成：如果两个角是同角的余角，那么它们相等环节3课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！2定理与证明(第2课时)一、基本目标了解基本事实、定理的含义；理解证明的必要性二、重难点目标【教学重点】知道什么是基本事实，

7、什么是定理【教学难点】理解证明的必要性环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P55P57的内容，完成下面练习【3 min反馈】1数学中，有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实2数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理3根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例题】如图，有三个论断：12；BC；AD，请你

8、从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性【互动探索】(引发学生思考)证明的基本步骤有哪些？【解答】已知：12，BC.求证：AD.证明：1CGD，12，CGD2，ECBF，AECB.又BC，AECC，ABCD，AD.【互动总结】(学生总结，老师点评)证明的一般步骤：写出已知、求证，画出图形，再证明1将命题“等腰三角形两底角相等”改写成“如果那么”的形式为：如果一个三角形为等腰三角形，那么这个三角形的两底角相等，它是真(填“真”或“假”)命题2如图，有以下三个条件：ACAB；ABCD；12，从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是_

9、1_.3如图所示，已知12180，3B，求证：AEDC.证明：14180(邻补角定义)，12180(已知)，24(同角的补角相等)，EFAB(内错角相等，两直线平行)，3ADE(两直线平行，内错角相等)又B3(已知)，ADEB(等量代换)，DEBC(同位角相等，两直线平行)，AEDC(两直线平行，同位角相等)环节3课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！三角形全等的判定1全等三角形(第1课时)一、基本目标 全等三角形的概念，能运用符号语言表示两个三角形全等二、重难点目标【教学重点】全等三角形的性质【教学难点】掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速、正确指出

10、两个全等三角形的对应元素环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P59的内容，完成下面练习【3 min反馈】1全等用符号表示，读作全等于2ABC全等于三角形DEF，用式子表示为ABC_DEF_.3若ABCDEF，A的对应角是D，B的对应角是E，则C的对应角是F；AB与DE是对应边，BC与EF是对应边，AC与DF是对应边4全等三角形的对应边相等，对应角相等环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，若BODCOE，指出这两个全等三角形的对应边；若ADOAEO，指出这两个全等三角形的对应角【互动探索】(引发学生思考)全等三角形的对应元素该如何找？【解答】BODCOE，

11、BOD与COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE.ADOAEO，ADO与AEO的对应角为：DAO与EAO，ADO与AEO，AOD与AOE.【互动总结】(学生总结，老师点评)找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形另外，记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了【例2】如图，ABCDEF，A70，B50，BF4，EF7，求DEF的度数和CF的长【互动探索】(引发学生思考)由ABCDEF，找出这两个三角形的对应角、边，即可解决问题【解答】ABCDEF，A70，B50，BF4，EF7，DEFB50，BCEF7，CFBCBF743.【互动总结】(

12、学生总结，老师点评)全等三角形的对应边相等，对应角相等活动2巩固练习(学生独学)1已知图中的两个三角形全等，则的度数是( D)A72B60C58D502如图，ABCDEF，BE3，AE2，则DE的长是( A)A5B4C3D23如图，ABCFED，A30，B80，则EDF_70.环节3课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！2全等三角形的判定条件(第2课时)一、基本目标1理解影响两个三角形是否全等的元素(边、角)2理解两个三角形只有一组或两组对应相等的元素(边或角)，那么这两个三角形不一定全等二、重难点目标【教学重点】通过探索得出：两个三角形只有一组或两组对应相等的元素(

13、边或角)，这两个三角形不一定全等【教学难点】通过探索得出三角形全等的判定条件是可以减少的环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P59P61的内容，完成下面练习【3 min反馈】1两个三角形完全重合，则这两个三角形全等2若两个三角形的三条边与三个角都分别对应相等，那么这两个三角形全等3一个三角形经过翻折、平移或旋转等变换得到的新三角形与原三角形全等4全等三角形的判定条件至少需要两个三角形有三个相等的元素环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例题】如图，RtABC沿直角边BC所在的直线向右平移到DEF处，下列结论中错误的是()AACDFBDEF90CABCDEFDECCF

