微通道多孔介质模型分析解析

1、微通道热沉的一种改进多孔介质模型Baoqing Deng , Yinfeng Qiu , Chang Nyung Kim Applied Thermal Engineering 30 (2010) 2512-2517 摘要在本文中，将会推出微通道热沉的一种新型多孔介质模型。在温度方程中考 虑到基板，因此，避免了微通道底部的近似边界条件。由流体力学和微通道换热 流动充分发展，得到解析解。将本文解析解所得的无量纲温度与三维数值模拟及 以往多孔介质模型相比较。本模型和数值模拟正确再现以往多孔介质模型在基板 和通道底部附近区域不能描述的温度分布。由于已经考虑基板，本模型计算而得 对流传热阻值与数值模拟

2、显示出良好的一致性而无需任何附加修正。随着通道高 度增加，数值模拟和多孔介质模型之间的差异也会增加。纵横比较大的情况更应 -FT* 该注意。关键词：微通道热沉 多孔介质 基板1前言自从Tuckerman和Pease1提出了用于大功率密度电子设备冷却的微通道热 沉概念后，微通道热沉备受关注。有关微通道热沉建模方法的研究有很多。最简 单的建模方法是使用翅片模型2，即将通道内的三维流动和传热简化为沿流动 方向的一维问题。然而，翅片模型模拟纵横比较大的微通道热沉3-8时，误差可 能较大。另一种方法是通过计算流体力学(CFD)9-11，模拟单个三维通道内 的流动和传热。CFD可以提供通道内速度场和温度场

3、的的信息。当然，这需要 大量精力和计算时间。多孔介质的方法是这两种方法的综合，即将微通道热沉视 为充满冷却剂的虚拟多孔介质。自从Koh和Colony5提出了这个概念，应用多 孔介质的方法3,4,12 研究微通道热沉的作品有很多。这些作品考虑了通道和翅 片内部的温度分布，但没有考虑到基板内部的温度分布。对于微通道热沉，通常 假定基板底部的热流密度是均匀的。由于以往多孔介质模型并未包含基板，在 Kim和Kim等人13的模型的通道和肋片底部，必须给出近似边界条件，他们假 定通道和肋片底部的无量纲温度为零。据作者所知，到现在还没有有关基板分析 的作品。另一方面，忽略基片将导致对流传热阻值的计算出现误差

4、，因为最高温 度存在于基板底部，而不是通道底部。在本文中，多孔介质模型拓展到通道下面 的基板，由流体力学和换热充分发展流动，求得解析解，微通道热沉的几何参数 对温度分布和热阻的的影响也将进行详细的讨论。2分析模型本文考虑微通道热沉强制对流的问题。如图1所示，通道顶部是绝热的，底 部是等温的或具有恒定的热流密度。水流过微通道带走热量。图1微通道热沉的原理图流动为层流状态，流动完全发展，单个微通道的动量方程为】)其中，u为流体速度，p为压力，p为粘度中，x，y和z为坐标。由流动充 分发展，可知压力梯度是一个常数。进一步可知，换热也充分发展。因此，通道 的温度方程为孔嘻=&(繇十暮)(2)其中，Kl

5、为流体的导热系数，T为温度，p为液体的密度，Cp为比热容。忽略流动方向的热传导，基板和翅片的温度为其中，Ks为基板和翅片的导热系数。边界条件为 TOC o 1-5 h z u 0 y 0(4)-fciT q* at y - -55)u-oat y H(6)Kim等人3认为，多孔介质中的模型实际上是沿z方向的变量平均值。将 积分在使用范围进行平均，在本文中可得两种平均值变量，为机- /松O.5wc(S；街-畚/O.5wf前者被称为通道平均变量，后者被称为翅片平均变量。可得将方程（7）代入方程（1）一（2）W 11寸_/心TT 吁#T.阶_ 十鄢（万_孔）将方程（7） （8）代入方程击（EQyH(

6、W)(3)可得(11)】2)罪-叙Af) -0(13)+y（Tf） = G -9冬。其中，e=Wc/W为孔隙率，K为绝对渗透率，h为通道内流体与翅片表面 间的表面传热系数。由Kim和Kim13得(14)K =磐s堕12 wc方程（9） （13）为动量和温度平均值的控制方程。要注意平均对流项应 当结合热边界条件进行简化。当流动传热充分发展时，流动方向上无量纲温度的 导数为零。在恒定壁面热流的情况下，这意味着31 dTft! dTt(y - 0J :dx. ax ax.constant(】5)其中，Tm是横截面的平均温度。因此，方程（10）变为E碧-灯*十部-孔）心冬打（16）引入以下无量纲变量y

