第14章勾股定理的无字证明勾股定理16种证明方法

1、吴文选整理吴文选整理勾股定理的证明吴文选整理吴文选整理abba证法1】（课本的证明）abbaa、设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形a、从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.即11a2+b2+4xab，c2+4xab22，整理得a2+b2，c2.【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.baccccRtAHA

2、E9RtAEBF,baccccZAHE=ZBEF.ZAEH+ZAHE=90,ZAEH+ZBEF=90.ZHEF=18090=90.四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于C2.RtAGDH9RtAHAE,ZHGD=ZEHA.ZHGD+ZGHD=90,ZEHA+ZGHD=90.又又ZGHE=90,吴文选整理吴文选整理ZDHA=90+90=180.ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于C+bk，4xab+c2【证法，4xab+c2【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（ba）,D边作四个全等的直角三角形，则每个直角1b三角形的面积等于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.

3、RtADAH9RtAABE,ZHDA=ZEAB./ZHAD+ZHAD=90,ZEAB+ZHAD=90,ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于C2./EF=FG=GH=HE=ba,ZHEF=90.EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于C，ak4x丄ab(b-a=c22a2+b2=c2.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2ab把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、RtAEAD积等于2ab把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、RtAEADZADE=ZAED+ZAED+ZDEC=ADE

4、C是9RtACBE,ZBEC.ZADE=90,ZBEC=90.18090=90.一个等腰直角三角形CE、B三点在一条直线上.1它的面积等于2门.又ZDAE=90,ZEBC=90,ADBC.ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2112xabc222a2+b2=c2.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于占p八、丄/D、E、F在一条直线上，且RtAGEF9RtAEBD,吴文选整理吴文选整理ZEGF=ZBED,ZEGF+ZGEF=90,ZBED+ZGEF=90，

5、ZBEG=18090=90.AB=BE=EG=GA=c，ABEG是一个边长为c的正方形.ZABC+/RtAABCZABC=ZEBD+ZCBE=90.9RtAEBD,ZEBD.ZCBE=90.ZCBD=90.ZBDE=90，ZBCP=90，BC=BD=a.BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,1a2+b2，S+2xab,21c2，S+2x_ab2,a2+b2，c2.FcD【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、

6、C三点在一条直线上.过点Q作QPBC,交AC于点P.过点B作BM丄PQ,垂足为M；再过点F作FN丄PQ,垂足为N./ZBCA=90,QPBC,ZMPC=90，/BM丄PQ,ZBMP=90,BCPM是一个矩形ZQBM+ZMBA=即ZMBC=ZQBA=90baAcPbMcNaCZABC+ZMBA=ZMBC=90,ZQBM=ZABC,又ZBMP=90,ZBCA=90,BQ=BA=c,RtABMQ9RtABCA.吴文选整理吴文选整理交DE于点AC，AB=AD，=ZGAD,Hab交DE于点AC，AB=AD，=ZGAD,HabBA2/.LC同理可证RtAQNF9RtAAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅

7、文鼎证明）证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL丄DE,交AB于点M,L.AF=ZFABAFAB9AGAD,1AFAB的面积等于2a2,AGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，:矩形ADLM的面积=a2.同理可证，矩形MLEB的面积二b2.正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积c2=a2b2,即a2b2=c2.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtAABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD丄AB，垂足是D.在AADC和A

8、ACB中，ZADC=ZACB=90,ZCAD=ZBAC,AADCsAACB.AD:AC=AC:AB,即AC2二ADAB.同理可证，ACDBsAACB，从而有BC2二BDAB.AC2+BC2CAD+DBAB=AB2,即a2b2=c2.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF丄AC,AF交GT于F,AF交DT于R.过B作BP丄AF,垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E,DE交AF于H.ZBAD=90,ZPAC=90,ZDAH=ZBAC.又:ZDHA=AD=ABR

9、tADHADH=BC90,ZBCA=c，9RtABCA.=a，AH=AC又:ZDHA=AD=ABRtADHADH=BC90,ZBCA=c，9RtABCA.=a，AH=AC90,由作法可知，PBCA是一个矩形所以RtAAPB9RtABCA.即PB=CA=b，AP=a，:RtADGTRtADHARtADGTDH=DG又:ZDGT=从而PH=ba.9RtABCA,9RtABCA.9RtADHA.a，ZGDT=711fl8/RHP/345/6D=b.AFTbEBGaZHDA.90，=ZHDA+90，ZDHF=ZGDH=ZGDT+ZTDHDGFH是一个边长为a的正方形.GF=FH=a.TF丄AF,TF=

10、GTGF=ZTDH=90，TFPB是一个直角梯形，上底TF=ba，下底BP=b,高FP二a+（ba）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为c2=SSSSS12345b2-ab.SSS=b(b-a)a(b-ab2-ab:8342S=SS5891SS二b2-ab-Sb2-S-b2-S-S18把代入，得c2=SSb2-S-SSS121889=b=b2SS29b2a2.吴文选整理吴文选整理吴文选整理吴文选整理【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba）,斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.