14、【互动探索】(引发学生思考)根据题意，得ABC与DEF具有怎样的关系？【分析】DEF由RtABC平移而成，ABC90，DEFABC，ACDF，DEFABC90，A、B、C正确平移的距离及BC的长度不能确定，EC与CF的长短不能确定，D错误【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)一个三角形经过翻折、平移或旋转等变换得到的新三角形与原三角形全等活动2 巩固练习(学生独学)1如图，ABCCDA，BAC95，B45，则CAD度数为(D)A95B45C30D402已知图中的两个三角形全等，则1等于(D)A72B60C50D583如图，ABC为等边三角形，D是BC边上的一点，ABD经过旋转后到达ACE

15、的位置(1)请说出旋转中心、旋转方向以及旋转角度；(2)请找出AB、AD旋转后的对应线段；(3)若BAD25，求AEC度数解：(1)由题意，得点A为旋转中心，旋转方向为顺时针，旋转角度为60.(2)AB、AD旋转后的对应线段分别为AC、AE.(3)ABC为等边三角形，B60.又BAD25，ADB180256095.由题意知ABDACE，AECADB95.环节3课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！3边角边(第3课时)一、基本目标掌握三角形全等的“边角边”判定方法，并能进行简单的应用二、重难点目标【教学重点】应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等【教学难

16、点】分析问题，寻找判定三角形全等的条件环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P62P65的内容，完成下面练习【3 min反馈】1两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“S.”2有两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等3如图，AB与CD相交于点O，OAOC，ODOB，AOD_COB_，根据S.可得到AODCOB，从而得到ADCB.4如图，已知BDCD，要根据“SAS”判定ABDACD，则还需添加的条件是_ADCADB_.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，ADBF，AEBC，且AEBC.求证：AEFBC

17、D.【互动探索】(引发学生思考)由ADBF易得AFBD.又AEBC，则要证AEFBCD还需什么条件？【证明】AEBC，AB.ADBF，AFBD.在AEF和BCD中，eq blcrc (avs4alco1(AEBC，,AB，,AFBD，) AEFBCDS.)【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角【例2】如图，BCEF，BCBE，ABFB，12.若145，求C的度数【互动探索】(引发学生思考)要求C的度数，若ABCFBE，就可以得出CBEF，则由BCEF可得CBEF1，从而解决问题【解答】12，ABCFBE.在ABC和FBE中，eq bl

18、crc (avs4alco1(BCBE，,ABCFBE，,ABFB，) ABCFBES.)，CBEF.又BCEF，145，CBEF145.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)全等三角形是证明线段和角相等的重要工具；(2)学会挖掘题中的已知条件，如“公共边”“公共角”等活动2 巩固练习(学生独学)1如图，ABAC，ADAE，欲证ABDACE，可补充条件(A)A12BBCCDEDBAECAD2下列条件中，不能证明ABC DEF的是(C) AABDE，BE，BCEFBABDE，AD，ACDFCBCEF，BE，ACDFDBCEF，CF，ACDF3如图，已知ABAD，若AC平分BAD，问AC是否平分

19、BCD？为什么？解：AC平分BCD.理由如下：AC平分BAD，BACDAC.在ABC和ADC中，eq blcrc (avs4alco1(ABAD，,BACDAC，,ACAC，)ABCADCS.)，ACBACD，AC平分BCD.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连结AE、CG.求证：(1)AECG；(2)AECG.【互动探索】观察图形，证明 ADECDG，就可以得出AECG；结合全等三角形的性质和正方形的性质即可证得AECG.【证明】(1)四边形ABCD、DEFG都是正方形，ADCD，GDED.CDG90ADG，ADE90ADG，CDGADE.在ADE