7、 = % u =0 =冗？弋）（17）C=）考虑到能量平衡(13)方程(9), (11)-(13)和(16)可按如下进行无量纲化:(19)0 Y 1 TOC o 1-5 h z 后法瓯飘心-0 0 Y 1(20)日参弟(1)=。08。)急十吊(5=。-K。Q2)U 站备十瓯(价一促)o 1(23)妙 nr 曲 1n(24)(1 - fjk (1 - )kw *对应的边界条件为U - 0 黑-跆-0 ac y - 1(25)-一 一 I 一 at r - -p/叫U 0 缶|_ - H|_ y|_ -票 _ ffc - 0 at Y - 0(27)方程(27)可确保热流密度和温度在Y = 0的位

8、置的连续性。不同于以往多 孔介质模型3,4,12,本模型在边界的无量纲翅片平均温度由方程(27)耦合边 界条件确定，而不是以往模型中的零。方程(19)已由Kim和Kim13解得，如下所示: TOC o 1-5 h z U 一 Ptos-bPjsinflY-P(28)otsinhft阍亍P _ Lr:r fl 1/-rr-2(cos hfl - 1) - a sin hflK按Kim和Kim13的求解步骤，方程(20) (23)的解如下所示：瓢P(孑皿十乌丫十弓)十条JU+ P P1 出一L 一 P(Ges h仰十 C4sn h/3/J 4 -、7料顷-眼)邯01(30)）y =Wy/（ - ）

9、(32)(33)考虑到边界条件，可以得到rF-iy2 + CY+C2-C3cG5h/Sy-C4sinh/5y)+1+砂史侦一矽) (1+上)(护_仲)-l-fJfcoshyY + CssinhyY + CsY + Qi)- Y0(34) TOC o 1-5 h z 肝 _ JP( +W + 0 十 )十 3-丫 促01(】一f)(&V 十 Co) -ftcoshy4- Cgsinhyj 一音冬 Y 0(35)P- 1C -臼6)Q - -1(37)(38)(鸵)d Sw - Cjtan 邱(40)&-Gy(41)Cs 一 C7un 岫(42)Si fry另1斤十厂不砂(1十p?. I I(43

10、)S2 (P 十 Ija2cos h/344)由无量纲温度的解，可以计算出热阻。在一般情况下，总热阻被定义为（45）其中，Qn为入口处的无量纲温度，L和W为微通道热沉的长度和宽度。一 般总热阻分为容量阻值和传热阻值，其内容为 TOC o 1-5 h z Rttit Rrmp 十 Ruun46）其中的第一项根据流速和冷却剂的比热容而决定，被称为容量阻值，其内容 为Li1第二项代表传热热阻，由于对流其内容为皓-矗日即=-制-罚物b -印（49）J o方程（47）也通过Kim和Kim13计算容量阻值，不同之处在于传热阻值。对微通道热沉以往多孔介质模型，对流传热阻值如下所示4,12：U凡皿-Fwi蛆皿

11、（50）与方程（48）相比较，方程（50）由于没有考虑基板对对流传热阻值的影响， 使对流传热阻值变小了。为了弥补这种不足，考虑到常规体积平均温度与Kim3的体积平均温度之 间的差异，添加一项附加的经验项，其内容为Q - H A 3 展垃皿=_7） L=b T40 叩灵t J3结果与讨论应用本模型，Kim和Kim13模型及CFD方法计算出的无量纲温度分布如 图2所示。CFD计算方程可以参考Kim3。为简单起见，这里就不列出了。三 种模型描绘的两个无量纲温度具有相同的趋势，仅在大小方面有细微差别。所有 翅片平均温度均随无量纲高度的增加而降低。所有通道平均温度均随无量纲高度 的增加而降低，直至达到最

12、小的值，然后增大，直到通道顶部为止，其不同之处 在于每个模型温度的相对大小。CFD的曲线表明，通道平均温度大于在基板上 翅片平均温度。这符合物理事实，即通道下的温度大于翅片下的温度。本文的分 析也正确地再现这种现象。然而，Kim和Kim13的模型却不能再现这种现象， 因为其模型没有考虑基板。CFD的无量纲温度曲线彼此相交于高度为Y0处，其 值大于零。这意味着热流密度从通道导入到通道底部至Y0之间的翅片，在Y0 到通道顶部之间则与之相反。本文也正确地预测这一现象在Y0取不同的值时。 然而，Kim和Kim13的模型曲线相交于（0,0）点，这意味着热流密度总是从翅 片导入到通道。其原因是在Kim和K

