弹塑性力学考题史上最全总结（word90）

1、12345678已知一受力力物体中中某点的的应力状状态为：式中aa为已知知常数，且a0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。解： 球应应力张量量作用下下，单元元体产生生体变。体体变仅为为弹性变变形。偏偏应力张张量作用用下单元元体只产产生畸变变。塑性性变形只只有在畸畸变时才才可能出出现。关关于岩土土材料，上上述观点点不成立立。9一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。若选取ay2做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。（提示：基础绝对刚性，则在x0处，u0 ；由于受力和变形的对称性，

2、在y0处，v0 。）解： ，满足 ，是应应力函数数。相应应的应力力分量为为：， ， ； 应力边边界条件件：在x = h处， 将式代入得： ，故知知：， ， ； 由本构构方程和和几何方方程得：积分得得： 在x=0处u=0，则由由式得，f1(y)= 00；在y=0处v=0，则由由式得，f2(x)=0；因此，位位移解为为： 附，对对比另一一方法：例，方向（垂垂直于板板面）很很长的直直角六面面体，上上边界受受均匀压压力作用用，底部部放置在在绝对刚刚性与光光滑的基基础上，如如图所示示。不计计自重，且且 。试选取取适当的的应力函函数解此此问题，求求出相应应的应力力分量。解答：1、确确定应力力函数分析截面内

3、内力：，故故选取积分得：，代入相相容方程程，有：， 要使对任意意的 x、y 成立立，有，积分，得得：，。 2、计算应应力分量量， 3、由边界界条件确确定常数数左右边界（）：；上边界（）：4、应力解解答为： 10已知一半径径为R50mmm，厚度度为t3mm的薄壁壁圆管，承承受轴向向拉伸和和扭转的的联合作作用。设设管内各各点处的的应力状状态均相相同，且且设在加加载过程程中始终终保持，（采采用柱坐坐标系，r为径向向，为环向向，z为圆管管轴向。）材材料的屈屈服极限限为4000MPaa。试求求此圆管管材料屈屈服时（采采用Misses屈服条条件）的的轴向载载荷P和轴矩Ms。 （提示示：Misses屈服条条

4、件： ；）解：据题意意知一点点应力状状态为平平面应力力状态，如如图示，且且知 ，则 ，且 = 0。代入Misses屈服条条件得： 即： 解得： 2000 MPPa；轴力：P= = 25010333100322001066=1888.4495kkN扭矩矩：M= = 25022100633100322001066=9.4255 kNN mm11在平面应力力问题中中，若给给出一组组应力解解为： ， ， ， 式中a、bb、c、d、e和f均为待待定常数数。且已已知该组组应力解解满足相相容条件件。试问问：这组组应力解解应再满满足什么么条件就就是某一一弹性力力学平面面应力问问题的应应力解。（15分）解：应力

5、解解应再满满足平衡衡微分方方程即为为弹性力力学平面面应力问问题可能能的应力力解，代代入平衡衡微分方方程得： 则知，只只要满足足条件af，ed，b和c可取任任意常数数。若给给出一个个具体的的弹性力力学平面面应力问问题，则则再满足足该问题题的应力力边界条条件，该该组应力力分量函函数即为为一个具具体的弹弹性力学学平面应应力问题题的应力力解。12在物体内某某点，确确定其应应力状态态的一组组应力分分量为：=0，=00，=0，=0，=3a，=4a，知。试求：（16分）该点应应力状态态的主应应力、和；主应力力的主方方向；主方向向彼此正正交；解：由式（219）知，各各应力不不变量为为、， 代入式式（218）得

6、：也即 （1）因式分分解得： （2）则求得得三个主主应力分分别为。设主应应力与xyz三坐标标轴夹角角的方向向余弦为为、 、 。将 及及已知条条件代入入式（213）得：（3）由式（3）前两两式分别别得： （4）将式（4）代入入式（3）最后后一式，可可得0=0的恒等等式。再再由式（215）得：则知； （5）同理可可求得主主应力的的方向余余弦、和主应应力 的方向向余弦、，并且且考虑到到同一个个主应力力方向可可表示成成两种形形式，则则得： 主方向向为： ；（6） 主方向向为： ；（7） 主方向向为： ； （8）若取主主方向的的一组方方向余弦弦为 ，主方向向的一组组方向余余弦为 ，则由由空间两两直线垂垂

7、直的条条件知：（9）由此证证得 主方向向与主方方向彼此此正交。同同理可证证得任意意两主应应力方向向一定彼彼此正交交。13如图所示，楔楔形体OA、OB边界不不受力。楔楔形体夹夹角为2，集中中力P与y轴夹角角为。试列列出楔形形体的应应力边界界条件。（14分）解：楔形体体左右两两边界的的逐点应应力边界界条件：当时， 0，0；以半半径为r任意截截取上半半部研究究知：、14一矩形横截截面柱体体，如图图所示，在在柱体右右侧面上上作用着着均布切切向面力力q，在柱柱体顶面面作用均均布压力力p。试选选取：做应力力函数。式式中A、B、C、D、E为待定定常数。试试求： （16分）（1）上述述式是否否能做应应力函数数