11、用数字表示面积的编号(如图).:ZTBE=ZABH=90ZTBH=ZABE.又:ZBTH=ZBEA=90BT=BE=b，RtAHBT9RtAABE.C8613ME45cHT=AE=a.C8613ME45cGH=GTHT=ba.又:ZGHF+ZBHT=90,ZDBC+ZBHT=ZTBH+ZBHT=90,ZGHF=ZDBC.DB=EBED=ba,ZHGF=ZBDC=90,RtAHGF9RtABDC.即S7S2.过Q作QM丄AG,垂足是M.由ZBAQ=ZBEA=90，可知ZABE=ZQAM，而AB=AQ=c,所以RtAABE9RtAQAM.又RtAHBT9RtAABE.所以RtAHBT9RtAQAM

12、.即S8S5.85由RtAABE9RtAQAM，又得QM=AE=a,ZAQM=ZBAE.ZAQM+ZFQM=90,ZBAE+ZCAR=90,ZAQM=ZBAEZFQM=ZCAR.又ZQMF=ZARC=90,QM=AR=a,RtAQMF9RtAARC.即S4S6.46.c2S+S+S+S+S,a2S+S,b2=S+S+S,1234516378又SS,SS,SS,728546a2+b2S+S+S+S+S16378二S+S+S+S+S14325=c2,即a2+b2c2.【证法11】（利用切割线定理证明）在RtAABC中，设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及

13、AB的延长线分别于D、E,则BD=BE=BC=a.因为ZBCA=90,点C在B上,所以AC是0B的切线.由切割线定理，得AC2AEAD过点B作BDCA,则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,ABDC，ADBC+ACBD,a，AB=DC=c，a，AC=BD=b，：AB2,BC2+AC2,即c2【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在RtAABC中，设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.作RtAABC的内切圆O,切点分别为D、E、F（如图），设0的半径为r.AE=AF，BF=BD，CD=CE，=CE+CD=r=2r,a+b一c

14、=2r,a+b，2r+c.(a+b=(2r+c,a2=CE+CD=r=2r,a+b一c=2r,a+b，2r+c.(a+b=(2r+c,a2+b2+2ab，4(r2+rc)+c2,S，abAABC2,2ab，4S,AABC又S，S+S+SAABCAAOBABOCAAOC(2r+c+c二21cr+2ar+-br24C2+rc4SAABC4V2+rc丿，2ab,r2+rc,吴文选整理吴文选整理a2+b2+2ab，2ab+c2,【证法14】（利用反证法证明）如图，在RtAABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD丄AB，垂足是D.假设a2+b2丰c2，即假设AC2+

15、BC2丰AB2,则由AB2，ABAB=AB（AD+BD=ABAD+ABBD可矢口AC2丰ABAD,或者BC2丰ABBD.即AD：ACHAC：AB,或者BD：BCHBC：AB.在AADC和AACB中，ZA=ZA,ADcB若AD：ACHAC：AB,则ADcB吴文选整理吴文选整理在ACDB和AACB中，ZB=ZB,若BD：BCHBC：AB,贝ZCDBHZACB.又ZACB=90,ZADC#90,ZCDB#90.这与作法CD丄AB矛盾.所以，AC2+BC2AB2的假设不能成立.a2+b2，c2.证法15】（辛卜松证明）aba2b2abbaabbBbaCaDab/2A7c21/Xiab/-ab2丿2ba

16、baaAbaDb设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分,贝正方形ABCD的面积为（a+b=a2+b2+2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的（a+b2，4x丄ab+c2面积为2=2ab+c2.a2+b2+2ab，2ab+c2,a2+b2，c2.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba）,斜边的长为c.做两个边长分别为a、吴文选整理吴文选整理b的正方形(ba),把它们拼成如图所示形状,示面积的编号(如图).在EH=b上截取ED=a,连结DA、DC,则AD=c./EM=EH+HM=b+a,ED=a,DM=EMED=(b+a)a=b.AK又ZCMD=90,CM=a,ZAED=90,AE=b,bRtAAED9RtADMC.使E、H、M三点在一条直线上.用数字表吴文选整理吴文选整理ZEAD=ZMDC,DC=AD=c.ZADE+ZADC+ZMDC=180,ZADE+ZMDC=ZADE+ZEAD=90,ZADC=90.作ABDC,CBDA，则ABCD是一个边长为c的正