12讲ch4-4误差分析课件

1、第 4 节误差分析第 4 节第 4 节第 4 节 前面我们已经给出了求解线性方程组 A X= b 的直接方法,然而由于原始数据A,b常常是有误差的,所以一般得不到方程组的精确解,只能得到近似解思考题如何判断向量 的精确程度呢?怎样衡量向量 的大小呢? 基于三维空间向量模的概念,这里构造了类似的概念_向量的范数和矩阵的范数.范数概念在数值分析中起着重要的作用!一、范数在数值分析中的作用 前面我们已经给出了求解线性方程组 A X= b 的直定义1二、向量范数的一般定义定义1二、向量范数的一般定义欧氏范数三、常用的向量范数欧氏范数三、常用的向量范数几点说明说 明几点说明说 明可以验证上面三个范数均满

2、足范数定义的条件.以范数为例：满足条件1、2显然。由于 为向量，而其分量为实数，故有说 明可以验证上面三个范数均满足范数定义的条件.满足条件1、2显然说 明说 明不难证明，1-范数，2-范数和-范数是等价的。例设则2-范数和-范数等价。如不做说明，今后|是指任意一种向量范数。说 明不难证明，1-范数，2-范数和-范数是等价的。例设则2-范例4.1解例4.2解SqrtSumn2,n,1,1000/N18271.1举 例例4.1解例4.2解SqrtSumn2,n,1,10定义四、矩阵的范数定义四、矩阵的范数计算不方便,但理论价值高五、常用的矩阵范数计算不方便,五、常用的矩阵范数几点说明一般说到范数

3、泛指上述任意一种当向量范数和矩阵范数同时出现时,默认它们是相容的称为矩阵A的谱半径说 明几点说明一般说到范数泛指上述任意一种当向量范数和矩阵范数同时则由向量范数的等价性可得矩阵范数的等价性。 如果将矩阵范数看作 空间上的向量范数， 说 明则由向量范数的等价性可得矩阵范数的等价性。 如果将矩阵范例4.3解977.874017.335087491举 例例4.3解9举 例A=4,-3,-1,6;MatrixForm%;A1=MaxSumAbsAn,n,1,2A100=MaxTableSumAbsAn,m,m,1,2,n,1,2AE=SqrtSumAi,j2,i,1,2,j,1,2/NT=Transp

4、oseA.A;MatrixForm%;A2=NSqrtMaxEigenvaluesT,10977.874017.335087491计算程序:特征值转置举 例A=4,-3,-1,6;9计算程序:特征值转置举例4.4解543.605553.023706342举 例例4.4解5举 例A=1,2,0,-1,2,-1,0,1,1;MatrixForm%;A1=MaxSumAbsAn,n,1,3A100=MaxTableSumAbsAn,m,m,1,3,n,1,3AE=SqrtSumAi,j2,i,1,3,j,1,3/NT=TransposeA.A;MatrixForm%EigenvaluesNTA2=N

5、SqrtMaxEigenvaluesNT,10求矩阵的范数例题举 例A=1,2,0,-1,2,-1,0,1,1;证明（略）注意：此式左端 表示矩阵范数，而右端是向量 和 的范数。利用向量范数所具有的性质可证明其满足矩阵范数的四个条件。另外还满足性质：举 例证明（略）注意：此式左端 表示矩阵范数，而右端是向解：例4.5举 例解：例4.5举 例举 例举 例误差分析第 5 节矩阵的条件数第 5 节误差分析第 5 节第 5 节 求解线性方程组 A X= b 的解是由其系数矩阵A和常数向量b决定的.由于原始数据A,b常常是有误差的,必然会影响到解的精确度。思考题那些因素决定原始数据的误差对解的影响?一、