8、；（2）若可作作为应力力函数，确确定出系系数A、B、C、D、E。（3）写出出应力分分量表达达式。（不不计柱体体的体力力）解：据结构构的特点点和受力力情况，可可以假定定纵向纤纤维互不不挤压，即即：；由由此可知知应力函函数可取取为：（a）将式（a）代入 ，可得得：(b)故有：； (c)则有：； (d)略去 中的一一次项和和常数项项后得：(e)相应的的应力分分量为：(f)边界条条件： 处处，则 ； (g) 处处， 则 ； (hh)在yy = 0处， ， ，即 由此得得：，再代入入式（h）得：；由此得得：（i）由于在在y=0处，积分得得：（j），积分得得：（k）由方程程(j ) (k)可求得得：，投知

9、各各应力分分量为：(l)据圣文文南原理理，在距距处稍远远处这一一结果是是适用的的。15已知受力物物体内一一点处应应力状态态为：（Mpa）且已知知该点的的一个主主应力的的值为2MPPa。试求求：（15分）应力分分量的大大小。主应力力、和 。16已知一弹性性力学问问题的位位移解为为：（13分） ； ； ； 式中a为已已知常数数。试求求应变分分量，并并指出它它们能否否满足变变形协调调条件（即即相容方方程）。解：将位移移分量代代入几何何方程得得： ； ； ； 由于应变变分量是是x的线性性函数，固固知它们们必然满满足变形形协调条条件：17设如图所示示三角形形悬臂梁梁，只受受自重作作用，梁梁材料的的容重为

10、为。若采采用纯三三次多项项式：作应力函数数，式中中A、B、C、D为待定定常数。试试求此悬悬臂梁的的应力解解。（15分）解：将 式式代入 知满足足，可做做应力函函数，相相应的应应力分量量为：（已已知Fx0，Fy=）边界条条件： 上边界界： ， ， ，代入入上式得得：A B 0， 斜边界界： ， ， ， ，则：得：； 于是应力力解为：题四、2图图18试列出下列列各题所所示问题题的边界界条件。（每每题10分，共20分。）（1）试列列出图示示一变截截面薄板板梁左端端面上的的应力边边界条件件，如图图所示。题四、3、（1）图题四四、3、（2）图（2）试列列出半空空间体在在边界上上受法向向集中P作用Bouu

11、ssiinessq问题的的应力边边界条件件，如图图所示。（1）左端端面的应应力边界界条件为为：据圣圣文南原原理题四、3、（1）图（2）上上边界：当 时 ， ； 当 时 ， ； 当 时 ， ； 在此边边界上已已知：， ， ； 当设想 时，截截取一平平面，取取上半部部研究，则则由平衡衡条件知知： ，已知： ，对称称性19一薄壁圆筒筒，承受受轴向拉拉力及扭扭矩的作作用，筒筒壁上一一点处的的轴向拉拉应力为为，环向向剪应力力为，其其余应力力分量为为零。若若使用Misses屈服条条件，试试求：（16分）1）材料料屈服时时的扭转转剪应力力应为多多大？2）材料料屈服时时塑性应应变增量量之比，即即：。已知Mis

12、ses屈服条条件为：解：采用柱柱坐标，则则圆筒内内一点的的应力状状态为：则miiss条件知知：解得： ；此即即为圆筒筒屈服时时，一点点横截面面上的剪剪应力。已知： 则：由增量量理论知知：则：即： 20如图所示一一半圆环环，在外外壁只受受的法向向面力作作用，内内壁不受受力作用用。A端为固固定端，B端自由由。试写写出该问问题的逐逐点应力力边界条条件和位位移边界界条件。（15分） 、解：逐点点应力边边界条件件： 当ra时，0， 0；当rb时，qsi， 0； 当=时， 0， 0；A端位位移边界界条件： 当0 ， 时，ur0 ，u0 ，且过A点处径径向微线线素不转转动，即即 0；或环环向微线线素不转转动

13、，即即 =0。21已知一点的的应变状状态为：，。试将其其分解为为球应变变状态与与偏斜应应变状态态。（15分）解：； ； 22已知受力物物体内一一点处应应力状态态为：（Mpa）且已知知该点的的一个主主应力的的值为2MPPa。试求求：（18分）应力分分量的大大小 ； 主应力力、和。解（1）：；即：， 将：代入上上式解得得：；故知：由： 又解（2）：代代入教材材、公式式： 代入由： ，且由上上式知：2式知 ，由3式 ，故 ，则知知： ；（由1式）再再由： 展开得得：； 则知：；由：即： ； ； 再由：知：23一厚壁圆筒筒，内半半径为a，外半半径为b ，仅承承受均匀匀内压q作用（视视为平面面应变问问题