20、和CDG中， eq blcrc (avs4alco1(ADCD，,ADECDG，,DEDG) ADECDGS.)，AECG.(2)设AE与DG相交于点M，AE与CG相交于N.在GMN和DME中，由(1)得CGDAED.又GMNDME，DEMDME90，CGDGMN90，GNM90，AECG.【互动总结】(学生总结，老师点评)正方形的四条边相等，四个角都等于90，利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质即可解决问题环节3课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！4角边角(第4课时)一、基本目标掌握三角形全等的判定方法：A和AAS.并能解决实际问题二、重难点目标【教学重点】

21、已知两角一边的三角形全等的探究【教学难点】灵活运用三角形全等条件证明三角形全等环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P66P70的内容，完成下面练习【3 min反馈】1两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“角边角”或“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“能确定ABCDEF的条件是(D)AABDE，BCEF，AEBABDE，BCEF，CECAE，ABEF，BDDAD，ABDE，BE4如图所示，已知点F、E分别在AB、AC上，且AEAF，请你补充一个条件：BC_，使得ABEACF.(只需填写一种情况即可)教师点拨：此题答案不唯一，还

22、可以填ABAC或AEBAFC.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，ADBC，BEDF，AECF，求证：ADFCBE.【互动探索】(引发学生思考)由AECF，易得AFCE.要证ADFCBE还需哪些条件？【证明】ADBC，BEDF，AC，DFABEC.AECF，AEEFCFEF，即AFCE.在ADF和CBE中， eq blcrc (avs4alco1(AC，,AFCE，,DFABEC，) ADFCBE【互动总结】(学生总结，老师点评)在“中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边，且“边”必须是“两角的夹边”，而不是两角及一角的对边，应用时要注意区分【例2】如图，在A

23、BC中，ADBC交于点D，BEAC于点E，AD与BE交于点F.若BFAC，求证：ADCBDF.【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要证ADCBDF，只需证DACDBF.又在RtADC与RtBDF中，利用“等角的余角相等”即可得DACDBF.【证明】ADBC，BEAC，ADCBDFBEA90.AFEBFD，DACAEF90，BFDDBF90，DACDBF.在ADC和BDF中， eq blcrc (avs4alco1(DACDBF，,ADCBDF，,ACBF，) ADCBDF【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)在解决三角形全等的问题中，要注意挖掘题中的隐含条件，如：对顶角、公共边、公共角等(

24、2)有直角三角形就有互余的角，利用“同角(等角)的余角相等”是证角相等的常用方法活动2 巩固练习(学生独学)1完成教材P70“练习”第12题 略2如图，点B在线段AD上，BCDE，ABED，BCDB.求证：AE.证明：BCDE，ABCBDE.在ABC和EDB中，eq blcrc (avs4alco1(ABDE，,ABCBDE，,BCBD，)ABCEDBS.)，AE. 环节3课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！5边边边(第5课时)一、基本目标会运用“边边边”证明三角形全等二、重难点目标【教学重点】掌握“边边边”判定两个三角形全等【教学难点】探索三角形全等条件的过程环节

25、1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P71P72的内容，完成下面练习【3 min反馈】1三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“在ABC、DEF中，若ABDE，BCEF，ACDF，则ABCEFG.3已知AB3，BC4，CA6，EF3，FG4，要使ABCEFG，则EG6.4如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明AOBAOB的依据是环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，ABAD，CBCD，求证：ABCADC.【互动探索】(引发学生思考)要证ABCADC，只需看这两个三角形的三边是否相等【证明】在ABC和ADC中，eq blcrc (a

26、vs4alco1(ABAD，,CBCD，,ACAC，)ABCADC【互动总结】(学生总结，老师点评)注意运用“证三角形全等时的证明格式；在证明过程中善于挖掘“公共边”这个隐含条件【例2】如图，ABDE，ACDF，点E、C在直线BF上，且BECF.求证：ABCDEF.【互动探索】(引发学生思考)已知两个三角形有两组对边相等，同一直线上的一组边相等，可考虑用“证明ABCDEF.【证明】BECF，ECBEECCF，即BCEF.在ABC和DEF中，eq blcrc (avs4alco1(BCEF，,ABDE，,ACDF，) ABCDEF【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等，先根据已知条

