概率课件第二章

1、第二章随机变量及其分布 一、随机变量 二、离散型随机变量及其分布 三、随机变量的分布函数 四、连续型随机变量及其分布 五、随机变量的函数的分布第一节为了全面研究随机试验的结果，数学处理上的方便， 第二章 要将随机试验的结果数量化。随机变量 对于随机试验而言，它的结果未必是数量化的。例1、掷一枚硬币，X = X(e) =1, e = H0, e = T例3.测量某灯泡的寿命,令例2、在n 张已编号的考签中任抽一张，观察号码，X = “抽到考签的号码”定义：设E是随机试验，它的样本空间为则称实值单值函数 X=X(e) 为随机变量。由于X的取值根据试验结果而定，而试验各结果出现有一定的概率，所以X

2、取各值也有一定的概率。随机变量定义在样本空间上,定义域可以是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。2. 随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定的概率；而普通函数却没有。 随机变量的分类：随机变量非离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量其它 随机变量函数和普通函数的区别：1. 定义域不同离散型随机变量及其分布 第二章 一、离散型随机变量的定义二、常用的离散型随机变量第二、三节定义1.若随机变量X的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称X是离散型随机变量。定义2.设离散型随机变量的所有可能取值为,其中事件的概率：一、离散型随机变量的定义eg: 抛骰子，X=1,2,3,4,5,6

3、;火车站候车人数，X=0,1,2, 称为X的概率分布或分布律。分布律也可用如下表格的形式表示：性质：例1、袋中有2个白球和3个黑球,每次从中任取1个,直到取到白球为止，X取球次数，求(1)无放回，(2)有放回情况下X的分布律。解:(1)1234解:(2)123n注：对于有放回选取是一个独立性的现象。例2.设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号灯，每盏信号灯以概率允许汽车通过,变量表示汽车停车次数(设各信号灯的工作是相互独立的）,求的分布律。解由题意可知的分布律为，则将带入可得的分布律为. (01)分布定义1.如果随机变量的分布律为则称服从参数为的(01)分布。二、常用的离散型随机变量及其分

4、布（重点）（0 1）分布的分布律也可写成注：如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从(0 1)分布的随机变量。 1.伯努利概型 n重独立试验在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的。 伯努利概型设随机试验E只有两种可能结果，设,将试验E独立地重复进行n次，则称这n次试验为n重伯努利试验，或称n重伯努利概型。.二项分布n重伯努利试验中, X 事件A发生的次数则注：定义2.如果随机变量的分布律为则称服从参数为其中记为2、二项分布的二项分布,特别,当时,二项分布为这就是（01）分布，常记为某班有30名同学参加外语考试，每人及格的概率解：X0 1

5、2 30例1、例2、设100件产品中有95件合格品，5件次品，先从中随机抽取10件，每次取一件，X10件产品中的次品数， (1)有放回的抽取，求 X的分布律；(2)无放回的抽取，求 X的分布律；(3)有放回的情况，求10件产品中至少有2件次品的概率。解：(1)A 一次中取得次品，P(A)=0.05,k=0,1,2,3,4,5“无放回”，各次试验条件不同，不是伯努利概型。(3)注：明确告知有放回抽样时，是n重贝努利试验；若没有告知，当总数很大，且抽查元件的数量相对于总数很小，可以当作放回抽样。 3. 二项分布的分布形态若，则由此可知，二项分布的分布律(右图)先是随着到其最大值后再随着的增大而减小

6、.这个使得达到其最大值的称为该二项分布的最可能次数。的增大而增大，达可以证明：例3.某人购买彩票, 设每次买一张, 中奖的概率为0.01，共买800次，求他至少中奖两次的概率。解: 把每次购买彩票看成一次随机试验设中奖的次数为 ，则即定理1（泊松Poisson定理) 设是一常数，n是正整数，若，则对任一固定的非负整数注 (1)不可忽略小概率事件。很小，若中奖不到2次故怀疑“中奖率0.01”是否为真，即中奖率不到0.01。(2)此例中例4、设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的办法：1、有四人维护，每人负责2

7、0台；2、三人共同维护80台。比较这两种方法哪种较好。解：1、 设表示“第一个人维护的20台中同时发生故障的台数”所以，4个人维护80台，发生故障而不能及时维修的概率：=0.0169.表示“第i个人维护的20台中发生故障而不能及时维修”，2、设Y80台同一时刻发生故障的台数，则Yb(80，0.01)=0.0087所以,1、2两种方案，选取第二种。.泊松分布定义：若随机变量 X 的分布律称服从参数为的泊松分布,记为其中 是常数 ,注：泊松分布的图形特点：当 n 很大，p 很小时，泊松定理表明：泊松分布是二项分布的极限分布，参数 = n p 的泊松分布二项分布就可近似看成是例1 一交通路口一段时间

8、内汽车发生交通事故的次数服从参数为的泊松分布，求至少发生两次事故的概率。解 随机变量则解 由已知得：所以分布律为例2 随机变量,已知求的值，并写出的分布律。 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。泊松分布的应用 排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客数 生物存活的个数 放射的粒子数随机变量的分布函数 第二章 一、分布函数的概念二、分布函数的性质第四节三、离散型分布函数的求法为X 的分布函数。设 X 是一个随机变量，定义1的函数值的含义：上的概率.分布函数一、分布函数的概念是任意实数，则称函数

9、表示 X 落在可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。(1)(2)同理，还可以写出二、分布函数的性质 单调不减性： 右连续性： ，且，则上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。解例1 已知，求 A、 B。所以解:例2. 已知随机变量X 的分布律为求分布函数当 时, 当 时, 当 时, 所以，一般地，设离散型随机变量的分布律为由概率的可列可加性得的分布函数为12离散型的分布函数为阶梯函数；xk为间断点；例3 已知离散型随机变量 X 的分布函数为求 X 的分布律。解 X 的可能取值为 3，4，5。所以 X 的分布律为例4、 向0,1区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标.