14、）。圆圆筒材料料为理想想弹塑性性，屈服服极限为为。试用Treescaa屈服条条件，分分析计算算该圆筒筒开始进进入塑性性状态时时所能承承受的内内压力q的值。已已知圆筒筒处于弹弹性状态态时的 应力解解为： ； ； ； ； ； ； 上式式中：arb。（16分）解：由题目目所给条条件知： 则由TTressca条件： 知：则知： 24梯形横截面面墙体完完全置于于水中，如如图所示示。已知知水的比比重为，试试写出墙墙体横截截面边界界AA，AB，BB 的面力力边界条条件。 25作用均匀分分布载荷荷q的矩形形横截面面简支梁梁，如图图所示。根根据材料料力学分分析结果果，该梁梁横截面面的应力力分量为为 试试检验上上

15、述分析析结果是是否满足足平衡微微分方程程和面力力边界条条件。26单位厚度的的楔形体体，材料料比重为为，楔形形体左侧侧作用比比重为的的液体，如如图所示示。试写写出楔形形体的边边界条件件。 27已知球体的的半径为为r，材料料的密度度为1，球体体在密度度为1（11）的液液体中漂漂浮，如如图所示示。试写写出球体体的面力力边界条条件。 28矩形横截面面悬臂梁梁作用线线性分布布载荷，如如图所示示。试根根据材料料力学应应力解答答 推导挤压应应力y的表达达式。29等厚度板沿沿周边作作用着均均匀压力力q ，若O点不能能移动和和转动，试试求板内内任意点点的位移移分量。 30简支梁仅承承受自身身重量，材材料的比比重

16、为，试试检验函函数 f =Axx2y3+By5+C y3+Dx2y 是是否可以以作为应应力函数数，并且且求各个个待定系系数。31建筑在水下下的墙体体受水压压，轴向向压力FF和侧向向力F作用，如如图所示示。已知知墙体的的端部与与水平面面等高，水水的比重重为，侧侧向力与与水平面面距离为为2h，设应应力函数数为 f =Ayy3+Bx2+Cxyy+Dx3y+EEx3 试试求y =3h墙体截截面的应应力分量量。32已知如图所所示单位位厚度的的矩形薄薄板，周周边作用用着均匀匀剪力 q。试求求边界上上的 并求其其应力分分量（不不计体力力）。33矩形截面柱柱侧面受受均布载载荷q的作用用，如图图所示。试试求应力

17、力函数及及应力分分量（不不计体力力）。 34如图所示悬悬臂梁，承承受均布布载荷qq的作用用，试检检验函数数 f =Ayy3+Bx2y3+Cy3+Dx2+Exx2y 能能否做为为应力函函数。如如果可以以，求各各个待定定系数及及悬臂梁梁应力分分量。35矩形截面柱柱体承受受偏心载载荷作用用，如果果不计柱柱体自身身重量，则则若应力力函数为为 f =Axx3+Bx2 试试求： aa. 应力分分量和应应变分量量； bb. 假设O点不动动，且该该点截面面内的任任意微分分线段不不能转动动，求其其位移分分量； cc.轴线的的位移挠曲线线方程。 36已知悬臂梁梁如图所所示，如如果悬臂臂梁的弯弯曲正应应力x 由材料

18、料力学公公式给出出，试由由平衡方方程式求求出y 及xy ，并检检验计算算所得的的应力分分量能否否满足应应力表示示的变形形协调方方程。37三角形悬臂臂梁，承承受自重重作用，如如图所示示。已知知材料的的比重为为 ，试确确定应力力函数及及应力分分量。3839根据各向同同性体的的广义虎虎克定理理，证明明主应力力方位与与主应变变方位相相重合（15分）。证明：已知知广义虎虎克定律律 （1） （3分）而主应力状状态下有有 （2） （2分）令主应力方方向余弦弦为，则则相应的的特征方方程为 （3） （4分）且： 上式中为对对应的主主应力方方向。将将式（1）、（2）代入入式（3）整理理得： （4） （4分）上式正

19、好为为主应变变方程， 对应的主应变方向也为。可见：对于均匀各向同性体，主应力方向和主应变方向重合。（2分）40已知应力函函数，试试求出应应力分量量并画出出下图中中薄板斜斜边界上上对应的的面力分分布情况况(包括正正应力和和剪应力力)。（15分）解：由公式式： （3分分）在斜截面上上的方向向余弦为为：， （2分）由坐标变化化公式，斜斜截面上上的正应应力为 （4分）B点：，CC点：，如如图所示示。0 xy0 xy斜截面正应力分布斜截面剪应力分布 A0 xy0 xy斜截面正应力分布斜截面剪应力分布 A B B A(+)（4分） （3分）B点：，CC点：，如如图所示示。41对于图示的的偏心压压缩杆件件，