27、件或易证的结论确定判定三角形全等的方法，然后根据判定方法看缺什么条件，再去证什么条件【例3】如图，ABAD，DCBC，B与D相等吗？为什么？【互动探索】(引发学生思考)要判断角相等，可考虑用三角形全等证明，需添加辅助线AC构造三角形【解答】BD.理由如下：连结AC.在ADC和ABC中，eq blcrc (avs4alco1(ADAB，,ACAC，,DCBC，)ADCABC，BD.【互动总结】(学生总结，老师点评)要证B与D相等，可证这两个角所在的三角形全等，但现有条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明活动2 巩固练习(学生独学)1如图，线段AD与BC交于点O，且ACBD，ADBC，则下面的结论中

28、不正确的是(C)AABCBADBCABDBACOBOCDCD2工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OMON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C作射线OC.由做法得MOCNOC的依据是如图，AC与BD交于点O，ADCB，E、F是BD上两点，且AECF，DEBF.求证：(1)DB；(2)AECF.证明：(1)在ADE和CBF中，eq blcrc (avs4alco1(AECF，,ADBC，,DEBF，)ADECBF，DB.(2)ADECBF，AEDCFB.AEDAEO180，CFBCFO180，AEOCFO，AECF.

29、环节3课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！6斜边直角边(第6课时)一、基本目标掌握直角三角形全等的判定方法斜边、直角边(或.)二、重难点目标【教学重点】直角三角形全等的判定定理的理解和应用【教学难点】利用直角三角形全等的判定定理解决问题环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P73P75的内容，完成下面练习【3 min反馈】1如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的依据是(B)A.S.BC.D斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或“.”3判定两个直角三角形全等的方法有、.环节2合作探究，解决问题 活动1

30、小组讨论(师生互学)【例1】如图，ABBC，ADDC，ABAD，求证：12.【互动探索】(引发学生思考)可以通过证ABCADC得到12.结合已知条件，可以利用“.”得到RtABCRtADC.【证明】ABBC，ADDC，BD90，ABC和ACD均为直角三角形在RtABC和RtADC中， eq blcrc (avs4alco1(ABAD，,ACAC，) RtABCRtADC.)，12.【互动总结】(学生总结，老师点评)用“.”证明三角形全等的前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt”【例2】如图，ACBD，ADAC，BCBD.求证：ADBC.【互动探索】(引发学生思考)观察图形，不能直接

31、通过证AOD与BOC得到结论，需作辅助线CD，用“.”证明RtADCRtBCD，从而得到ADBC.【证明】连结CD.ADAC，BCBD，AB90.在RtADC和RtBCD中，eq blcrc (avs4alco1(ACBD，,DCCD，)RtADCRtBCD，ADBC.活动2 巩固练习(学生独学)1下列条件不能判定两个直角三角形全等的是(B)A斜边和一直角边对应相等B两个锐角对应相等C一锐角和斜边对应相等D两条直角边对应相等2如图，在RtABC中，BAC90，ABAC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE.若BD4 cm，CE3 cm，则DE3如图，点C、E、B、F在一条直线上，ABC

32、F于点B，DECF于点E，ACDF，ABDE.求证：CEBF.证明：ABCF，DECF，ABCDEF90.在RtABC和RtDEF中，eq blcrc (avs4alco1(ACDF，,ABDE，)RtABCRtDEF.)，BCEF，BCBEEFBE，即CEBF.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知AD、AF分别是两个钝角ABC和ABE的高，如果ADAF，ACAE.求证：BCBE.【互动探索】要证BCBE，可以通过三角形全等解决，本题应该通过证明哪对三角形全等来解决呢？【证明】AD、AF分别是两个钝角ABC和ABE的高，且ADAF，ACAE，RtADCRtAFE.)，CDEF.在Rt