6、扰动分析问题 求解线性方程组 A X= b 的解是由其系数矩阵A思例4.7分析二、病态方程组例4.7分析二、病态方程组二、病态方程组二、病态方程组定义二、病态方程组定义二、病态方程组右端项b 的扰动对解的影响右端项b 的扰动对解的影响系数矩阵A 的扰动对解的影响系数矩阵A 的扰动对解的影响定义说明三、矩阵的条件数定义说明三、矩阵的条件数三、矩阵的条件数三、矩阵的条件数四、矩阵条件数的性质四、矩阵条件数的性质四、矩阵条件数的性质四、矩阵条件数的性质例4.8解矩阵条件数的举例例4.8解矩阵条件数的举例ClearA,AN,A1,AN1,A100,AN100A=1,1/2,1/3,1/2,1/3,1/

7、4,1/3,1/4,1/5;MatrixForm%;AN=InverseA;MatrixForm%;A1=MaxSumAbsAn,n,1,3;AN1=MaxSumAbsANn,n,1,3;condA1=A1*AN1A100=MaxTableSumAbsAn,m,m,1,3,n,1,3;AN100=MaxTableSumAbsANn,m,m,1,3,n,1,3;condA100=A100*AN100=748矩阵条件数的举例ClearA,AN,A1,AN1,A100,AN100=希尔伯特矩阵的条件数程序(6阶)ClearBB=Table1/(i+j),i,1,6,j,0,5;MatrixForm%

8、BN=InverseB;B1=MaxSumAbsBn,n,1,6;BN1=MaxSumAbsBNn,n,1,6;condA1=B1*BN1B100=MaxTableSumAbsBn,m,m,1,6,n,1,6;BN100=MaxTableSumAbsBNn,m,m,1,6,n,1,6;condA100=B100*BN100=29070279矩阵条件数的举例希尔伯特矩阵的条件数程序(6阶)=29070279矩阵条件数希尔伯特矩阵的条件数程序(7阶)ClearBB=Table1/(i+j),i,1,7,j,0,6;MatrixForm%BN=InverseB;B1=MaxSumAbsBn,n,1,

9、7;BN1=MaxSumAbsBNn,n,1,7;condA1=B1*BN1/NB100=MaxTableSumAbsBn,m,m,1,7,n,1,7;BN100=MaxTableSumAbsBNn,m,m,1,7,n,1,7;condA100=B100*BN100/N33872791095矩阵条件数的举例希尔伯特矩阵的条件数程序(7阶)33872791095矩阵条考虑设及b有微小误差（取位有效数字）有简记为其解为矩阵条件数的举例考虑设及b有微小误差（取位有效数字）有简记为矩阵条件数的由于这表明与b是误差不超过.，而引起解的相对误差超过矩阵条件数的举例由于这表明与b是误差不超过.，而引起矩阵条

10、件数“病态”方程的经验判断“病态”方程的经验判断 第 6 节超定线性方程组的最小二乘解第 6 节 第 6 节超定线性方程 设有超定线性方程组：矩阵形式为：线性方程的最小二乘问题线性方程的最小二乘问题 设有超定矩阵形式为：线性方程的最小二乘问题线性方程的为求最小二乘解：先求F(x)的驻点线性方程的最小二乘问题为求最小二乘解：先求F(x)的驻点线性方程的最小二乘问题线性方程的最小二乘问题线性方程的最小二乘问题即线性方程的最小二乘问题即线性方程的最小二乘问题超定问题的正则方程组线性方程的最小二乘问题超定问题的正则方程组线性方程的最小二乘问题例4.9求方程组的最小二乘解线性方程的最小二乘问题例4.9求

11、方程组的最小二乘解线性方程的最小二乘问题正则方程组为此为超定线性方程组的最小二乘解。线性方程的最小二乘问题正则方程组为此为超定线性方程组的最小二乘解。线性方程的最小二本章小结 线性方程组的直接解法线性方程组的直接方法本章小结 线性方程组的直接方法AX=b直接法迭代法是列主元消去法Gauss消去法全主元消去法否是LU分解法追赶法A对称且正定平方根法A三对角矩阵是改进平方根法请重点掌握基本内容知识结构框图直接法迭代法是列主元Gauss全主元否是LU分解法追赶法A对线性方程组: 如何求解?Cramer法则Maths的一般解法Gauss消元法的原理列主元素法全主元素法LU分解法直接三角分解法要 点 回