13、im13的模型中，翅片的平均温度在Y = 0 处被视为零，如图2所示。事实上，此值应由耦合方式确定，如方程（27）所示。 因此，在Y = 0处翅片平均温度的值应小于零，而对于CFD及本模型，其值分 别为-0.03 和-0.05。(0.0)Kim & Kim. Sp | r i 1 r 1 i-0.40.00.40.81.2alnwwdEol4I图 2 三种模型的温度分布（ =0.5,Kf/Ks=0.004,H/Wc=6, 6 /H=0.3）通道纵横比对两个无量纲温度的影响如图3和图4所示。随着通道纵横比的 增加，翅片平均温度曲线向上稍稍移动。这意味着，纵横比对翅片平均温度的影 响较小。对CFD

14、计算及本文来说，0f的计算结果（Y= 0）随着纵横比的增加趋 向于零。这意味着，在纵横比比较大时，以往多孔介质模型，要比本模型更近似 于真值。至于无量纲通道平均温度，也随纵横比增加而增加。然而，增加的幅度 要比无量纲翅片平均温度大得多。随着纵横比不断增加，曲线的形状趋向于的直 线。这意味着纵横比对无量纲通道平均温度有很大的影响。AR =3AR=6AR=12Jcflcfl9=oVJu 山 E-p图3纵横比对翅片平均温度分布的影响怎=0.5,Kf/Ks=0.004, 6 /H=0.3)1 n中=但OJdEIDlcntnsc口而 UTIlnp图4纵横比对通道平均温度分布的影响怎=0.5,Kf/Ks=

15、0.004, 6 /H=0.3)导热系数对两个无量纲温度的影响如图5和图6所示。通道纵横比对两个无 量纲温度的影响是在类似的情况下被观察的。导热系数对翅片平均温度的影响较 小而对通道平均温度有很大的影响。这是因为z方向上温度非均匀性的下降而导 致通道纵横比和导热系数的增加所造成的。aln-E拓盛UJg ms 心ZCSCWE-P图5导热系数对翅片平均温度分布的影响怎=0.5,H/Wc=6, 6 /H=0.3）0 4nalnJ(TialdluJWJ(/(np-uo布EaE-p0 0-&-0.4-0.8-1.2-0.6-0 30 00.30609-16-图6导热系数对通道平均温度分布的影响怎=0.5

16、,H/Wc=6, 6 /H=0.3）本模型将基板的影响考虑在内。这是本模型与以往多孔介质模型3,4,12的 主要区别。图7和8显示了基板的厚度对两个无量纲温度的影响。对无量纲翅片 平均温度，多孔介质模型和CFD模拟之间的差异随基板厚度的减小而变大。其 原因在于在通道下的基板和翅片下的基板之间没有足够的热交换面积。因而，通 过通道底部的热损失急剧增加，从而导致温度的不均匀性沿着通道底部增加。多 孔介质模型的本质是沿通道底部温度平均值。因此在低厚度的情况下可能产生比 较大的误差。在方程（35）中，无量纲翅片平均温度在Y = 0处是PC2。数学分 析表明，只有当基板的厚度很大时，0f（Y = 0）才

17、约为零。CFD模拟也证实了 这一现象。019|r |11|s r-L2-0.8-0.40,00.40.81.2Y图7基板厚度对翅片平均温度分布的影响怎=0.5,H/Wc=6,Kf/Ks=0.004)0一85/H=D.0lfi/H=D.1upper： GFD analysislower: present analysis 1 .6 -iiiiii|i|iii-1.2-0.8-0.40.00.40.81.2Y图8基板厚度对通道平均温度分布的影响怎=0.5,H/Wc=6,Kf/Ks=0.004)总热阻是微通道热沉的一个重要参数。在方程(45)中，总热阻包括容量阻 值和对流传热阻值。由于本模型解决了与

18、Kim和Kim13相同的流动方程，容量 阻值必须相同，而显示的容量阻值与CFD模拟值的匹配良好。为简单起见，本 文只讨论对流传热阻值。基板厚度对对流传热阻值的影响如图9所示。与无基板 的模型相比，本模型与数据显示出更好的匹配性。虽然Kim3的修正公式也取 得了不错的结果，但它只能在某些点上生效，而不是厚度的所有值，例如0.1处。 更重要的是，本模型正确地再现最佳厚度在约0.07处的这一现象，这与CFD模 拟相吻合。当相对厚度非常小时，在通道下的基板与翅片下的基板之间没有足够 的面积可以用来换热。因此，通道底部由于更多的热量供应，负担过重，而翅片由于供热少而欠负担。因此，微通道热沉工作状况不良。只有当热供给与各表面 的冷却能力匹配良好，对流传热电阻才能得到最小值。无基板模型不能重现此现 象。因为无基板模型没有考虑基板的影响，因此该模型计算出的对流传热阻值是 从通道的底部到流体的对流传热阻值，而不是从微通道热沉的底部到流体。图9基板厚度对对流传热阻值的影响(e=0.5,H/Wc=6,Kf