33、ABD和RtABF中，eq blcrc (avs4alco1(ADAF，,ABAB，)RtABDRtABF.)，BDBF，BDCDBFEF，即BCBE.【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段相等可以通过证明三角形全等解决在一个问题中，有时我们需要多次证明全等来创造已知条件，从而得到结论环节3课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！等腰三角形1等腰三角形的性质(第1课时)一、基本目标1了解等腰三角形、等边三角形的概念，掌握等腰三角形、等边三角形的性质，且能熟练应用其性质求角的度数. 2理解等腰三角形“三线合一”的性质，能应用这个性质解决实际问题二、重难点目标【教学重点

34、】1等腰三角形的概念及性质2等腰三角形性质的应用【教学难点】等腰三角形“三线合一”的性质的理解及其应用环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P78P81的内容，完成下面练习【3 min反馈】1有两边相等的三角形是等腰三角形相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角2等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线及高互相重合(简称“三线合一”)(3)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴3三条边都相等的三角形是等边三角形4(1)等边三角

35、形的各个角都相等，并且每一个角都等于60.(2)等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，且BDBCAD，求ABC各角的度数【互动探索】(引发学生思考)设Ax，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数【解答】设Ax.ADBD，ABDAx.BDBC，BCDBDCABDA2x.ABAC，ABCBCD2x.AABCACB180，x2x2x180，解得x36.A36，ABCACB72.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的

36、关系，当这种等量关系或和(差)关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小角的度数为x.【例2】如图，已知ABAC，BDAC于点D，求证：BAD2DBC.【互动探索】(引发学生思考)由BAD2DBC，考虑作BAD的平分线，即作等腰三角形的高，再根据“等角的余角相等”求解【证明】过点A作AEBC于点E.ABAC，BAD22.BDAC，AEBC，BDCAEC90，CDBC2C90，DBC2，BAD2DBC.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：(1)利用等腰三角形“三线合一”作辅助线；(2)在有直角的平面几何图形中，可用“等角的余角相等”证明角相等活动2 巩固练习(学生独学)1

37、已知等腰三角形的一个角为80，则其顶角为(D)A20B50或80C10D20或802如图，在ABC，ABAC，BC6 cm，AD平分BAC，则BD_33在ABC中，ABAC5，A60，则BC5.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知ABC是等腰三角形，且AB130，求A的度数【互动探索】要求A，需讨论A是等腰ABC的顶角还是底角，再结合三角形的内角和求解【解答】分情况讨论：当A为顶角时，ABC180，AB130，C50，A80.当C为顶角时，则AB.AB130，A65.当B为顶角时，则AC.ABC180，AB130，AC50.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题体现了分类讨论思想等腰三角形

38、的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角本易忽略讨论B是顶角还是底角环节3课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！2等腰三角形的判定(第2课时)一、基本目标探索等腰三角形和等边三角形的判定方法二、重难点目标【教学重点】掌握等腰三角形及等边三角形的判定方法【教学难点】会运用等腰三角形及等边三角形的判定方法解决问题环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P81P83的内容，完成下面练习【3 min反馈】一、等腰三角形的判定方法1等腰三角形的定义：如果一个三角形有两边相等，这个三角形为等腰三角形2如图，在ABC中，BC，求证：ABAC. 证明：作

39、BAC的平分线AD交BC于点D，则BADCAD.在BAD和CAD中，eq blcrc (avs4alco1(BADCAD，,BC，,ADAD，)BADCAD，ABAC.3等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边_也相等(简写成_“等角对等边”_)二、等边三角形的判定方法1等边三角形的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形2关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法正确的有 _.(填序号)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形；等边三角形是等腰三角形的特殊情况；等边三角形的底角与顶角相等；等边三角形包括等腰三角形环节

40、2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，DBDC，ABDACD，求证：ABAC.【互动探索】(引发学生思考)要证ABAC，本题不能直接连结AD证全等得到，可以考虑连结BC利用等腰三角形的性质与判定方法求证【证明】连结BC.DBDC，DBCDCB，ABDACD，ABDDBCACDDCB，ABCACB，ABAC.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要是通过连结BC，使AB、AC在同一个三角形中，通过证明它们所对的角相等，而证得这两条线段相等【例2】如图，在ABC中，ACB90，CD是AB边上的高，AE是BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：CEF是等腰三角形【互动探索】