12、 顾线性方程组: 如何求解?Cramer法则Ma解三对角方程组的追赶法平方根法及改进的平方根法LU分解法直接三角分解法要 点 回 顾解三对角方程组的追赶法平方根法及改进的平方根法LU分解法直上三角方程组的一般形式是： 高斯消元法高斯消元法上三角方程组的一般形式是： 高斯消元法高斯消元法消元公式回代公式高斯消元法消元公式回代公式高斯消元法ClearP1,P2,P3,P4,P5,A,A1,A2,A3,A4,A5,A6A0=1,1,1,0,4,-1,2,-2,1;MatrixForm%b=6,5,1;X=x1,x2,x3;A=1,1,1,6,0,4,-1,5,2,-2,1,1;MatrixForm%

13、;P1=1,0,0,0,1,0,-2,0,1;A1=P1.A;MatrixForm%;P2=1,0,0,0,1/4,0,0,0,1;A2=P2.A1;MatrixForm%;Maths程序若当消元法举例说明Maths程序若当消元法举例说明P3=1,0,0,0,1,0,0,4,1;A3=P3.A2;MatrixForm%;P4=1,0,0,0,1,0,0,0,1/(-2);A4=P4.A3;MatrixForm%;P5=1,0,-1,0,1,1/4,0,0,1;A5=P5.A4;MatrixForm%;P6=1,-1,0,0,1,0,0,0,1;A6=P6.A5;MatrixForm%Linea

14、rSolveA0,bSolveA0.X=b,考虑将此程序改写为一般程序。若当消元法举例说明P3=1,0,0,0,1,0,0,4,1;考 假定Ax=bAX=（LU)x=L( U x ) = b令 U x=y,则原线性方程组 Ax=bLU分解的方法及应用 假定Ax=bAX=（LU)x=L( U x ) 四阶LU分解_程序（请记录）A=1,2,3,4,1,4,9,16,1,8,27,64,1,16,81,256;b=2,10,44,190;AE=IdentityMatrix4;MatrixForm%;L1=1/A1,1,0,0,0,AE2,AE3,AE4;MatrixForm%;A1=L1.A;Ma

15、trixForm%;L2=AE1,-A12,1,1,0,0,-A13,1,0,1,0,-A14,1,0,0,1;A2=L2.A1;MatrixForm%;L3=AE1,0,1/A22,2,0,0,AE3,AE4;A3=L3.A2;MatrixForm%;取第一行、第一列元素取第四行四阶单位矩阵LU分解的方法及应用四阶LU分解_程序（请记录）取第一行、第一列元素取第四行四阶L4=AE1,AE2,0,-A33,2,1,0,0,-A34,2,0,1;A4=L4.A3;L5=AE1,AE2,0,0,1/A433,0,AE4;A5=L5.A4;L6=AE1,AE2,AE3,0,0,-A54,3,1;A6

16、=L6.A5;L7=AE1,AE2,AE3,0,0,0,1/A64,4;A7=L7.A6;U=A7;MatrixForm%L=InverseL7.L6.L5.L4.L3.L2.L1;MatrixForm%;L.U;MatrixForm%LinearSolveL,b;y=%LinearSolveU,yLinearSolveA,b答案：Y=2, 4, 3, 1X=-1, 1, -1, 1X=-1, 1, -1, 1求逆矩阵LU分解的方法及应用L4=AE1,AE2,0,-A33,三对角线性方程组：LU分解的方法及应用三对角线性方程组：LU分解的方法及应用LU分解的方法及应用LU分解的方法及应用假设线性方程组: 其系数矩阵A对称正定，则A的各阶顺序主子式和全部特征值均大于零（对称正定矩阵的LU分解形式更加简单，平方根法就是针对正定矩阵的LU分解法）平方根法与改进的平方根法假设线性方程组: 其系数矩阵A对称正定，则A比较优点： （1）不必选主元 （2）算法稳定 （3）计算量小平方根法与改进的平方根法比较优点： （1）不必选主元平方根法与改进的平方根法欧氏范数常用的向量范数二、向量、矩阵范数及误差分析欧氏范数常用的向量范数二、向量、矩阵范数及误差分析计算不方便,但理论价值高常用的向量范数计算不方便,常