20、已知知压力P和偏心心矩e。试求求应力分分布。（20分）。解：1、由由材料力力学可知知：即沿x方向向线性分分布。可设： （3分）又由： 推推得应力力函数为为： （3分）2、应力分分量为 （2分）3、由边界界条件定定常数 上端端面：静静力等效效、 （4）、（4分分）则应力分量量为， （2分）42试列出图55-1的的全部边边界条件件，在其其端部边边界上，应应用圣维维南原理理列出三三个积分分的应力力边界条条件。（板厚厚） 图图5-11解：在主要要边界上上，应精精确满足足下列边边界条件件：，； ，在次要边界界上，应应用圣维维南原理理列出三三个积分分的应力力边界条条件，当当板厚时时，在次要边界界上，有有位

21、移边边界条件件：，。这两两个位移移边界条条件可以以改用三三个积分分的应力力边界条条件代替替：，43试考察应力力函数，能满满足相容容方程，并求出出应力分分量（不不计体力力），画画出图5-2所示矩矩形体边边界上的的面力分分布，并并在次要要边界上上表示出出面力的的主矢和和主矩。图5-2解：（1）相相容条件件：将代代入相容容方程，显显然满足足。（2）应力力分量表表达式：，（3）边界界条件：在主要要边界上上，即上上下边，面面力为，在次要边界界上，面面力的主主失和主主矩为 弹性体边界界上的面面力分布布及在次次要边界界上面力力的主失失量和主主矩如解解图所示示。44设有矩形截截面的长长竖柱，密密度为，在在一边

22、侧侧面上受受均布剪剪力q, 如图5-3所示，试试求应力力分量。（提提示：采采用半逆逆解法，因因为在材材料力学学弯曲的的基本公公式中，假假设材料料符合简简单的胡胡克定律律，故可可认为矩矩形截面面竖柱的的纵向纤纤维间无无挤压，即即可设应应力分量量 ）图 5-33解：采用半半逆解法法，因为为在材料料力学弯弯曲的基基本公式式中，假假设材料料符合简简单的胡胡克定律律，故可可认为矩矩形截面面竖柱的的纵向纤纤维间无无挤压，即即可设应应力分量量，(1) 假假设应力力分量的的函数形形式。(2) 推推求应力力函数的的形式。此此时，体体力分量量为。将将代入应应力公式式有对积分，得得， （a） 。 （b）其中，都是是

23、的待定定函数。(3)由相相容方程程求解应应力函数数。将式式（b）代入入相容方方程，得得这是y的一一次方程程，相容容方程要要求它有有无数多多的根（全全部竖柱柱内的y值都应应该满足足），可可见它的的系数和和自由项项都必须须等于零零。，两个个方程要要求， (cc)中的常数项项，中的的一次和和常数项项已被略略去，因因为这三三项在的的表达式式中成为为y的一次次和常数数项，不不影响应应力分量量。得应应力函数数 (d)（4）由应应力函数数求应力力分量。， (ee)， (f). (g)(5) 考考察边界界条件。利利用边界界条件确确定待定定系数先来考虑左左右两边边的主要要边界条条件：，。将应力分量量式(e)和(

24、g)代入，这这些边界界条件要要求：，自然满足足； (hh) (ii)由（h）（i） 得 （j） 考察次次要边界界的边界界条件，应应用圣维维南原理理，三个个积分的的应力边边界条件件为； 得 ， 得 （k）由（h）（j）（k）得 , 将所得A、B、C、D、E代入式式（e）（f）（g）得应应力分量量为：， 45图示半无限限平面体体在边界界上受有有两等值值反向，间间距为dd的集中中力作用用，单位位宽度上上集中力力的值为为P，设间间距d很小。试试求其应应力分量量，并讨讨论所求求解的适适用范围围。（提提示：取取应力函函数为 ） （13分）题三（1）图图解：很小，可可近似视视为半平平面体边边界受一一集中力力

25、偶M的情形形。将应力函数数代入，可可求得应应力分量量： ； ； 边界界条件：（1）； 代入应力分分量式，有有 或 （1）（2）取一一半径为为r 的半圆圆为脱离离体，边边界上受受有：，和和M = Pd由该脱离体体的平衡衡，得将代入并积积分，有有 得 （2）联立式（11）、（2）求得得：，代入应力分分量式，得得； ； 。结果的适用用性：由由于在原原点附近近应用了了圣维南南原理，故故此结果果在原点点附近误误差46图示悬臂梁梁，受三三角形分分布载荷荷作用，若若梁的正正应力由由材料力力学公式式给出，试试由平衡衡微分方方程求出出，并检检验该应应力分量量能否满满足应力力表示的的相容方方程。（12分） 题三（