41、(引发学生思考)要证CEF是等腰三角形，需证CEF中有两边相等由等角的余角相等可得ABEACD，从而由AE是BAC的平分线和三角形外角的性质可得CECF.【证明】在ABC中，ACB90，BBAC90.CD是AB边上的高，ACDBAC90，BACD.AE是BAC的平分线，BAEEAC，BBAEACDEAC，即CEFCFE，CECF，CEF是等腰三角形【互动总结】(学生总结，老师点评)“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立【例3】如图，ABC是等边三角形，O为ABC内任意一点，OEAB，OFAC，分别交BC

42、于点E、F，OEF是等边三角形吗？为什么？【互动探索】(引发学生思考)由OEAB，OFAC角相等(60)OEF是等边三角形【解答】OEF是等边三角形理由如下：OEAB，OFAC，BOEF，COFE.ABC是等边三角形，BCOEFOFE60，OEF是等边三角形【互动总结】(学生总结，老师点评)根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”或“有一个角为60的等腰三角形为等边三角形”进行判定活动2 巩固练习(学生独学)1如图，ABC中，A36，ABAC，BD平分ABC，下列结论错误的是(D)AC2ABBDBCCABD是等腰三角形D点D为线段AC的中点2如图，ABC以点A旋转中心，按逆时针方向旋转60得到

43、ABC，则ABB是等边三角形 3如图，AD平分BAC，ADBD，垂足为点D，DEAC.求证：BDE是等腰三角形证明：DEAC，CADADE.AD平分BAC，CADDAE，DAEADE.ADBD，DAEB90，ADEBDE90，BBDE，BDE是等腰三角形4如图，ABAC，BAC120，ADAC，AEAB.(1)求C的度数；(2)求证：ADE是等边三角形(1)解：ABAC，BAC120，BC30，即C30. (2)证明：BC30，ADAC，AEAB，ADCAEB60，ADCAEBEAD60，ADE是等边三角形活动3 拓展延伸(学生对学)【例4】已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,3)，在y轴

44、上确定点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A3个B4个C5个D6个【互动探索】AOP为等腰三角形，可分三种情况讨论：(1)当AOAP时，以点A为圆心，AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于点O和另一点P1；(2)当AOOP时，以点O为圆心，AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，即点P2、P4；(3)当APOP时，作AO的中垂线，与y轴有一个交点P3.综上所述，符合条件的点P共有4个故选B【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此题的关键：(1)利用分类讨论思想确定等腰三角形的顶点；(2)利用尺规作图和数形结合思想确定等腰三角形的个数环节3课堂小结，当堂达标 (学生总结，

45、老师点评)请完成本课时对应练习！尺规作图13作线段、角、角平分线(第1课时)一、基本目标使学生了解尺规作图的含义，学会用尺规作图作一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、已知角的平分线二、重难点目标【教学重点】用尺规作图作一条线段等于已知线线、一个角等于已知角、已知角的平分线【教学难点】用尺规作图作已知角的平分线环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P85P87的内容，完成下面练习【3 min反馈】1尺规作图是指(C)A用量角器和刻度尺作图B用圆规和有刻度的直尺作图C用圆规和无刻度的直尺作图D用量角器和无刻度的直尺作图2下列作图语句正确的是(B)A作射线AB，使ABaB作AOBC延

46、长直线AB到点C，使ACBCD以点O为圆心作弧环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)1作一条线段等于已知线段讨论1：已知MN为已知线段，你能用直尺和圆规准确地作一条与MN相等的线段吗？作图步骤：(1)画一条射线AC；(2)以点A为端点，在射线上用圆规截取ACMN.线段AC即为所求2作一个角等于已知角讨论2：这是我们在七年级已经学习过的作一个角等于已知角的方法，你能用所学的知识说明为什么AOBAOB吗？【教师点拨】因为OCOC，ODOD，CD CD，所以ODCODC，所以AOBAOB.3作已知角的平分线讨论3：如图，AOB为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出AOB的平分线作图