10、特别,令解：长度成正比，求 X的分布函数.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间当 时,当 时,当 时,连续型随机变量及其分布 第二章 一、连续型随机变量的定义二、常用的连续型随机变量第五、六节一、连续型随机变量的定义定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负，使对任意实数则称 X为连续型随机变量，称为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。函数1. 概率密度概率密度的性质 非负性 由于(3) f (x)在点x 处连续，则3、连续性随机变量的特点(1)(2)(3) F(x)连续。f (x)x4、密度函数f (x)的意义：反映了随机变量 X在点x 处的密集程度。

11、在等长度的区间上，f的值越大，说明X在该区间内落点的可能性越大。f (x)x设 X 的密度函数为 f (x)求 F(x).解：例1.当例2、设连续型随机变量 X的概率密度为求 A的值，解：例3、求常数 a,b,及概率密度函数 f (x)。解：例4、，求A , B 及 f (x)。解：注： 二、常用的连续型随机变量定义、 若 连续型随机变量 X 的概率密度为：则称 X 服从 a, b上的均匀分布，X U a, b1、均匀分布记作：分布函数为:因为由此可得，如果随机变量 X 服从区间上的均匀分布，则随机变量 X 在区间上的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。均匀分

12、布的概率背景 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.解：依题意，例1.X U (0 ,30)即为使候车时间 X 少于 5 分钟，乘客必须在7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站例2、 设随机变量X 服从1，6上的均匀分布，求一元二次方程有实根的概率。解因为当时，方程有实根，故所求概率为从而2、 指数分布定义：若随机变量X 的概率密度为：指数分布。为常数，则称随机变量X服从参数为其中的指数分布的分

13、布函数为例3 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟)X 服从参数为的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他离开。假设他一个月内要来银行5次， 以 Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率解Y是离散型，其中现在 X 的概率密度为解(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2.电子元件的寿命X(年）服从3的指数分布例4(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。年的概率为多少？由已知得 X 的概率密度为由、结果得：指数分布具有无记忆性，即 正态分布例：在大量重复试验中，得到一组数据，这组数据虽然有波动，但总是以某个常数为中心。偏离中心越近

14、的数据越多；偏离中心越远的数据越少。取值呈“中间大、两头小”的格局，即取值具有对称性。此随机变量是一个服从正态分布的随机变量。正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布：正态分布可以作为许多分布的近似分布大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布。正态分布有许多良好的性质.正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。正态分布在十九世纪前叶由高德莫佛首次露面。高斯德莫佛最早发现了二项分布概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的斯加以推广，所以通常称为高斯分布。定义1：若随机变量 X 的概率密度函数为则称X 服从参数为的正态分布或高斯分布，f (x)的图形：特点：(48页）(1) f (x)关于

15、(2) f (x)在(3)定义2、称 X 服从标准正态分布，性质：思考：怎样证明定理： 若，则证明：求的分布函数例1、解：= 0.8413.= 0.0668.例2.某电子元件的寿命服从求:1) 电子元件寿命在250个小时以上的概率2) 求 k , 使元件寿命在 之间的概率为0.9解:设 X = “电子元件的寿命”2) 由题意,查表，例3.解: 求:及查表得 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN (170,62),问车门高度应如何确定? 解 设车门高度为h cm,按设计要求即0.99故查表得例4、因为分布函数非减例5.在电压不超过200伏, 在200

16、 - 240伏和超过240伏三种情况下, 某种元件损坏的概率分别为0.1, 0.001和0.2. 假设电压求: 1) 该元件损坏的概率2) 该元件损坏时, 电压在 200-240 伏的概率解: 设分别表示电压不超过200伏, 在200-240伏,超过240伏“元件损坏”由题意由全概公式由题意由全概公式2) 由贝叶斯公式例5.0此时由图可知所以查表可得故则称点为标准正态分布的上分位点。定义 设，若满足条件4、上分位点随机变量的函数的分布 第二章 一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布第七节随机变量的函数设X是一个随机变量，Y是X的函数，Y=g(X), 则Y也是一个随机变量，

17、当X取值x时，Y取值为y=g(x)本节的任务：已知随机变量X的分布，并且已知Y=g(X),要求随机变量Y的分布(分布律或分布密度)例1. 已知X 的分布律为求Y=2X1，Z=X21的分布律。解 故Y的分布律为一、离散型随机变量函数的分布故Z 的分布律为Z=X21注意 设互不相等时，则由可得 当，则把那些相等的值合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布律。如：X则 Y=X2 的分布律为：Y. 分布函数法（一般的函数都适用） 先求的分布函数 再利用的分布函数与概率密度之间的关系求的概率密度为二、连续型随机变量的函数的分布区域找对至关重要解 先求 Y =2X +8 的分布函数设随机变量X

18、 具有概率密度：例2试求Y =2X +8 的概率密度 得 Y =2X +8 的概率密度为设随机变量X 具有概率密度求 Y = X 2 的概率密度.解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：例3（2）关于y复合求导，设X U(-1,1),求Y =X 2的分布函数与概率密度。当 y 0时当 0 y 1 时当 y 1 时解例如例4：解: 由题意可知的取值范围为. 公式法（只适用于单调函数）定理 设 随机变量X具有概率密度处处可导,且是严格单调函数则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，与具体题中再定。注： 只有当g( x)是x的严格单调可导函数时，才可 用以上公式； 注意定义域的选择。例如 在例2中，用公式法故g(x)严格单调增，其反函