26、2）图图解：（1）求求横截面面上正应应力任意截面的的弯矩为为，截面面惯性矩矩为，由由材料力力学计算算公式有有 （1）（2）由平平衡微分分方程求求、平衡微分方方程： 其中，。将将式（1）代入入式（2），有有积分上式，得得利用边界条条件：，有有 即即 （4）将式（4）代代入式（3），有有 或或 积分得利用边界条条件：，得：由第二式，得得将其代入第第一式，得得 自然成成立。将代入的表表达式，有有 （5）所求应力分分量的结结果： （6）校核梁端部部的边界界条件：（1）梁左左端的边边界（xx = 0）：， 代入后后可见：自然满满足。（2）梁右右端的边边界（xx = ll）：可见，所有有边界条条件均满满足

27、。检验应力分分量是否否满足应应力相容容方程：常体力下的的应力相相容方程程为将应力分量量式（6）代入入应力相相容方程程，有，显然，应力力分量不不满足应应力相容容方程，因因而式（6）并不不是该该该问题的的正确解解。47一端固定，另另一端弹弹性支承承的梁，其其跨度为为l，抗弯弯刚度EEI为常常数，梁梁端支承承弹簧的的刚度系系数为kk。梁受受有均匀匀分布载载荷q作用，如如图所示示。试：（1）构造造两种形形式（多多项式、三三角函数数）的梁梁挠度试试函数；（2）用最最小势能能原理或或Rittz法求其其多项式式形式的的挠度近近似解（取1项待定系数）。 （13分）题二（3）图图解：两种形形式的梁梁挠度试试函数

28、可可取为 多项式式函数形形式 三角函函数形式式此时有：即满足梁的的端部边边界条件件。 梁梁的总势势能为取：，有，代入总势能能计算式式，有由，有代入梁的挠挠度试函函数表达达式，得得一次近近似解为为48已知受力物物体内某某一点的的应力分分量为：，试求求经过该该点的平平面上的的正应力力。 （12分）解：由平面面方程，得得其法线线方向单单位矢量量的方向向余弦为为， 49常体力情况况下，用用应力函函数表示示的相容容方程形形式为，请请问：相相容方程程的作用用是什么么？两种种解法中中，哪一一种解法法不需要要将相容容方程作作为基本本方程？为什么么？（13分）答：（1）连续续体的形形变分量量（和应应力分量量）不

29、是是相互独独立的，它它们之间间必须满满足相容容方程，才才能保证证对应的的位移分分量存在在，相容容方程也也因此成成为判断断弹性力力学问题题解答正正确与否否的依据据之一。（2）对于于按位移移求解（位位移法）和和按应力力求解（应应力法）两两种方法法，对弹弹性力学学问题进进行求解解时位移移法求解解不需要要将相容容方程作作为基本本方程。（3）（定定义）按按位移求求解（位位移法）是是以位移移分量为为基本未未知函数数，从方方程和边边界条件件中消去去应力分分量和形形变分量量，导出出只含位位移分量量的方程程和相应应的边界界条件，并并由此解解出应变变分量，进进而再求求出形变变分量和和应力分分量。50考虑上端固固定

30、，下下端自由由的一维维杆件，见见题七图图，只受受重力作作用，（为杆件件密度，g为重力力加速度度），并并设=0。试用位移法法求解杆杆件竖向向位移及及应力。（14分）（平面问题题的平衡衡微分方方程：，；用位移移分量表表示的应力分量表表达式：，）解：据题意意，设位位移u=0，v=v(y)，按位移移进行求解解。根据将用位位移分量量表示的的应力分分量代入入平面问问题的平平衡微分分方程，得得到按位位移求解解平面应应力问题题的基本本微分方方程如下下：(aa)(bb) 将相关量代代入式(a)、(b)，可见见(a) 式（第一式式）自然满满足，而而(b) 式第二二式成为为可由此解出出 (c)本题中，上上下边的的边

31、界条条件分别别为位移移边界条条件和应应力边界界条件，且且 将将(c)代入，可可得反代回(cc)，可求求得位移移：51设有函数，（1）判断断该函数数可否作作为应力力函数？（3分）（2）选择择该函数为为应力函函数时，考考察其在在图中所所示的矩矩形板和和坐标系系（见题题九图）中能能解决什什么问题题（l h）。（15分）题九图解： 题九图（1）将代入相相容方程程，显然然满足。因因此，该该函数可可以作为为应力函函数。（2）应力力分量的的表达式式：考察边界界条件：在主要要边界yyh/22上，应应精确满满足应力力边界条条件在次要边界界x0上，应应用圣维维南原理理，可列列出三个个积分的的应力边边界条件件：在次