47、步骤：第一步：在射线OA、OB上，分别截取OD、OE，使ODOE；第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长(大于线段DE长的一半)为半径作圆弧，在AOB内，两弧交于点C；第三步：作射线OC.射线OC就是所求作的AOB的平分线【教师点拨】OC就是所求作的AOB的平分线的证明过程见教材P87.讨论4：想想看，如何将AOB四等分？【教师点拨】在讨论3的基础上，再按上述作角平分线的方法分别作出COB、AOC的平分线OG、OH，即可将AOB四等分活动2巩固练习(学生独学)1如图，在ABC中，C90，CAB60，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；分别以点E、F为

48、圆心，大于eq f(1,2)EF长为半径画弧，两弧相交于点G；作射线AG，交BC边于点D.则ADC的度数为(C)A30B50C60D702如图，以AOB的顶点为圆心，取适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C、D为圆心，大于eq f(1,2)CD长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连结CD.下列说法错误的是(B)A射线OE是AOB的平分线BO、E两点关于CD所在直线对称CCOD是等腰三角形DC、D两点关于OE所在直线对称3完成教材P86“练习”第12题略4. 完成教材P88“练习”第12题略环节3课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应

49、练习！45作直线的垂线、线段的垂直平分线(第2课时)一、基本目标进一步了解尺规作图的含义，学会用尺规作图经过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线二、重难点目标【教学重点】用尺规作图作直线的垂线、线段的垂直平分线【教学难点】用尺规作图作线段的垂直平分线环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P88P90的内容，完成下面练习【3 min反馈】1下列作图语言规范的是(D)A过点P作线段AB的中垂线B过点P作AOB的平分线C在直线AB的延长线上取一点C，使ABACD过点P作直线AB的垂线2阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线已知：

50、直线AB和AB上一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.小艾的作法如下：如图，(1)在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D，E两点；(2)分别以点D和点E为圆心，大于eq f(1,2)DE长为半径作弧，两弧相交于点F；(3)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线老师表扬了小艾的作法是对的请回答：小艾这样作图的依据是等腰三角形的“三线合一”环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)1经过一已知点作已知直线的垂线已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系：点在直线上，点在直线外，因此要分别作这两种情况下已知直线的垂线 (1)经过已知直线上一点作已知

51、直线的垂线讨论1：已知直线AB和AB上一点C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线作图步骤：如图，由于点C在直线AB上，因此所作的垂线正好是平角ACB的平分线第一步：作平角ACB的平分线；第二步：反向延长射线CD.直线CD就是要求作的垂线(2)经过已知直线外一点作已知直线的垂线讨论2：已知直线AB和AB外一点C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线作图步骤：如图，若以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E两点的弧，则CDE为等腰三角形由“等腰三角形顶角的平分线就是底边上的高”可知，只需作出DCE的平分线，则该平分线所在的直线就是要求作的垂线讨论3：你能说

52、说讨论2中为什么“只需作出DCE的平分线，则该平分线所在的直线就是要求作的垂线”吗？【教师点拨】等腰三角形“三线合一”的性质2作已知线段的垂直平分线讨论4：如图，已知直线l是线段AB的垂直平分线，则直线l是线段AB的对称轴，对l上的任意两点C、D，通过对折可以发现，总有CACB，DADB.由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？【教师点拨】见教材P90“试一试”活动2 巩固练习(学生独学)1如图，在RtABC中，BAC90，依下列步骤尺规作图，并保留痕迹步骤1：以B为圆心，BA长为半径画弧；步骤2：以C为圆心，CA为半径画弧，交前弧交于点D；步骤3：连结AD，交BC于点E.下列叙述不正确的是(B)