32、要边界界xl上，应应用圣维维南原理理，可列列出三个个积分的的应力边边界条件件：对于如图图所示的的矩形板板和坐标标系，结结合边界界上面力力与应力力的关系系，当板板内发生生上述应应力时，由由主边界界和次边边界上的的应力边边界条件件可知，左左边、下下边无面面力；而而上边界界上受有有向下的的均布压压力；右右边界上上有按线线性变化化的水平平面力合合成为一一力偶和和铅直面面力。所以能够解解决右端端为固定定端约束束的悬臂臂梁在上上边界受受均布荷荷载q的问题题。52535455565758如图所示，悬悬臂梁上上部受线线性分布布荷载，梁梁的厚度度为1，不计计体力。试试利用材材料力学学知识写写出，表达式式；并利用

33、平平面问题题的平衡衡微分方方程导出出，表达式式。分析：该问问题属于于平面应应力问题题；在材材料力学学中用到到了纵向向纤维互互不挤压压假定，即即无存在在，可以以看出上上边界存存在直接接荷载作作用，则则会有应应力存在在，所以以材料所所得结果果是不精精确的；在平衡衡微分方方程二式式中都含含有，联联系着第第一、二二式；材材料力学学和弹性性力学中中均认为为正应力力主要由由弯矩引引起。解：横截面面弯矩：，横截截面正应应力代入平衡微微分方程程的第一一式得：（注意意未知量量是的函函数），由得出，可见 将代入平衡衡微分方方程的第第二式得得：，59某一平面问问题的应应力分量量表达式式：，体力力不计，试试求，的值。

34、解答：两类类平面问问题的平平衡微分分方程是是一样的的，且所所给应力力分量是是实体的的应力，它它对实体体内任意意一点均均是成立立的。将将所给应应力分量量代入平平衡微分分方程中中：代入第一式式：，即：，代入第二式式：，即：，60设物体内的的应力场场为，试求求系数。解：由应力力平衡方方程的： 即： （1） （2）有（1）可可知：因因为与为任意意实数且且为平方方，要使使（1）为零零，必须须使其系系数项为为零，因因此， （3） （4）联立（2）、（3）和（4）式得得：即：61已知图示平平板中的的应力分分量为：，。试确确定OA边界上上的方向向面力和和AC边界上上的方向向面力，并并在图上上画出，要要求标注注

35、方向。解：1、OOA边界上上的方向向面力：，在处，=，正值表表示方向向和坐标标轴正向向一致，且且成三次次抛物线线分布，最最大值为为。2、AC边边界上的的方向面面力：，在在处，=，负值值表示方方向和坐坐标轴正正向相反反，成直直线分布布，最小小值为0，最大大值为。62已知下列应应变状态态是物体体变形时时产生的的，试求求各系数数之间应应满足的的关系。解：为了变变形连续续，所给给应变分分量必须须满足相相容方程程，将其其代入到到式相容容方程中中得出，上式应对对任意的的均成立立，所以以有：，由由此可得得到各系系数之间间应满足足的关系系是。系系数可取取任意值值，同时时也说明明了常应应变不论论取何值值，实体体

36、变形后后都是连连续的。63已知平面应应变状态态下，变变形体某某点的位位移函数数为：，试求该该点的应应变分量量。解：，64设，其中为为常数，试试问该应变场场在什么么情况下下成立？解：对求的的2次偏导导，即： ，即：时上述述应变场场成立。65试由下述应应变状态态确定各各系数与与物体体体力之间间的关系系。，分析：该问问题为平平面应变变问题，因因为平面面应变问问题总有有；所给给应变存存在的可可能性，即即应变分分量必须须满足相相容方程程，才是是物体可可能存在在的；因因为要求求求出体体力，体体力只是是和平衡衡微分方方程有关关，需要要先求出出应力分分量，而而应力分分量可通通过应力力与应变变关系即即物理方方程

37、求出出，由应应变求出出应力，注注意两类类问题的的物理方方程不一一样，需需要应用用平面应应变问题题的物理理方程。解：（1）检检验该应应变状态态是否满满足相容容方程，因因为：，即即，满足足。（2）将应应变分量量代入到到平面应应变问题题的物理理方程式式（2-223）中求求出应力力分量：（3）将上上述应力力分量代代入到平平衡微分分方程式式（2-2）中，可可得到各各系数与与物体体体力之间间的关系系：（4）讨论论：若无无体力（），则由上式可得，根据它对对物体内内的任意意一点均均成立，又又可得结论：若体体力不为为零，各各系数与与物体体体力之间间的关系系即是（3）的结结果；若若体力为为零，则则是（4）的结结果

38、；是是任意值值。66如图所示为为矩形截截面水坝坝，其右右侧受静静水压力力，顶部部受集中中力作用用。试写写出水坝坝的应力力边界条条件（下下边界不不写）。解：应力边边界条件件公式为为：；。1）左右边边界为主主要边界界，利用用面力边边值条件件：左面（）：，则：右面（）：，则：2）上端面面（）为为小边界界应用静静力等效效：，67平面问题如如图所示示，已知知位移分分量为：，。若已已知变形形前点坐坐标为（1.5，1.0），变变形后移移至（1.5503，1.0001），试试确定点点的应变变分量。答：；点的应变分分量：。（3分）68试写出如图图所示的的位移边边界条件件。（1）图（）为为梁的固固定端处处截面变变

39、形前后后情况，竖竖向线不不转动；（2）图（）为为梁的固固定端处处截面变变形前后后情况，水水平线不不转动；（3）图（）为为薄板放放在绝对对光滑的的刚性基基础上。答：（1）图图（），；（2）图（），；（3）图（）边界位位移边界界条件为为：，69试验证应力力分量， ，是否为为图示平面问问题的解解答（假假定不考考虑体力力）。解答：1）将将应力分分量代入入平衡微微分方程程，得0+00=0， ，得，故不满足平平衡微分分方程2）将应力力分量代代入相容容方程：，或写成，故故：满足足相容方方程3）将应力力分量代代入边界界条件：主要边界如如下：在边界上：，即0=0，满足足；在边界上：，即0=0，满足足；在边界上：

40、，将题题所给表表达式代代入满足足；在边界上：，将题题所给表表达式代代入满足足；（在及次要要边界上上，采用用圣维南南原理等等效，不不要求学学生写出出）4）结论：所给应应力分量量不是图图所示平平面问题题的解答答。70图所示楔形形体，处处形抛物物线，下下端无限限伸长，厚厚度为11，材料料的密度度为。试试证明：， ，为其自自重应力力的正确确解答。证明：该问问题为平平面应力力问题，体体力为常常量，正正确的应应力解答答要同时时满足相相容方程程、平衡衡微分方方程和应应力边界界条件。1）考察是是否满足足相容方方程：将将应力分分量代入入到相容容方程中中，代代入满足足；2）考察是是否满足足平衡微微分方程程：代入第

41、一式式：，即0+00+0=0，满足足；代入第二式式：，即即，满足足；3）考察边边界条件件：,，代入第一式式：，即即 （）；代入第二式式：，即即 （）；曲线的斜率率为，而而，则，将其连连同应力力分量代代入到（）中，满满足；同同理代入入到（）中，也也满足，因因此满足足边界条条件。故是正确解解答。71已知如图所所示悬挂挂板，在在O点固定定，若板板的厚度度为1，材料料的相对对密度为为，试求求该板在在重力作作用下的的应力分分量。解答：1、确确定应力力函数分析截面内内力：，故故选取积分得：，代入相相容方程程，有：， 要使对任意意的 x、y 成立立，有，积分，得得：，。2、计算应应力分量量（含待待定常数数，

42、体力力不为0）， ，3、由边界界条件确确定常数数左右边界（）：，自然然满足；，下边界（）：4、应力解解答为：， 72试检验函数数是否可可作为应应力函数数。若能能，试求求应力分分量（不不计体力力），并并在图所所示薄板板上画出出面力分分布。解答：检验验函数：因为代代入相容容方程，满满足相容容方程，因因此该函函数可作作为应力力函数。应力分量：由应力力函数所所表示的的应力分分量表达达式求得得应力分分量为：板边面力：根据应应力边界界条件公公式，求求出对应应的边界界面力。上边界：得得出下边界：得得出左边界：得得出右边界：得得出面力分布如如图所示示：7374756.3 在在拉伸试试验中，伸伸长率为为，截面面

43、收缩率率为，其其中和为试件件的初始始横截面面面积和和初始长长度，试试证当材材料体积积不变时时有如下下关系：证明：将和和的表达达式代入入上式，则则有6.4 为为了使幂幂强化应应力-应变曲曲线在时时能满足足虎克定定律，建建议采用用以下应应力-应变关关系： (1)为保证证及在处连续续，试确确定、值。 (2)如将该该曲线表表示成形形式，试试给出的的表达式式。 解：（1）由在处连续续，有 （a） 由在处连续续，有 （b） （a）、（b）两式式相除，有有 （c） 由（a）式，有有 （d）（2）取形形式时， 当：即 当：应力力相等，有有 解出得， （代入值值） （代入值值） 6.5已知知简单拉拉伸时的的应力