53、ABC垂直平分ADBAD平分BACCBCAEDCBAE2下列尺规作图，能判断AD是ABC边上的高是(B)3. 如图，AEBF，AC平分BAE，交BF于点C. (1)尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于点O，交AE于点D：(保留作图痕迹，不写作法)(2)求证：ADBC.(1)解：如图，OB即为所求(2)证明：AEBF，EACBCA.AC平分BAE，EACBAC，BCABAC，BABC.BDAO，AO平分BAD，ABAD，ADBC.活动3 拓展延伸(学生对学)【例题】如图，在ABC中，ABAC，D为AC上一点(不与A、C重合)(1)用直尺和圆规作DEBC于点E，延长ED交BA的延长线于点F；(保

54、留作图痕迹，不写画法)(2)判断ADF的形状并加以证明【互动探索】根据经过已知直线外一点作已知直线垂线的方法作图，再判断ADF的形状【解答】(1)如图所示，点E、F即为所求(2)ADF为等腰三角形理由如下：ABAC，ABCACB.FEBC，FECFEB90，BFEB90，EDCACB90.ADFEDC，ABCACB，AFDADF，AFAD，ADF为等腰三角形【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题环节3课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！逆命题与逆定理1互逆命题与互逆定理(第1课时)一、基本目标1理解逆命题与逆定理的

55、意义，会写出一个命题的逆命题2会判断定理的逆命题的真假二、重难点目标【教学重点】会写出一个命题的逆命题，会判断定理的逆命题的真假【教学难点】写出一个命题的逆命题环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P92P93的内容，完成下面练习【3 min反馈】一、互逆命题1命题“两直线平行，内错角相等”的条件是两直线平行，结论是内错角相等2命题“内错角相等，两直线平行”的条件是内错角相等，结论是两直线平行3在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题二、互逆定理

56、1“两直线平行，内错角相等”的逆命题是内错角相等，两直线平行2“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角3如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例题】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60的三角形是等边三角形【互动探索】(引发学生思考)什么是逆命题？怎样举反例？【解答】(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行是真命题(

57、2)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线是真命题(3)逆命题：内错角相等是假命题反例：如图，1与2是内错角，但不相等(4)逆命题：等边三角形有一个角是60.是真命题【互动总结】(学生总结，老师点评)说明命题为假命题的反例即为符合该命题条件而不符合该命题结论的例子，如(3)小题中的例子活动2 巩固练习(学生独学)1下列命题的逆命题是真命题的是(C)A全等三角形的周长相等B对顶角相等C等边三角形的三个角都是60D全等三角形的对应角相等2写出“全等三角形的面积相等”的逆命题：面积相等的三角形全等3写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明解：逆命题：直

58、角三角形的两锐角互余已知：在ABC中，C90.求证：AB90.证明：ABC180，C90，AB90，即A与B互余环节3课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！2线段垂直平分线(第2课时)一、基本目标1掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理2能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题二、重难点目标【教学重点】线段垂直平分线的性质定理和判定定理【教学难点】灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P94P95的内容，完成下面练习【3 min反馈】1如图，ABC和ABC关于直线MN对称，点A、B、C 分别是点A、B、

59、C的对称点，猜想一下线段AA、BB、CC与直线MN 有什么关系？解：AA、BB、CC与直线MN 垂直平分2线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等3线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上4下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)AMAMB，NANBBMAMB，MNABCMANA，MBNBDMAMB，MN平分AMB5三角形的三条垂直平分线交于一点环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在ABC中，ABAC20 cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D.若DBC的周长为35 cm，【互动探索

60、】(引发学生思考)已知AB、AC的长和DBC的周长，要求BC的长，先求什么？再求什么？【解答】DE垂直平分AB，ADBD.DBC的周长BCBDCD35 BCADCD35 ACADDC20 BC352015 (cm)【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质定理，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长【例2】如图所示，在ABC中，AD平分BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，试说明AD与EF的关系【互动探索】(引发学生思考)先利用角平分线的性质得出DEDF，再证AEDAFD，从而找出AD与EF的关系【解答】AD垂直平分EF.证明如下：AD平分BAC，DEAB，DFAC