44、-应变曲曲线如图图6-11所示，并并表示如如下： 问当采用用刚塑性性模型是是，应力力-应变曲曲线应如如何表 示？ 图6-11解：刚塑性性模型不不考虑弹弹性阶段段应变，因因此刚塑塑性应力力应变曲曲线即为为曲线，这这不难由由原式推推得而在强化阶阶段，因因为这时时将都移到等等式左边边，整理理之即得得答案。其中6.6 已已知简单单拉伸时时的曲线线由（6.1）式给给出，考考虑横向向应变与与轴向应应 变的比比值在弹性阶段段，为材材料弹性性时的泊泊松比，但但进入塑塑性阶段段后值开开始增大大最后趋趋向于。试试给出的的变化规规律。 解：按题题设在简简单拉伸伸时总有有 （a） 左边为体体积变形形，不论论材料屈屈服

45、与否否，它要要按弹性性规律变变化，即即有 （b） 比较（aa），（b）两式式，得 将表达式式代入，即即可得。6.7如图图所示等等截面直直杆，截截面积为为，且。在在处作用用一个逐逐渐增加加的力。该该杆材料料为线性性强化弹弹塑性，拉拉伸和压压缩时性性能相同同。求左左端反力力和力的关关系。 解：（1）弹性性阶段基本方程：平衡方方程 （a） 几何方方程 （b） 本构方方程 （c）联立求出 显然，段段先屈服服，取，得 ，当时，值值如上述述表达式式。 （2）弹塑塑性阶段段（a段塑性性，b段弹性性）平衡衡方程和和几何方方程仍为为（a）、 （b）式。本构方程： 且设将本构方程程代入几几何方程程： 即 两侧同乘

46、面面积，并并利用平平衡方程程（a），得得解出 令，则得 （e）本阶段结束束时，由几何方程程 且 利用平衡方方程 （f） 当时，为（e）式。 （3）塑性性阶段 平平衡方程程和几何何方程同同上。本构方程 （g）与（2）弹弹塑性阶阶段同样样步骤：可得6.8 如如图所示示等截面面直杆，截截面积为为，且。在在处作用用一个逐逐渐增加加的力。该该杆材料料为理想想弹塑性性，拉伸伸和压缩缩时性能能相同。按按加载过过程分析析结构所所处不同同状态，并并求力作作用截面面的位移移与的关系系。 解解：基本本方程为为平衡方程 （a） 几几何方程程 （b） 本本构方程程 （11）弹性性阶段 由由前题知知， 因，故。截面位移

47、本阶段终止止时， 弹塑性阶段段（） 此时， 截截面位移移由段变变形控制制： 且本阶段终终止时， （33）塑性性阶段（） 无无限位移移（为不不定值）。 （4）图线线斜率比比较： 段段： 段段： 6.9 如如图所示示三杆桁桁架，若若，杆件件截面积积均为，理理想弹塑塑性材料料。加载载时保持持并从零零开始增增加，求求三杆内内力随的的变化规规律 解：基基本方程程为 （a) 几何方方程： （b） 协调关关系： 本构方方程： （c） （1）弹性性阶段（） 利用（a）、（b）及（c）第一一式，联联立求解解得 即 可看出结构弹性极极限：令令 有有 （2）弹弹塑性阶阶段（）取，结构成成为静定定，由平平衡方程程解得

48、 若取，即此时即当时，内内力为上上列值，当当时，杆1和杆2 已 进入塑塑性阶段段，当时时，两杆杆为无线线变形，结结构已成成为机构构。 故，此此结构。6.11 如图所所示三杆杆桁架，理理想弹塑塑性材料料，杆件件截面面面积均为为，求下下述两种种加载路路径的节节点位移移和杆件件应变： (1)先加竖竖向力，使使结构刚刚到达塑塑性极限限状态，保保持不变变，开始始 加力，使使桁架再再次达到到塑性极极限状态态。 (2)先加水水平力，使使结构刚刚到达塑塑性极限限状态，保保持久不不变，开开始加力，使使桁架再再次达到到塑性极极限状态态。 解：此此结构的的基本方方程为 （a） 几几何方程程： （b） 且且有： 本本

49、构方程程： （c） 将基本本方程用用其相应应的增量量表示为为 几何方方程： 且有： 本构方方程： （1）加载载路径见见（1）教材 （2）加载载路径见见（2） 第一阶阶段：先先加，由由基本方方程可得得 显然，1杆、3杆同时时屈服，此此时 （d） 第二阶阶段：在在保持不不变的情情况下施施加力，这这是由相相应改变变，此时时， 节点位位移增量量为 由增量量形式几几何方程程 这说明明杆1、2、3均伸长长，即杆杆3卸载。 由增量量形式平平衡方程程 说明保保持不变变，增加加时，必必须减小小，当取取，即杆2进入拉拉伸屈服服，此时时，将各各项增量量与（d）式相相应初始始值叠加加， 有： （e） 第三阶阶段：保保持不变变，继续续增加力力，此时时，即 与第第二阶段段